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1、第二章 平面桁架有限元分析及程序设计,2.1 平面桁架单元的离散2.2 平面桁架单元分析2.3 结点平衡与整体刚度矩阵的集成2.4 边界条件的处理2.5 单元内力与支座反力的计算2.6 平面桁架有限元程序设计,有限单元法及程序设计,解题方法,方法1：节点法,方法2：截面法,静定桁架,回顾,第二章 平面桁架有限元分析及程序设计,解题方法：力法和位移法,超静定桁架,第二章 平面桁架有限元分析及程序设计,如图所示桁架，求各杆轴力。,力的平衡条件：,位移的协调方程：,1杆和3杆位移：,2杆位移：,超静定桁架,第二章 平面桁架有限元分析及程序设计,1杆轴力竖向分量：,2杆轴力：,式中：和 为杆件的刚度系
2、数；,物理意义：4点产生单位位移，杆端产生的竖向杆端力；由杆件的物理性质和几何性质决定；,V4为第4节点竖向位移,第二章 平面桁架有限元分析及程序设计,超静定桁架,代入平衡方程：,结构的整体刚度系数,位移法求解超静定结构。,离散原则：每个结点离散后还是一个结点，每个杆件离散后变成一个单元,1,结构的离散化：尽量将结构离散成数量最少的等截面直杆单元,2,3,4,5,6,2.1 平面桁架单元的离散,9个单元，6个结点,1,2,3,4,5,6,7,8,16个单元，8个结点,局部坐标系下的单元刚度矩阵,局部坐标系的建立,i,E，A，l,j,e,轴：沿单元的杆轴方向；,2.2 平面桁架的单元分析,轴：从
3、 轴逆时针旋转90。,原点：以第一个结点为坐标原点；,杆端位移：,i,j,e,杆端力：,符号：与坐标系的方向一致为正，反之为负。,单元右端杆端力：,单元左端杆端力：,单元应力：,单元应变：,右结点固定,结点位移：,左结点固定,杆的受力分为两种情况：,2.2 平面桁架的单元分析,任意情况（左右结点均有变形）即为以上两种状态的叠加：,杆端力为：,式中 为单元刚度矩阵(局部坐标系),杆单元轴力为：,式中 为单元应力(广义)矩阵；,2.2 平面桁架的单元分析,单元杆端力方程：,杆端位移：,杆端力：,单元轴力：,2.2 平面桁架的单元分析,杆端位移和杆端力,符号：与坐标系的方向一致为正，反之为负。,杆端
4、力：,2.2 平面桁架的单元分析,整体坐标系下的单元刚度矩阵,若局部坐标系与整体坐标系重合，则整体坐标系下的单元刚度矩阵与局部坐标下的单元刚度矩阵相同。,若局部坐标系与整体坐标系不重合，如下图所示：,杆端位移：,杆端力：,杆端位移：,i 结点：,j 结点：,2.2 平面桁架的单元分析,设杆件的长度为 l，则：,两边微分：,由于杆件的变形产生位移：,因此，杆件应变为：,杆件轴力为：,符号：杆件轴力以拉为正，压为负。,杆件的结点力为：,因此，杆件结点力向量为：,式中 是整体坐标系下的单元刚度矩阵；,2.2 平面桁架的单元分析,写成分块矩阵形式：,式中：,2.2 平面桁架的单元分析,（1）单元刚度系
5、数kij的意义,j自由度(结点)产生的单位杆端位移引起的i自由度(结点)的杆端力,（2）单元刚度矩阵是对称矩阵,反力互等定理,式中：,杆件单元的应力矩阵为：,单元刚度矩阵的性质,2.2 平面桁架的单元分析,（3）单元刚度矩阵一般是不可逆的,2.2.3 单元坐标转换矩阵,2.2 平面桁架的单元分析,取任意杆件,建立如图所示的局部坐标系：,杆端力：,杆端位移：,2.2.3 单元坐标转换矩阵,x,y,2.2 平面桁架的单元分析,杆端力：,杆端位移：,在上图中,建立如图所示的整体坐标系：,以i结点为例：,同理，对于j 结点：,2.2 平面桁架的单元分析,写成矩阵形式：,因此：,其中，T为转换矩阵：,转
6、换矩阵的性质,转换矩阵是正交矩阵；,同理，位移也存在转换关系：,代入局部坐标系下的刚度方程：,2.2 平面桁架的单元分析,与利用微分得到的单元在总体坐标下的刚度方程相同,1、对总体结点位移和单元进行编码；,2、单元局部坐标系下的刚度矩阵;,1,2,3,例：如图所示平面桁架，杆长为l，截面积为A，求三个单元在整体坐标系下的刚度矩阵。,2.2 平面桁架的单元分析,3、单元整体坐标系分析:,解：,单元整体坐标系下的刚度矩阵为:,4、单元整体坐标系分析:,5、单元整体坐标系分析:,1,2,3,例：如图所示平面桁架，杆长为l，截面积为A，求结构的刚度矩阵。,2.3 结点平衡与整体刚度矩阵的集成,1、单元
7、整体坐标系下刚度矩阵分块,解：,2.3.1 结点的平衡方程,2.3 结点平衡与整体刚度矩阵的集成,F,1,2、结点1的平衡方程：,结点1的受力状态为（如右图）:,结点1的平衡条件为:,由单元的刚度方程：,由单元的刚度方程：,2.3 结点平衡与整体刚度矩阵的集成,代入结点1的平衡条件:,3、结点2的平衡方程：,同理，结点2的平衡条件为:,由单元的刚度方程：,由单元的刚度方程：,2.3 结点平衡与整体刚度矩阵的集成,代入结点2的平衡条件:,4、结点3的平衡方程：,同理，结点3的平衡条件为:,由单元的刚度方程：,由单元的刚度方程：,2.3 结点平衡与整体刚度矩阵的集成,代入结点3的平衡条件:,5、系
8、统的平衡方程：,2.3 结点平衡与整体刚度矩阵的集成,6、结构整体刚度方程,写成矩阵形式，即可得到结构的整体刚度方程,其中，K为结构的整体刚度矩阵；,整体刚度矩阵的集成步骤,1、定位,单元结点编号,2、累加,整体结点编号,单元刚度系数,整体刚度系数,2.3 结点平衡与整体刚度矩阵的集成,单元定位向量,1,2,3,2.3 结点平衡与整体刚度矩阵的集成,例：求上例平面桁架结构的整体刚度矩阵；,1、定位,单元：,1 2 3,123,(2)(1),(2)(1),2、累加,2.3 结点平衡与整体刚度矩阵的集成,1、定位,单元：,(2)(1),(2)(1),2、累加,1、定位,单元：,2、累加,(1)(2
9、),(1)(2),2.3 结点平衡与整体刚度矩阵的集成,结构的整体刚度矩阵为:,将每个字块展开，结构的整体刚度矩阵为:,2.3 结点平衡与整体刚度矩阵的集成,1、整体刚度矩阵的性质,2.3.2 整体刚度矩阵的集成方法,（1）刚度系数Kij的意义,分块矩阵：,（2）单元刚度矩阵是对称矩阵,反力互等定理,j结点产生的单位杆端位移引起的i结点的杆端力；,j自由度产生的单位杆端位移引起的i自由度的杆端力；,不分块矩阵：,2.3 结点平衡与整体刚度矩阵的集成,思考题：如何由刚度矩阵元素的意义确定整体刚度矩阵每个元素的组成？,2.3 结点平衡与整体刚度矩阵的集成,1,2,3,4,练习题：利用整体刚度矩阵的
10、意义确定以下桁架刚度矩阵元素（分块）的组成。,整体刚度矩阵的集成步骤,1、定位,单元自由度编号,2、累加,整体自由度编号,2.3 结点平衡与整体刚度矩阵的集成,自由度定位向量,单元刚度系数,整体刚度系数,练习题：利用整体刚度矩阵的意义确定以下桁架刚度矩阵元素（自由度）的组成。,结点边界条件,2.4 边界条件的处理,结点可以自由变形，整体结点力等于对应的外荷载。,1、自由变形的结点,2、约束结点或给定了结点位移的数值,约束结点：,给定结点位移：,边界条件的处理方法,2.4 边界条件的处理,1）划行划列法,处理方法：若第i个自由度位移为零，则将总刚第i行和第i列划掉，刚度矩阵相应降低一阶。,0,0
11、,0,优点：简单易行，矩阵降阶，减小计算工作量；,缺点：矩阵行列、位移、荷载向量需重新编号，程序实现比较复杂；,只适用于约束结点情况；,2.4 边界条件的处理,2）0、1置换法（填0置1法）,处理方法：将与约束自由度对应整体刚度矩阵对角线元素全部置换成1，相应行和列其他元素置换成0，将同一行荷载分量置换成0。,0,0,0,1,1,1,0,0,0,适用条件：只适用于约束结点，不适用给定位移边界条件；,2.4 边界条件的处理,3）乘大数法,处理方法：将与约束自由度对应整体刚度矩阵对角线元素乘以一个大数N(1010-1015)，将同一行荷载分量置换成N与对角线元素的乘积与给定位移之积。,N,N,N,
12、NK33b1,NK44b2,NK66b3,优点：处理工作量小，适用于给定位移情况；,0,0,0,2.5 单元轴力及支座反力的计算,单元轴力：,(1)整体坐标系下的单元杆端位移,(2)整体坐标系下的单元轴力,单元轴力的计算,位移和荷载向量分解为自由结点和约束结点两部分，刚度矩阵相应分块，如下所示：,支座反力的计算,其中：,为自由位移;,为约束位移;,为外荷载;,为约束自由度结点力;,因此：,为支座反力;,为约束自由度结点荷载;,其中：,2.5 单元轴力及支座反力的计算,1、计算分析题平面桁架结构网格如图所示，已知EA=1500 kN，采用乘大数方法引入支撑条件，试求后处理法引入支撑条件后的满阵存
13、贮的整体刚度矩阵 K。结构坐标系下单元刚度矩阵计算公式如下：,例题,式中：,2、计算分析题按照有限元法的计算步骤，求图示桁架结构各杆轴力。已知：EA=10 kn。结构坐标系下的单元刚度矩阵计算公式如下：,例题,式中：,2.6 程序设计,程序设计原则完整性扩充性兼容性逻辑性可读性可维护性模块化,2.6 程序设计,程序设计流程图（程序框图）什么是流程图？“程序流程图”常简称为“流程图”，是一种传统的算法表示法，程序流程图是人们对解决问题的方法、思路或算法的一种描述。它利用图形化的符号框来代表各种不同性质的操作，并用流程线来连接这些操作。,2、如何画流程图,编码和单元测试 这个阶段的任务是程序员根据
14、目标系统的性质和实际环境，选取一种适当的高级程序设计语言(必要时用汇编语言)，把详细设计的结果翻译成用选定的语言书写的程序，并且仔细测试编写出的每一个模块。程序员在书写程序模块时，应使它的可读性、可理解性和可维护性良好。,综合测试,这个阶段的任务是通过各种类型的测试，使软件达到预定的要求。最基本的测试是集成测试和验收测试。集成测试是根据设计的软件结构，把经单元测试的模块按某种选定的策略装配起来，在装配过程中对程序进行必要的测试。验收测试是按照需求规格说明书的规定，由用户对目标系统进行验收。通过对软件测试结果的分析可以预测软件的可靠性；反之，根据对软件可靠性的要求也可以决定测试和调试过程什么时候
15、可以结束。在进行测试的过程中，应该用正式的文档把测试计划、详细测试方案以及实际测试结果保存下来，作为软件配置的一部分。,2.6 程序设计,程序框图,输入数据,单元局部刚度,坐标转换矩阵,单元整体刚度,集成整体刚度矩阵元素,约束条件处理、解方程,计算单元轴力、约束反力,单元循环,包括单元、结点、材料、荷载、约束数据,2.6 程序设计,程序说明,1、总体刚度矩阵的半带宽存储,总体刚度矩阵：,对称稀疏矩阵；,0,0,半带宽：,总体刚度矩阵集成：,2.6 程序设计,行号：,0,列号：,主对角线,半带宽存储下三角：,2.6 程序设计,2、先处理法处理边界条件,单元定位向量：,(1,2),(3,4),(5
16、,6),后处理：,(1,2),(0,0),(3,0),划行划列法,先处理法：,单元定位向量：,void force()int i,j,ie,m;float dx,dy,dz,l,cx,cy,cz,ea,w7;for(ie=1;ie=ne;ie+)i=jmie1;j=jmie2;m=jmie0;w1=f2*i-2;w2=f2*i-1;w3=f2*j-2;w4=f2*j-1;dx=xyj1-xyi1;dy=xyj2-xyi2;,例题,3、程序说明下面为一个平面桁架计算程序段，试在左端有编号的程序右面写出其注释。（10分）,l=sqrt(dx*dx+dy*dy);cx=dx/l;cy=dy/l;ea
17、=EAm/l;dx=w3-w1;dy=w4-w2;l=ea*(cx*dx+cy*dy);Fie=l;,1,2,4,5,3,1、运用有限单元法，计算图示桁架：杆件截面积为A，弹性模量为E，结点2作用集中力，结点3给定水平位移b，要求写出整体平衡方程及边界条件处理方法。,作业,2、运用有限单元法程序,计算程序书第4页作业题，要求打印输入文件、输出文件，并画出各个杆件的轴力图。,3、计算分析题（15分）平面桁架结构网格如图所示，已知EA=6000 kN，采用填0置1法（0、1置换法）引入支撑条件，试求后处理法引入支撑条件后的满阵存贮的整体刚度矩阵。结构坐标系下单元刚度矩阵计算公式如下：,式中：,作业
18、,4、程序说明（10分）下面为一个平面桁架计算程序段，左端有编号的程序部分有两处错误，请改正，并在没有错误的程序右面写出其注释。（10分）,int ekzk(int ie)int i1,j1,i,j,i2,j2,ii,jj,ji;for(i1=1;i1=2;i1+)for(i2=1;i2=2;i2+)1 i=2*(i1-1)+i2;2 ii=2*jmiei1+i2;for(j1=1;j1=2;j1+)for(j2=1;j2=2;j2+)j=2*(j1-1)+j2;3 jj=2*(jmiej1-1)+j2;4 ji=bw+jj-ii+1;5 if(ji=bw)Kii-1ji-1=Kii-1ji-1+ekij;,作业,
