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1、第十章立体几何初步,第四课时空间图形的基本关系与公理,知识梳理,一、平面平面是空间重要的元素，它是一个抽象的概念平面的两个特征：_.平面的画法：通常画_来表示平面平面的表示：用一个小写的希腊字母、等表示，如平面、平面；或用表示平行四边形的_的字母表示，如平面AC.,答案：无限延展；平的(没有厚度)平行四边形两个相对顶点,二、平面的基本性质(公理及其推论)理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上_都在这个平面内用符号表示为：Al，Bl，A，Bl(如图1)公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们_的公共直线用符号表示为：P，且Pal，且Pl(如图2),公理3：过_的三点，有且只
2、有一个平面(即可以确定一个平面)用符号表示为：点A、B、C不共线确定平面ABC(如图3)推论1：经过一条直线和_，有且只有一个平面推论2：经过两条_，有且只有一个平面推论3：经过两条_，有且只有一个平面公理4：平行于同一条直线的_用符号表示为：ab，bcac.,答案：所有的点有且只有一条过该点不在同一直线上这条直线外的一点相交直线平行直线两条直线互相平行,三、空间图形的基本关系(1)空间直线与直线的位置关系：_.相交直线有且仅有一个公共点；平行直线在同一平面内，没有公共点；异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点相交直线和平行直线也称为共面直线(2)空间直线与平面的位置关系：_.直线在平面内无
3、数个公共点；直线和平面相交有且只有一个公共点；,直线和平面平行没有公共点符号分别可表示为a，aA，a(如下图),(3)空间平面与平面的位置关系：_.两平面平行没有公共点；两平面相交有一条公共直线符号分别可表示为，l.,答案：(1)相交，平行，异面(2)直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行(3)平面与平面平行，平面与平面相交,四、空间四边形四个顶点不在同一平面内的四边形叫做空间四边形五、空间等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_,答案：五、相等或互补,基础自测,1下列推断中，错误的是()AAl，A，Bl，BlBA，A，B，BABCl，AlADA，B，C，A，B，C，且
4、A、B、C不共线，重合,C,2下列图形中不一定是平面图形的是()A三角形 B菱形C梯形 D四边相等的四边形,D,3若A表示点，a表示直线，、表示平面，则下列各项中，表述错误的是()Aa，AaABa，AaACA，A，aAaDAa，Aa,B,4在空间四边形ABCD中，E，H分别为AB，AD的中点，FBC，GCD，且CFCBCGCD23，那么四边形EFGH是_，若BD6 cm，四边形EFGH的面积为28 cm2，则EH与FG间的距离为_,解析：由已知EH綊 BD，FG綊 BD，EHFG，但EHFG，四边形EFGH是梯形由梯形面积公式知 h28，h8.答案：梯形8 cm,判断下列命题的真假：(1)如果
5、平面与平面相交，那么它们只有有限个公共点；(2)过一条直线的平面有无数多个；(3)两个平面的交线可能是一条线段；(4)两个相交平面有不在同一条直线上的三个公共点；(5)经过空间任意三点有且仅有一个平面；(6)如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面就重合为一个平面其中真命题序号是_(把你认为正确的命题序号都填上),解析：根据公理可知，(2)和(6)为真命题，其余皆为假命题 答案：(2)和(6),变式探究,1判断下列命题的真假，真的打“”，假的打“”(1)空间三点可以确定一个平面()(2)两条直线可以确定一个平面()(3)两条相交直线可以确定一个平面()(4)一条直线和一个点可以确定一个
6、平面()(5)三条平行直线可以确定三个平面()(6)两两相交的三条直线确定一个平面()(7)两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合()(8)若四点不共面，那么每三个点一定不共线(),答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8),如右图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点求证：四边形EFGH是平行四边形思路分析：由三角形的边的中点联想到中位线平行底边的性质再考虑到证明平行四边形的方法四边形中有一组对边平行且相等、两组对边平行等方法,证明：连结BD，因为EH是ABD的中位线，所以EHBD，且EH BD.同理，FGBD，且FG BD.所以EH
7、FG，且EHFG，所以四边形EFGH为平行四边形,点评：空间四边形是立体几何中重要的一类模型要注意它的图形的画法以及图形的特征如对角线的概念等若补齐两条对角线，再将其看成封闭的空间图形，实际上，已经变成三棱锥了,变式探究,2在长方体ABCDA1B1C1D1中，经过其对角线BD1的平面分别与棱AA1、CC1相交于E，F两点，则四边形EBFD1的形状为_,平行四边形,已知：a、b、c、d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a、b、c、d共面,证明：(1)若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a、b、c相交于一点A，但Ad，如右图直线d和A确定一个平面.,又设直线d与a、b、c分别相交于E、F、G，
8、则A、E、F、G.A、E，A、Ea，a.同理可证b，c.a、b、c、d在同一平面内,(2)当四条直线中任何三条都不共点时，如右图，这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面.,设直线c与a、b分别交于点H、K，则H、K.又H、Kc，c.同理可证d.a、b、c、d四条直线在同一平面内点评：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内本题最容易忽视“三线共点”这一种情况因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义,变式探究,3求证：三角形是平面图形,证明：三角形ABC的顶
9、点A、B、C不共线，由公理3知，存在平面，使得A、B、C，再由公理1知，AB、BC、CA，三角形ABC上的每一个点都在同一个平面内，三角形ABC是平面图形,(2011年成都检测)如右图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BC綊 AD，BE綊 AF证明：C、D、F、E四点共面证明：延长DC交AB的延长线于点G，由BC綊 AD得延长FE交AB的延长线于G，同理可得,故，即G与G重合因此直线CD、EF相交于点G，即C，D，F，E四点共面,变式探究,4.(2010年巢湖模拟)如下图，在六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四
10、边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1平面A1B1C1D1，DD1平面ABCD，DD12.,求证：A1C1与AC共面，B1D1与BD共面,证明：D1D平面A1B1C1D1，D1D平面ABCD.平面A1B1C1D1平面ABCD.于是C1D1CD，D1A1DA.设E，F分别为DA，DC的中点，连结EF，A1E，C1F，,易知D1A1綊DE，四边形A1EDD1为平行四边形，AE綊D1D，同理，C1F綊D1D，A1E綊C1F，,四边形A1EFC1为平行四边形，A1C綊EF.又EFAC，故A1C1AC，A1C1与AC共面 过点B1作B1O平面ABCD于点O，则B1O綊A1E，B1O綊C1F，B1
11、O綊DD1，四边形OB1D1D为平行四边形，B1D1OD，连结OE，OF，于是OE綊B1A1，OF綊B1C1，,OEOF.B1A1A1D1，OEAD.B1C1C1D1，OFCD.所以点O在BD上，故D1B1与DB共面,5下列正方体或正四面体中，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是(),解析：选项A中，PRQS，选项B中，PQ与RS相交，而选项C中，PQRS，从而选A，B与C都是四点共面，只有选项D中PQ与RS为异面直线事实上，PQ与RS既不平行又不相交，从而这四点不共面故选D.答案：D,如右图，在空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD中点，F、G分别在BC、CD上，
12、且(1)判断四边形EFGH的形状；(2)求证：EF和GH的交点在直线AC上,思路分析：(1)由题设易证EHFG，且EHFG，故四边形EFGH为梯形；(2)欲证三线共点，可先证其中两条直线有交点，再证交点也在第三条直线上,解析：(1)E，H分别是边AB，AD的中点，EHBD，且EH BD，又FGBD且FG BD，四边形EFGH为梯形(2)证明：由(1)知，四边形EFGH为梯形，从而两腰EF，GH相交，设交点为P，P直线EF，直线EF平面ABC，P平面ABC.P直线GH，直线GH平面ACD，P平面ACD.,P是平面ACD与平面ABC的公共点，又平面ACD平面ABC直线AC，P直线AC.直线EF，G
13、H，AC交于一点P.EF和GH的交点在直线AC上点评：欲证明若干点共线，先证明这些点都是某两个平面的公共点，再运用公理2，得出这些点都在这两个平面的交线上的结论,变式探究,6.如右图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG交于点O.求证：B、D、O三点共线,证明：EAB，HAD，E平面ABD，H平面ABD.EH平面ABD.EHFGO，O平面ABD.同理可证O平面BCD，O平面ABD平面BCDBD，即B、D、O三点共线,如右图，在单位正方体ABCDA1B1C1D1中，Q是棱CC1延长线上一点，过BD与Q的平面截得正方体的截面为EFBD.(1)判断截面EFBD的形
14、状；(2)若设C1到EF的距离为x，试把截面EFBD的面积表示为x的函数S(x),解析：(1)EC1DC 同理EFBD，又易知，EDBF，EFBD四边形EFBD是等腰梯形(2)如图分别取EF，BD中点K，O，连结KO，C1K，CO；C1K即为C1到EF距离，C1Kx.作KMOC于M，KO,所以,7如右图，正方体的棱长是a，E、F分别是两条棱的中点(1)证明：四边形EFBD是一个梯形；,(2)求四边形EFBD(图中阴影部分)的面积；(3)证明：DE和BF的交点在直线CC上,解析：(1)证明：连接BD，E、F分别是CD和CB的中点，则EFBD且EF BD，在正方体AC中，BDBD且BDBD，所以E
15、FBD且EF BD，即四边形EFBD是一个梯形,(2)如右图易知，DEDBFB，从而EDBF，可得梯形EDBF为等腰梯形 BD a，EF a，,BF作EGBD于点G，则 高EG S梯形EFBD(3)证明：设DE和BF的交点为H,HCC，证毕,1立体几何中的公理、定理及推论都有三种表达形式：文字语言、图形语言、符号语言注意三种语言的准确表达与互译空间图形都是由点、线、面三种基本元素组成对空间图形要会画图和识图图形对于分析空间元素的位置关系，展开想象，探索解题思路是至关重要的要注意点、线、面的符号表示，并能正确的用集合语言描述它们之间的位置关系一般说来，点用大写字母表示，如点A，点P等；直线(或线
16、段)用小写字母或直线上两个点来表示，如直线l，直线AB等点、线、面间关系表示如下：点A直线l，点A直线l，点A平面，,点A平面，直线l平面，直线l平面，相交关系用“”表示并指明交点(或交线)，垂直关系用“”表示，平行关系用“”表示 2.公理的作用：公理1的作用是判断直线是否在某个平面内；公理2的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明“线共点”的理论依据；公理3及其3个推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法公理4是对初中平行线的传递性在空间中的推广(注：在将初中的一些平面几何的结论推广到立体几何时，并非所有命题都成立，读者应注意命题成立的条件)空间等角定理是转化和求解空间角，如异面直线所
17、成角、线面角、二面角的理论依据，要注意它的结论是相等或互补,1(2009年湖南卷)平行六面体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面也CC1与共面的棱的条数为()A3B4C5D6,解析：如右图，用列举法知符合要求的棱为：BC、CD、C1D1、BB1、AA1，故选C.答案：C,2(2009年安徽卷)对于四面体ABCD，下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)(1)相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；(2)由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD的三条高线的交点；(3)若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合；(4)任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；(5)分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点,解析：由空间四面体棱、面关系可判断(1)(4)(5)正确，可举例说明(2)(3)错误答案：(1)(4)(5),祝,您,学业有成,
