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1、第六章、三维变换和投影,三维几何变换,三维变换矩阵,投影,三维几何变换,三维其次坐标(x,y,z)点对应的齐次坐标为标准齐次坐标(x,y,z,1)右手坐标系,如果用x y z 1表示变换前的三维空间一点，用x/y/z/1表示变换后的点，则点的变换式为：,x/y/z/1=x y z 1 T,设T为三维变换矩阵,将T分为四个子矩阵,三维几何变换,11矩阵 对三维图形实现全比例变换。,将T分为四个子矩阵，作用如下：,33矩阵 对三维图形实现比例、对称、错切、和旋转变换。,13矩阵 对三维图形实现平移变换。,13矩阵 对三维图形实现透视变换。,三维几何变换,平移变换矩阵,比例变换矩阵,三维变换矩阵,在
2、二维变换下，对称变换是以线和点为基准，在三维变换下，对称变换则是以面、线、点为基准的。对称于XOY平面,三维变换矩阵,对称于YOZ平面,对称于XOZ平面,Z,三维变换矩阵,绕X轴旋转 空间上的立体绕X轴旋转时，立体上各点的X坐标不变，只是Y、Z坐标发生相应的变化。,矩阵表示为：遵循右手法则，即若0，大拇指指向 轴的正向，其它手指指的方向为旋转方向。,三维变换矩阵,X,Y,Z,O,X,Z,O,Z,三维变换矩阵,绕Y轴旋转 空间上的立体绕Y轴旋转时，立体上各点的Y坐标不变，只是X、Z坐标发生相应的变化。,矩阵表示为：,三维变换矩阵,三维变换矩阵,X,Y,Z,O,绕Z轴旋转 空间上的立体绕Z轴旋转时
3、，立体上各点的Z坐标不变，只是X、Y坐标发生相应的变化。,矩阵表示为：,三维变换矩阵,绕任意轴的旋转变换-方法,a)绕过原点的任意轴的旋转变换空间点P(x,y,z)绕过原点的任意轴ON逆时针旋转角的旋转变换。基本思想：因ON 轴不是坐标轴，应设法旋转该轴，使之与某一坐标轴重合，然后进行旋转角的变换，最后按逆过程，恢复该轴的原始位置。,解：令ON 为单位长度，其方向余弦为：、为ON 轴与各坐标轴的夹角。变换过程如下：1)让ON 轴绕z轴旋转，使之在XOZ平面上。其中,绕任意轴的旋转变换-方法,因此2）让在XOZ平面上的ON 绕y轴旋转,使之与z轴重合。其中 因此,绕任意轴的旋转变换-方法,3）P
4、点绕ON 轴（即z轴）逆时针旋转角4）ON 轴绕y 轴旋转 5）ON 轴绕z轴旋转 因此b)绕任意轴的旋转变换上面的ON轴若不过原点，而是过任意点(x0,y0,z0)，变换如何呢？,绕任意轴的旋转变换-方法1,三维错切变换的坐标表示为：,三维错切变换矩阵为：,三维变换矩阵,三维错切变换中，一个坐标的变化受另外两个坐标变化的影响。如果变换矩阵第1列中元素d和g不为0，产生沿x轴方向的错切；第2列中元素b和h不为0，产生沿y轴方向的错切；第3列中元素c和f不为0，产生沿z轴方向的错切。,此时，b0，h0，c0，f0。因此，沿x方向错切变换矩阵为：,当d0时，错切平面离开z轴，沿x方向移动gz距离；
5、当g0时，错切平面离开y轴，沿x方向移动dy距离。,1.沿x方向错切,三维变换矩阵,例 将一单位立方体进行错切变换，使错切平面沿X方向移动并离开Y轴。令变换矩阵,三维变换矩阵,变换结果如图所示:,Z,X,Y,变换前,变换后,错切平面垂直于Y轴，沿X轴正向移动。,错切平面垂直于Z轴，沿X轴正向移动。,变换前,变换后,Z,X,Y,三维变换矩阵,2.要求沿Y方向错切 a.当变换矩阵为：b.当变换矩阵为：,错切平面沿Y轴方向移动且离开Z轴,错切平面沿Y轴方向移动且离开X轴,三维变换矩阵,3.要求沿Z方向错切 a.当变换矩阵为：b.当变换矩阵为：,错切平面沿Z轴方向移动且离开X轴,错切平面沿Z轴方向移动
6、且离开Y轴,三维变换矩阵,投影,要把现实世界的三维物体在计算机的二维屏幕上显示，必须经过投影变换，把物体表示形式转化为二维表示形式。,投影变换:把三维物体变为二维图形表示的过程称为投影变换。,投影变换常用平行投影和透视投影。,平行投影,根据投影线方向与投影平面的夹角，平行投影分为两类：正平行投影与斜平行投影 正平行投影包括：正投影（三视图）和正轴侧投影三视图：三个投影面和坐标轴相互垂直。正轴侧：投影面和坐标轴呈一定的关系。,三视图是正投影视图，包括主视图、俯视图和侧视图，投影面分别与y轴、z轴和x轴垂直。即将三维物体分别对正面、水平面和侧平面做正投影得到三个基本视图。图6-2为正三棱柱的立体图
7、，图6-3为正三棱柱的三视图。,侧视图,主视图,图 6-2 正三棱柱的立体图 图6-3正三棱柱的三视图,平行投影_三视图,将三棱柱向xoz面作正交投影，得到主视图。设三棱柱上任一点坐标用P(x，y，z)表示，它在xoz面上投影后坐标为P(x，y，z)。其中x=x，y=0，z=z。,主视图投影变换矩阵为：,1.主视图,平行投影_三视图,将三棱柱向xoy面作正交投影得到俯视图。设三维物体上任一点坐标用P(x，y，z)表示，它在xoy面上投影后坐标为P(x,y,z)。其中x=x，y=y，z=0。,投影变换矩阵为：,2.俯视图,平行投影_三视图,为了使俯视图和主视图在一个平面内，就要使xoy面绕x轴顺
8、时针旋转90，旋转变换矩阵为：,为了使俯视图和主视图有一定的间距，还要使xoy面沿z负方向平移一段距离-z0，平移变换矩阵为：,平行投影_三视图,俯视图的投影变换矩阵为上述三个变换矩阵的乘积：,俯视图投影变换矩阵为：,平行投影_三视图,将三棱柱向yoz面作垂直投影得到侧视图。设三维物体上任一点坐标用P(x，y，z)表示，它在yoz面上投影后坐标为P(x，y，z)。其中x=0，y=y，z=z。,投影变换矩阵为：,3.侧视图,平行投影_三视图,为了在xoz平面内表示侧视图，需要将yoz面绕z轴逆时针旋转90,旋转变换矩阵为：,为了使侧视图和主视图之间有一定的间距，还要将yoz面沿x轴负向平移一段距
9、离-x0，平移变换矩阵为：,平行投影_三视图,侧视图的投影变换矩阵为上面三个变换矩阵的乘积：,侧视图投影变换矩阵为：,平行投影_三视图,2023/5/19,浙江大学计算机图形学,35,当投影方向不取坐标轴方向，投影平面不垂直于坐标轴时，产生的正投影称为正轴测投影。正轴测投影分类：1、正等测：投影平面与三个坐标轴的交点到坐标原点的距离都相等。沿三个轴线具有相同的变形系数。,平行投影_正轴测投影,2023/5/19,浙江大学计算机图形学,36,正二测：投影平面与两个坐标轴的交点到坐标原点的距离都相等。沿两个轴线具有相同的变形系数。,平行投影_正轴测投影,2023/5/19,浙江大学计算机图形学,3
10、7,正三测：投影平面与三个坐标轴的交点到坐标原点的距离都不相等。沿三个轴线具有各不相同的变形系数。,平行投影_正轴测投影,2023/5/19,浙江大学计算机图形学,38,正轴测投影的形成过程如下：将空间一立体绕绕y轴旋转y角然后再绕x轴旋转x最后向z=0平面做正投影,平行投影_正轴测投影,由于这种投影的投影平面不与立体的轴线垂直，同时可见到物体的多个面，因而可产生立体效果。经过正轴测投影变换后，物体线间的平行性不变，但角度有变化。,2023/5/19,浙江大学计算机图形学,39,平行投影_正轴测投影,正轴测投影变换矩阵的一般形式：,2023/5/19,浙江大学计算机图形学,40,平行投影_正二
11、测和正等测,下面主要讨论正二测和正等测的投影变换矩阵，即定变换矩阵中的x角和y角。如何度量沿三个轴线方向的变形系数呢？,2023/5/19,浙江大学计算机图形学,41,正二侧投影需满足：假定Z轴上的单位矢量经变换后长度变为1/2；即取Z轴的变形系数恒为1/2：可得：x=20。42,y=19。28。变换矩阵为,平行投影_正二测和正等测,2023/5/19,浙江大学计算机图形学,42,正等侧投影需满足：求得：正等测图的变换矩阵为,平行投影_正二测和正等测,斜平行投影,投影线与投影平面不垂直一、斜等测投影a、投影平面与一坐标轴垂直b、投影线与投影平面成45角与投影平面垂直的线投影后长度不变二、斜二测
12、投影a、投影平面与一坐标轴垂直b、投影线与该轴夹角成 arcctg(1/2)角该轴轴向变形系数为。即与投影平面垂直的线投影后长度变为原来的一半。,1 已知投影方向矢量为（xp,yp,zp）设形体被投影到XOY平面上形体上的一点(x,y,z)在xoy平面上投影后(xs,ys)投影方向矢量为(xp,yp,zp)投影线的参数方程为：,斜平行投影,因为,所以,若令,斜平行投影,y,z,x,(xs,ys),(x,y,z),(xp,yp,zp),斜平行投影,矩阵式为：,与平行投影相比，透视投影的特点是所有的投影线都从空间一点投射，离视点近的物体投影大，离视点远的物体投影小，小到极点成为灭点。生活中，照相机
13、拍摄的照片，画家的写生画等均是透视投影的例子。透视投影模拟了人的眼睛观察物体的过程，符合人类的视觉习惯，所以在真实感图形中得到广泛应用。一般将屏幕放在观察者和物体之间，如图所示。投影线与屏幕的交点就是物体上点的透视投影。观察者的眼睛位置称为视点，视线与屏幕的交点称为视心，视点到视心的距离称为视距。,透视投影,透视变换中屏幕的位置,透视投影变换中，物体位于用户坐标系中，视点位于观察坐标系中，投影位于屏幕坐标系中。三种坐标系的关系如下图所示.,透视变换坐标系,用户坐标系采用右手球面坐标系。坐标原点在O点，视点的直角坐标为Os（a，b，c），OOS的长度为R，OOS和z轴的夹角为，Os点在xoy平面
14、内的投影为P（a，b），OP和x轴的夹角为。视点的球面坐标表示为Os（R，）。视点的球面坐标和直角坐标的关系为：,1、用户坐标系,0R，0，02。,观察坐标系为左手系，坐标原点位于视点Os上。zs轴沿着视线方向OSO，视线的正右方为xs轴，视线的正上方为ys轴。,2、观察坐标系,3、屏幕坐标系,屏幕坐标系也是左手系，坐标原点Op位于视心。屏幕坐标系的xp和yp轴与观察坐标系的xs轴和ys轴方向一致，也就是说屏幕垂直于视线，zp轴自然与zs轴重合。,坐标系变换,如果观察坐标系中的视点固定，旋转用户坐标系中的物体，就可以在屏幕上产生该物体各个方向的透视图。把用户坐标系中三维物体上的点变换为观察坐标
15、系中的点，等同于点固定，坐标系发生变换。前面讲解三维基本几何变换矩阵时，坐标系固定，点发生变换。有时需要点固定，坐标系发生变换，二者效果一致。如下图中，点从P变换到P等价于点P点固定，坐标系从xyz变换到xyz。这时，变换矩阵的参数需要取反。平移矩阵为：,式中，Tx，Ty，Tz是坐标系之间的平移参数。,坐标系变换,P(x,y,z),P(x,y,z),P(x,y,z)(P（x，y，z）),首先将用户坐标系圆点O平移到观察坐标系原点Os，然后将用户右手坐标系变换为观察左手坐标系，就可以实现从用户坐标系到观察坐标系的变换。1.原点到视点的平移变换把用户坐标系的原点O平移到观察坐标系的原点Os，形成新
16、坐标系x1y1z1，视点的直角坐标为Os（a，b，c），如图所示。变换矩阵为：,用户坐标系到观察坐标系的变换,图 平移变换,2.绕z1轴的旋转变换,上图中坐标系x1y1z1绕z1轴作90-角的顺时针旋转变换，使y1轴位于O1PO平面内，形成新坐标系x2y2z2，如下图所示。,这里坐标系旋转变换矩阵取为逆时针变换矩阵。,绕z1轴顺时针旋转变换,90,上图中坐标系x2y2z2绕x2作180-的逆时针旋转变换，使z2轴沿视线方向，形成新坐标系x3y3z3，如下图所示。,这里坐标系旋转变换矩阵取为顺时针变换阵。,3、绕x2轴的旋转变换,图绕x2轴的逆时针旋转变换,上图中坐标轴x3作关于y3O3z3面的
17、反射变换，形成新坐标系xsyszs，下如图所示，这样就将观察坐标系从右手系变换为左手系，并且zs轴指向xyz坐标系的原点,这里坐标系反射变换矩阵不变。,4、关于y3o3z3面的反射变换,反射变换,变换矩阵,变换为：,写成展开式为：,则有,因此上式可以写为：,令,经过上节变换，用户坐标系中的点已经变换为观察坐标系种的点。观察坐标系和屏幕座标系同为左手系，而且z轴同向。视点Os和视心Op的距离为视距d。假定观察坐标系中物体上的一点为P0（xs，ys，zs），视线OsP0和屏幕的交点为Pp。如图所示。,观察坐标系到屏幕坐标系的变换,P0（xs，ys，zs）,Pp（xp，yp）,P,P,透视变换,d,
18、根据相似三角形对应边成比例的关系，有,于是有：,写成矩阵形式为：,透视变换矩阵为：,在节曾经介绍过，,投影变换。这里r1/d。如果d时，则r0，透视变换转化为平行投影变换。,进行的是透视,通过以上分析，用户坐标系到屏幕坐标系的透视投影变换矩阵为：,图中的林中小路在远方汇聚成为一点。透视投影中，与屏幕平行的平行线投影后仍保持平行。不与屏幕平行的平行线投影后汇聚为一点，此点称为灭点，灭点是无限远点在屏幕上的投影。每一组平行线都有其不同的灭点。一般来说，三维物体中有多少组平行线就有多少个灭点。,小路的透视投影 一点透视投影图,灭点,透视投影分类,平行于某一坐标轴方向的平行线在屏幕上投影形成的灭点称为
19、主灭点。因为有x、y和z三个坐标轴，所以主灭点最多有三个。当某个坐标轴与物体投影面平行时，则该坐标轴方向的平行线在屏幕上的投影仍保持平行，不形成灭点。透视投影中主灭点数目由与投影面相交的坐标轴数目来决定，并据此将透视投影分类为一点、二点和三点透视。一点透视有一个主灭点，即投影面仅与一个坐标轴相交，与另外两个坐标轴平行，如图6-17所示；两点透视有两个主灭点，即投影面仅与两个坐标轴相交，与另一个坐标轴平行；三点透视有三个主灭点，即投影面与三个坐标轴都相交。,透视投影分类,透视投影分类,当屏幕仅与一个坐标轴相交时，形成一个灭点，透视投影图为一点透视图，如下图所示。从前面图可以看出，当0，90时，屏幕平行于yoz面，得到一点透视图。将0，90代入式得到一点透视变换矩阵。一点透视的变换矩阵为：,1、一点透视,立方体的一点透视投影图,当屏幕仅与两个坐标轴相交时，形成两个灭点，透视投影图为二点透视图，如下图所示。从上图可以看出，当090，90时，屏幕与x轴和y轴相交，平行于z轴，得到二点透视图。将90代入式得到二点透视变换矩阵。,2、二点透视,立方体的二点透视投影图,三点透视图是屏幕与三个坐标轴都相交时的透视投影图，如下图所示。从上图可以看出，当090，090时，屏幕与x轴、y轴和z轴相交，得到三点透视图。三点透视变换矩阵：,3、三点透视,立方体的三点透视投影图,
