《概率分布法讲》PPT课件.ppt

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1、数学建模暑期培训资料,黄淮学院数学系应用统计教研室主讲人：高风昕,现实世界的变化受着众多因素的影响，包括确定的和随机的。如果从建模的背景、目的和手段看，主要因素是确定的，随机因素可以忽略，或者随机因素的影响可以简单地以平均值的作用出现，那么就能够建立确定性模型。如果随机因素对研究对象的影响必须考虑，就应建立随机模型。下面我们讨论如何用随即变量和概率分布描述随机因素的影响，建立随机模型-概率模型。,引 言,如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限制，无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的模型，那么通常要搜集大量的数据，基于对数据的统计分析建立模型，这就是我们还要讨论的用途非

2、常广泛的一类随机模型统计回归模型。,要建立上述两类模型就必须学习概率论与数理统计的知识。,主要内容：,一、概率分布法：1）概率论基础知识 2）几个概率模型 3）概率论基础知识在matlab中的实现,二、数理统计法：1）数理统计基础知识 2）数理统计基础知识在matlab中的实现,三、真题训练：1）足球门的危险区域问题 2）最优评卷问题,一、概率分布方法,在社会、生产、科研和生活实践中，许多问题的不确定现象都是由随机因素的影响所造成的，可将这种不确定现象可以视为一些随机事件,而随机事件一般是按照一定的概率出现的，与此有关的随机因素的变化往往服从于一定的概率分布。,在实际中，就是利用这些概率分布规

3、律进问题进行研究，从而可以对说研究的实际问题做出估计、判断、预测和决策。,因此，概率分布方法在解决实际问题的过程中有着非常广泛的应用。,授课内容,概率论基础知识,概率模型,概率论的起源概率论的主要研究对象概率论的一些基本概念随机变量及其概率分布随机变量的数字特征,报童的诀窍随机存储策略随机人口模型,概论率基础知识在MATLAB中的实现,授课内容,概率论基础知识,概率模型,概率论的起源概率论的主要研究对象概率论的一些基本概念随机变量及其概率分布随机变量的数字特征,报童的诀窍随机存储策略随机人口模型,概论率基础知识在MATLAB中的实现,16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博的一些问题；,17世纪

4、中叶，法国数学家B.帕斯卡、荷兰数学家C.惠更斯基于排列组合的方法，研究了较复杂的赌博问题，解决了“合理分配赌注问题”(即得分问题).,1.1 概率论的起源,赌金分配问题：,法国有个大数学家巴斯卡尔，巴斯卡尔认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出了一个问题：他们说，他们俩下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金。赌了半天，A赢了4局，B赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。那么，这个钱应该怎么分?,答案：赢了4局的拿这个钱的3/4，赢了3局的拿这个钱的1/4。,解析：假定他们俩再赌一局，或者A赢，或者B赢。若是A赢满了5局，钱应该全归他；A如果输了，即A、B各赢4局，这个钱应该对半分。现

5、在，A赢、输的可能性都是l/2，所以，他拿的钱应该是1/21+1/2*1/2=3/4，当然，B就应该得l/4。,概率论的飞速发展则在17世纪微积分学说建立以后.,第二次世界大战军事上的需要以及大工业与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息论、控制论与数理统计学等学科.,使概率论成为数学的一个分支的真正奠基人瑞 士数学家J.伯努利,对客观世界中随机现象的分析产生了概率论；,授课内容,概率论基础知识,概率模型,概率论的起源概率论的主要研究对象概率论的一些基本概念随机变量及其概率分布随机变量的数字特征,报童的诀窍随机存储策略随机人口模型,概论率基础知识在MATLAB中的实现,“太阳东升西落”,1.确

6、定性现象：在一定条件下必然发生的现象,“同性电荷必然互斥”,“水从高处流向低处”,实例：,自然界所观察到的现象:,确定性现象,随机现象,“函数在间断点处不存在导数”等.,确定性现象的特征,条件完全决定结果,1.2 概率论的主要研究对象,实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反两面 出现的情况.,2.随机现象：在一定条件下可能出现也可能不出现的现象,实例2 用同一门炮向同一目标发射同一种炮弹多发,观察弹落点的情况.,结果:可能出现正面也可能出现方面.,结果:弹落点会各不相同.,结果有可能为:,1,2,3,4,5 或 6.,实例3 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.,实例4 出生的婴儿可能是男,

7、也可能是女.,随机现象的特征,条件不能完全决定结果,2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,但 人们通过大量重复试验或观察中发现这种结果的出现具有一定的规律性,我们把这种规律性成为统计规律性,说明：,1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系,其数量关系无法用函数加以描述.,实例1：大量重复抛掷硬币这一试验，正面朝上的次数约占一半,实例2：多次重复掷一枚骰子，出现“1”的次数约占1/6,概率论就是研究随机现象统计规律性的一门数学学科.,授课内容,概率论基础知识,概率模型,概率论的起源概率论的主要研究对象概率论的一些基本概念随机变量及其概率分布随机变量的数字特征,报童的诀窍随机存储策

8、略随机人口模型,概论率基础知识在MATLAB中的实现,1.3 概率论的基本概念,随机试验与随机事件,概率的定义,条件概率,事件的独立性,古典概率,1.3 概率论的基本概念,随机试验与随机事件,概率的定义,条件概率,事件的独立性,古典概率,1.3.1 随机试验与随机事件,试验：实际中，把对自然现象进行一次观察或一次科学 试验统称为试验,E1:抛一枚硬币，分别用“H”和“T”表示出正面和反面;E2:将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数；,问题：如何研究随机现象,答：随机现象是通过大量的试验和观察来研究的.,(1

9、)可重复性在相同条件下可重复进行,（2）一次试验结果的随机性在一次试验中可能出现各种不同的结果，预先无法确定,随机试验：具有上述三个特点的试验成为随机试验，简称试验,（3）全部试验结果的可知性所有可能的试验结果预先是可知的,上述试验的共同特点：,注：,随机试验通常用 E 来表示.,样本空间：随机试验E的所有可能出现的结果构成的集合称 为E的样本空间。,样本点：样本空间的元素，即E的每个结果称为样本点,注：样本空间是由样本点构成的。,样本空间包含所有的样本点，它是本身的子集，在每次试验 中它总是发生的，称为必然事件，记为,空集不包含任何样本点，它也是样本空间的子集，在每次 试验中都不发生，称为不

10、可能事件，记为,随机事件：我们称试验E的样本空间的子集为E的随机事件，在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。,由一个样本点组成的单点集称为基本事件,随机事件的关系：,包含事件：A发生必导致B发生，记为,相等事件：A=B当且仅当,随机事件的关系：,和事件：事件A与B至少有一个发生，记为AB,推广：,积事件：事件A与B同时发生，记为AB,推广：,(6)差事件：事件A发生而事件B不发生，记为A-B,(7)互不相容事件：A、B不能同时发生，即AB=,(8)互为对立事件：若AB=，且AB=，表示A与B有且仅有一个发生，记为,1.3.2 概率的定义,实际中，我们在观察一个随机

11、试验的各种事件时，一般来说，总会发现有些事件出现的可能性大，有些事件出现的可能性小，而有些事件出现的可能性彼此大致相同。为此我们希望找到一个合适的数来表征事件在一次试验中发生的可能性大小。,概率的公理化定义：,我们把刻画事件发生可能性大小的数量指标称为事件的概率，记为P(A),概率P(A)满足下列性质：,（2）P()1；P()=0,（1）非负性:对每一个事件,有 P(A)0;,(4)可列可加性:设A1,A2,是两两互不相容的事件,则,（1）概率的有限可加性:若AB=,则P(A B)=P(A)+P(B),（2）P(A-B)=P(A)-P(AB);,(3)P(A B)=P(A)+P(B)-P(AB

12、),推广:,P(A B C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC),概率的其他性质：,1.3.2 古典概率（等可能概率）,1 试验的样本空间只包含有限个元素,E1:抛一枚硬币，分别用“H”和“T”表示出正面和反面;E2:将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；,它们具有两个共同的特点：,2 试验中每个基本事件发生的可能性相同,具有上述两个特点的试验称为古典概型（等可能概型），它曾是概率论发展初期主要的研究对像。,古典概率的计算公式：,设事件A包含k个基本事件，样本空间为S共包含n个基本事件,例如：将一枚硬币抛掷三次，求A=“恰有一次出现正面”的概率,

13、1.3.3 条件概率,定义：在实际问题中，除了要考虑事件A的概率，还要考虑在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为在事件B发生的条件下事件A的条件概率，记作P(B|A).,若P(B)0,则有,同理若P(A)0,则有,当下面的条件概率都有意义时：,乘法公式,由条件概率可得下面的结论：,（1）若事件 互不相容,且P(Ai)0(i=1,2,n),则对任意事件，有,（2）若事件 互不相容,且P(Ai)0(i=1,2,n),全概率公式,贝叶斯公式,授课内容,概率论基础知识,概率模型,概率论的起源概率论的主要研究对象概率论的一些基本概念随机变量及其概率分布随机变量的数字特征,报童的诀窍随机存储策略随

14、机人口模型,概论率基础知识在MATLAB中的实现,1.4 随机变量及其概率分布,随机变量的概念,一维随机变量及其概率分布,二维随机变量及其概率分布,随机变量的概念的引入：,为了深入全面地研究随机现象，充分认识随机现象的统计规律性，使定量的数学处理成为可能，就必须将随机试验的结果数量化。,把随机试验的结果与实数对应起来，建立类似函数的映射，我们称之为随机变量。,随机变量的引入，使我们能够利用高等数学的方法来研究随机试验，用随机变量描述随机现象是概率论中最重要的方法。,例如：,1、掷一颗骰子，观察出现的点数：1、2、3、4、5、6,引入一个变量X表示出现的点数：,出现的点数为1 时X=1出现的点数

15、为2时X=2出现的点数为6时X=6,上述的X为一个随机变量，随机试验的结果可用该随机变量的取值来表示,2 某足球队参加比赛，纪律比赛的结果：胜、负、平,引入一个变量Y表示足球比赛的积分数：,当结果为胜时Y=3当结果为平时Y=2当结果为负时Y=1,上述的Y也为一个随机变量，同样随机试验的结果可用该随机变量的取值来表示,在上述两个试验中，均引入了一个变量，在随机试验的结果与实数之间建立了一种对应关系（函数),将其称之为随机变量。,注：1 随机变量通常用大写字母来X,Y,Z表示,2 引入随机变量后，可用随机变量来描述事件,3 对于同一个随机试验，可引入多个随机变量,随机变量的分类：,离散型随机变量：

16、随机变量的取值为有限多个或无限可列多个值,根据随机变量的取值划分：,连续型随机变量：随机变量的取值为一个区间或者多个区间,根据随机变量中含的分量的个数划分：,一维随机变量,多维随机变量,其它类型,一维离散型随机变量,定义：若随机变量X只取有限多个或无限可列多个值，则称该X为离散型随机变量,注：对于离散型随机变量X，只知道它的全部可能取值是不够的，要掌握X的统计规律，还需要知道X取每一个可能值的概率,分布律的定义：设X为离散型随机变量，它的全部 可能取值为，且,则称 为X的分布律（或分布列，概率分布）,1、写出随机变量的全部可能取值,2、写出每个取值相应的概率,求离散型随机变量的概率分布（即分布

17、律）,注：分布律也用表格的形式来表示,例如：掷一枚质地均匀的骰子，记X为出现的点数，求X的分布律,解：X的全部可能取值为1，2，3，4，5，6，则X的 分布律为,如：上题中求出现的点数大于3点的概率,即,注：在实际应用中，若求X满足某一条件的概率，求法是把满足条件的点xk所对应的概率Pk相加即可,若已知离散型随机变量的分布律，可求任意一个随机 事件的概率,分布律的性质：,三个常见的离散型随机变量,01分布（两点分布），它的分布律为,其中p+q=1,0-1分布是经常遇到的一种分布：例如对新生婴儿的性别进登记，检查产品的质量是否合格，某车间的电力消耗是否超过负荷、抛硬币等试验都可以用0-1分布的随

18、机变量来描述。,三个常见的离散型随机变量,二项分布,伯努利试验：设试验E只有两个可能结果：,则称E为伯努利试验。,n重伯努利试验：设P(A)=p(0p1)，则,将E独立地重复地进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验,注：这里的“重复”是指每次试验中P(A)=p保持不变,“独立”是指各次试验的结果互不影响,n重伯努利试验是一种很重要的数学模型，它有广泛的应用，是研究最多的模型之一。,例如抛一枚硬币观察得到正面或反面，这就是一个伯努利试验，若将硬币抛n次，就是n重伯努利试验。,三个常见的离散型随机变量,二项分布,设X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，则,称 X 服 从 参 数 为

19、p 的二项分布，记,泊松分布(Poisson分布),若随机变量X的概率分布律为,称X服从参数为的泊松分布，记,注：具有泊松分布的随机变量在实际应用中是很多的。例如：一本书一页中的印刷错误数、某地区在一天内邮递遗失的信件数、某一医院在一天内的急诊人数、某一地区一个时间间隔内发生交通事故的次数、在一个时间间隔内某种放射性物质发出的、经过计数器的粒子数等服从泊松分布。泊松分布也是概率论中的一种重要分布。,一维随机变量的分布函数,分布函数的引入：,对于离散型随机变量，它的分布律能够完全刻画其统计规律，也可用分布律得到我们关心的事件的概率。,但是对于非离散型的随机变量，就无法用分布律来描述它。例如后面要

20、学到的连续型随机变量，我们不可能将其可能的取值一一列举出来，另外连续型随机变量在某个单点值对应的概率为0,那么如何刻画其他随机变量的统计规律成了首要的问题,为此我们引入了随机变量分布函数的概念：,在实际应用中，我们有时对随机变量去某一特定值的概率并不感兴趣，而是考虑它落入某个区间内的概率，例如考虑误差落在某个区间的概率，灯泡寿命大于某个数的概率。因而我们转而去研究随机变量所取的值落在一个区间的概率。,如：,注：X表示随机变量，x表示一个实数,随机变量的分布函数的定义,注1：若随机变量X的分布函数F(x)已知,注2：分布函数的定义适用用任意的随机变量,注3：若已知X的分布函数，我们就知道X落在任

21、一 区间（x1,x2)上的概率，在这个意义上说，分布函数完整地描述 了随机变量的统计规律。,一维连续型随机变量及其概率密度,定义：对于随机变量X的分布函数 若存在 非负的函数 使对于任意实数 有：,则称X为连续型随机变量，,三种常见的连续型随机变量的概率分布,均匀分布,定义：若连续型随机变量X具有概率密度,称X在区间(a,b)上服从均匀分布，记为XU(a,b),注：在区间（a,b)上服从均匀分布的随机变量X,具有下述意义的等可能性，即它落在区间（a,b)中任意等长度的子区间内的可能性是相同的；或者说它落在（a,b)的子区间的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关。,指数分布,定义：设X的

22、概率密度为,其中0为常数，则称X服从参数为的指数分布。,记为,分布函数,注：指数分布在可靠性理论与排队论中有广泛的应用,正态分布,定义：设 连 续 型 随 机 变 量 X 的 概 率 密 度 为,其中 为常数，称 X 服 从 参 数 为 的正态分布(Gauss分布)，记为,分布函数,正态分布曲线的性质,3 是正态分布的中心,称为位置参数(决定对称轴位置)为尺度参数(决定曲线分散性),4 当固定时，越大，曲线的峰越低，落在附近的概率越小，取值就越分散，的取值决定了随机变量取值的分散程度,注：对于标准正态分布的分布函数，人们已编制了函数 表，其值可查表得到,随机变量的标准化：,注：,设,注：尽管正

23、态分布取值范围是R,但它的值落在,的概率为0.9974，几乎是可以肯定的。这一性质称为正态分布的 规则,为了便于今后在数理统计中的应用，对于标准正态随机变量，我们引入上分位点的定义：,下面列出几个常用的 的值：,0.001,3.090,0.005,2.576,0.01,2.327,在自然现象和社会现象中，大量随机变量都服从或近似服从正态分布。例如一个地区的男性成年人的身高，测量某零件长度的误差，海洋波浪的高度应用，半导体器件中的热噪声电流或电压等都服从正态分布。在概率论和数理统计的理论研究和实际应用中正态随机变量起着特别重要的作用。,注：以后当我们提到一个随机变量X的”概率分布“时，指的是它的

24、分布函数;或者当X是连续型时指的是它的概率密度，当X是离散型随机变量时指的是它的分布律。,多维随机变量与其分布函数（以 二维为例）,对于有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述。,例如：在考察某个地区的气候时，通常要同时考察气温，气压，风力，湿度四个因素，为此要同时引入4个随机变量，将他们作为一个整体来研究，记为(X1,X2,X3,X4),定义：n个随机变量X1,X2,X3,X4，构成的整体(X1,X2,Xn)称为一个n维随机变量,二维随机变量的分布函数的定义,边缘分布函数：由于X,Y各自也是随机变量，故他们各自也有自己的分布函数，称为边缘分布函数,同理,如果将二维随

25、机变量（X,Y)看成是平面上随机点的坐标，那么，分布函数F(x,y)在（x,y)处的函数值就是随机点（X,Y)落在以点（x,y)为顶点而位于左下方的无穷矩形域内的概率。,x,y,(x,y),依照上述解释，随机点（X,Y)落在矩形域,二维随机变量分布函数的性质,二维离散型随机变量的分布律及其边缘分布律,设二维随机变量（X,Y)的所有可能取值为（xi,yj),（X,Y)在各个可能取值的概率为,称,为X与Y的联合分布律或,（X,Y)的分布律。,如果二维随机变量（X,Y)全部可能取到的不相同的值是有限对或可列无限多对，则称（X,Y)是二维离散型的随机变量。,X,Y,X与Y的联合分布律也可用表格表示：,

26、边缘分布律：由于X和Y各自也是随机变量，故他们各自也有自己的分布律，称为边缘分布律，分别即为Pi.和P.j,即,二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度,定义：对于二维随机变量（X，Y)的分布函数 若存在非负可积的函数 使对于任意实数x,y 有：,则称(X,Y)为二维连续型随机变量，,边缘概率密度：,由于X与Y各自也是随机变量，各自也有自己的概率密度，称为边缘概率密度,两个随机变量的独立性：,设（X,Y)是二维随机变量,若F(X,Y）=FX(x)FY(y)(对于任意的x,y),则称随机变量X与Y使相互独立的,当（X,Y)是离散型随机变量时，X和Y是相互独立的,当（X,Y)是连续型随机变量时，

27、X和Y是相互独立的,1.5 随机变量的数字特征,随机变量的分布函数完整地描述了随机变量地统计规律，但是在实际问题中求得随机变量的分布函数并不容易，而且对某些问题来说，只需知道它的某些特征，并不需要求出它的分布函数。例如在评定某一地区粮食产量的水平时，在许多场合只要知道该地区的平均产量。我们把刻划随机变量某些方面特征得数值称为随机变量的数字特征，我们主要研究随机变量的期望、方差、协方差、相关系数等数字特征。,1 数学期望,设 X 为离散 随机变量，其分布律为,若无穷级数,绝对收敛,则称,其和为 X 的数学期望 记作 E(X),即,设连续型随机变量 的密度函数 为,若广义积分,则称此积分为 X 的

28、数学期望;记作 E(X),即,绝对收敛,注：数学期望简称期望，又称为均值,例1：甲乙两人进行打靶，所得分数分别记为,他们的分布律分别为,0,1,2,0,1,2,0,0.2,0.8,0.6,0.3,0.1,试评定他们成绩的好坏。,解：我们来计算 的数学期望,再来计算 的数学期望,这意味着，进行多次射击，甲所得分数的算术平均值就接近于1.8分，而乙所得分数的算术平均值接近于0.5分，很明显，乙的成绩远不如甲的成绩。,例2 X B(n,p),求 E(X).,解,特例 若Y B(1,p),则 E(Y),例3 X N(,2),求 E(X).,解,常见随机变量的数学期望,分布,期望,概率分布,0-1分布,

29、p,B(n,p),np,P(),分布,期望,概率密度,均匀分布,E(),N(,2),随机变量的函数：,在实际中，我们常对某些随机变量的函数更感兴趣。例如，在一些实验中，所关心的随机变量往往不能由直接测量得到，而它却是某个能直接测量的随机变量的函数；比如我们能测量圆轴截面的直径d，而关心的却是截面面积,这里随机变量A是随机变量d的函数,设离散型随机变量X 的概率分布为,若无穷级数,绝对收敛，则,设连续随机变量的密度函数为f(x),绝对收敛,则,若广义积分,例 设随机变量X的分布律为,令Y=2X+1，求,E（X）,例 设X的概率密度为,求：,数学期望的性质：,1）若C是常数，则有E(C)=C,2)

30、设X是一个随机变量，C是常数，则有E(CX)=CE(X),3)设X,Y是两个随机变量，则有,E(X+Y)=E(X)+E(Y),4)设X,Y是相互独立的随机变量，则有,E(XY)=E(X)E(Y),2 方差,我们先来看一个例子，有一批灯泡，知其平均寿命是E(X)=1000（小时），仅由这一指标我们还不能判定这批灯泡的质量好坏。事实上，有可能其中绝大部分灯泡寿命都在950-1050小时;也有可能其中约有一半是高质量的，它们的寿命大约有1300小时，另一半却是质量很差的，其寿命大约只有700小时。为要评定这批灯泡质量的好坏，还需进一步考察灯光寿命X与其均值E(X)=1000的偏离程度。若偏离程度较小

31、，表示质量比较稳定。从这个意义上说，我们认为质量较好。,由此可见，研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的。那么，用怎样的量去度量这个偏离程度呢？容易看到,但由于上式带有绝对值，运算不方便，为运算方便起见，通常是用量,来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度的,若E X-E(X)2 存在,则称其为随机,称,为 X 的均方差或标准差.,即 D(X)=E X-E(X)2,变量 X 的方差,记为D(X)或 Var(X),D(X)：描述 随机变量 X 的取值与其数学期望的平均偏离程度。若X取值比较集中，则D(X)较小，反之，若取值比较分散，则D(X)软大。,正数,2 方差,定义,若 X 为离散型

32、随机变量，分布律为,若 X 为连续型随机变量，概率密度为 f(x),常用公式：,例1 设X P(),求D(X).,解,例2 设 X N(,2),求 D(X),解,例3,若,则,常见随机变量的方差,区间(a,b)上的均匀分布,E(),N(,2),例 设X的概率密度为,求,解,从而,例 设（X，Y）的概率密度为,求,解,性质1：D(C)=0,性质2：D(aX)=a2D(X),若X,Y 相互独立，则,性质3：,结论：,若X,Y 相互独立，则,若X,Y 相互独立,注意：,对于二维随机变量（X,Y)，我们除了讨论X与Y的数学期望和方差以外，还需讨论描述X与Y之间相互关系的数学特征，下面我们讨论有关这方面

33、的数学特征：协方差及相关系数,定义：EX-E(X)(Y-E(Y)称为随机变量X与Y的协方差,记为Cov(X,Y),即Cov(X,Y)=EX-E(X)(Y-E(Y),协方差常用的计算公式：,若D(X)0,D(Y)0,称,为X,Y 的 相关系数，记为,定义,即Y 与X 有线性关系的概率等于1。,（1）,（2）,X,Y 不相关,X,Y 相互独立,X,Y 不相关,若(X,Y)服从二维正态分布，,X,Y 相互独立,X,Y 不相关,（3）,确定性因素和随机性因素,随机因素可以忽略,随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现,随机因素影响必须考虑,概率模型,统计回归模型,马氏链模型,随机模型,一 报童的诀窍,

34、问题,报童售报：a(零售价)b(购进价)c(退回价),售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c,每天购进多少份可使收入最大？,分析,购进太多卖不完退回赔钱,购进太少不够销售赚钱少,应根据需求确定购进量,每天需求量是随机的,优化问题的目标函数应是长期的日平均收入,等于每天收入的期望,建模,设每天购进 n 份，日平均收入为 G(n),调查需求量的随机规律每天需求量为 r 的概率 f(r),r=0,1,2,准备,求 n 使 G(n)最大,已知售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c,求解,将r视为连续变量,结果解释,取n使,a-b 售出一份赚的钱 b-c 退回一份赔的钱,二 随机存贮策略,问题,以周为时

35、间单位；一周的商品销售量为随机；周末根据库存决定是否订货，供下周销售。,（s,S)存贮策略制订下界s,上界S，当周末库存小于s 时订货，使下周初的库存达到S;否则，不订货。,考虑订货费、存贮费、缺货费、购进费，制订（s,S)存贮策略,使(平均意义下)总费用最小,模型假设,每次订货费c0,每件商品购进价c1,每件商品一周贮存费c2,每件商品缺货损失费c3(c1c3),每周销售量 r 随机、连续，概率密度 p(r),周末库存量x,订货量 u,周初库存量 x+u,每周贮存量按 x+u-r 计,建模与求解,（s,S)存贮策略,确定(s,S),使目标函数每周总费用的平均值最小,平均费用,订货费c0,购进

36、价c1,贮存费c2,缺货费c3,销售量 r,s 订货点，S 订货值,建模与求解,1）设 xs,求 u 使 J(u)最小，确定S,建模与求解,2）对库存 x，确定订货点s,若订货u,u+x=S,总费用为,若不订货,u=0,总费用为,建模与求解,最小正根的图解法,J(u)在u+x=S处达到最小,I(x)在x=S处达到最小值I(S),I(x)图形,建模与求解,人口模型,1、指数增长模型马尔萨斯提出(1798)2、阻滞增长模型（Logistic模型）3、随机人口模型,指数增长模型马尔萨斯提出(1798),x(t)时刻t的人口,基本假设:人口(相对)增长率 r 是常数,随着时间增加，人口按指数规律无限增

37、长,阻滞增长模型（Logistic模型）,随着人口的增加，人口增长速度会降低，可假设为人口数的减函数,人口数量最终会饱和，趋于某一个常数,当 时，增长率应为0，即,三 随机人口模型,背景,一个人的出生和死亡是随机事件,一个国家或地区,平均生育率平均死亡率,确定性模型,一个家族或村落,出生概率死亡概率,随机性模型,对象,X(t)时刻 t 的人口,随机变量.,Pn(t)概率P(X(t)=n),n=0,1,2,研究Pn(t)的变化规律；得到X(t)的期望和方差,若X(t)=n,对t到t+t的出生和死亡概率作以下假设,1)出生一人的概率与t成正比，记bnt;出生二人及二人以上的概率为o(t).,2)死

38、亡一人的概率与t成正比，记dnt;死亡二人及二人以上的概率为o(t).,3)出生和死亡是相互独立的随机事件。,bn与n成正比，记bn=n,出生概率；dn与n成正比，记dn=n，死亡概率。,进一步假设,模型假设,建模,为得到Pn(t),P(X(t)=n),的变化规律，考察Pn(t+t)=P(X(t+t)=n).,事件X(t+t)=n的分解,X(t)=n-1,t内出生一人,X(t)=n+1,t内死亡一人,X(t)=n,t内没有出生和死亡,其它(出生或死亡二人，出生且死亡一人，),概率Pn(t+t),Pn-1(t),bn-1t,Pn+1(t),dn+1t,Pn(t),1-bnt-dn t,o(t),一组递推微分方程求解的困难和不必要,(t=0时已知人口为n0),转而考察X(t)的期望和方差,微分方程,建模,X(t)的期望,求解,基本方程,求解,比较：确定性指数增长模型,X(t)的方差,-=r D(t),D(t),X(t)大致在 E(t)2(t)范围内（(t)均方差）,r 增长概率,r 平均增长率,