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1、结构力学,学习内容 有限单元法的基本概念，结构离散化。平面杆系结构的单元分析：局部坐标系下的单元刚度矩阵和整体坐标系下的单元刚度矩阵。平面杆系结构的整体分析：结构整体刚度矩阵和结构整体刚度方程。边界条件的处理，单元内力计算。利用对称性简化位移法计算。矩阵位移法的计算步骤和应用举例。,2,学习目的和要求 目的：矩阵位移法是以计算机为计算工具的现代化结构分析方法。基于该法的结构分析程序在结构设计中得到了广泛的应用。因此，以计算机进行结构分析是本章的学习目的。矩阵位移法是以位移法为理论基础，以矩阵为表现形式，以计算机为运算工具的综合分析方法。引入矩阵运算的目的是使计算过程程序化，便于计算机自动化处理
2、。尽管矩阵位移法运算模式呆板，过程繁杂，但这些正是计算机所需要的和十分容易解决的。矩阵位移法的特点是用“机算”代替“手算”。因此，学习本章是既要了解它与位移法的共同点，更要了解它的一些新手法和新思想。,3,学习目的和要求 要求：矩阵位移法包含两个基本环节：单元分析和整体分析。在单元分析中，熟练掌握单元刚度矩阵和单元等效荷载的概念和形成。熟练掌握已知结点位移求单元杆端力的计算方法。在整体分析中，熟练掌握结构整体刚度矩阵元素的物理意义和集成过程，熟练掌握结构综合结点荷载的集成过程。掌握单元定位向量的建立，支撑条件的处理。自由式单元的单元刚度矩阵不要求背记，但要领会其物理意义，并会有它推出特殊单元的
3、单元刚度矩阵。,4,矩阵位移法以传统的结构力学作为理论基础;以矩阵作为数学表达形式;以电子计算机作为计算手段三位一体的解决各种杆系结构受力、变形等计算的方法。,第一节 矩阵位移法概述,采用矩阵进行运算，不仅公式紧凑，而且形式统一，便于使计算过程规格化和程序化。这些正是适应了电子计算机进行自动化计算的要求。,5,第一节 矩阵位移法概述,结构力学传统方法与结构矩阵分析方法，二者同源而有别：在原理上同源，在作法上有别前者在“手算”的年代形成，后者则着眼于“电算”，计算手段的不同，引起计算方法的差异。,与传统的力法、位移法相对应，在结构矩阵分析中也有矩阵力法和矩阵位移法，或称柔度法与刚度法。矩阵位移法
4、由于具有易于实现计算过程程序化的优点而广为流传。,矩阵位移法是有限元法的雏形，因此结构矩阵分析有时也称为杆件结构的有限元法。在本章中将使用有限元法中的一些术语和提法。,6,1、矩阵位移法的基本思路,第一节 矩阵位移法概述,力 法 需要选择基本体系和多余约束。所以较多地依赖于结构的具体情况，不宜实现计算机计算的自动化，但其优点是计算出的结果就是力。,位移法 是先求结点位移，再换算成力，该法的计算自动化和通用性强，目前广为采用。,结构结点力,杆件杆端力,杆件端点位移,结构结点位移,位移法,力 法,位移法与力法之由于选取的基本未知量不同，因此计算次序不同,a、方法的选择,7,1、矩阵位移法的基本思路
5、,第一节 矩阵位移法概述,b、基本假设和基本原理,线弹性、小变形。满足叠加原理、功能原理,c、正负号规定（采用右手法则）,杆端内力规定当与坐标轴正方向一致时为正；,杆端位移和结点位移规定当与坐标轴正方向一致时为正。,结点外力规定当与坐标轴正方向一致时为正；,8,1、矩阵位移法的基本思路,第一节 矩阵位移法概述,化整为零,（离散化、单元分析）,集零为整,（结点力平衡、位移协调）,先把结构拆开，分解成若干个单元（在杆件结构中，一般把每个杆件取作一个单元），这个过程称作离散化。然后按单元力学性质对每个单元分析建立单元刚度方程，在满足变形条件和平衡条件的前提下，将这些单元集合成整体求解。在一分一合，先
6、拆后搭的过程中，把复杂结构的计算问题转化为简单单元分析和集合问题。,矩阵位移法的要点：,9,2、单元划分,第一节 矩阵位移法概述,将一个在荷载作用下的连续结构剖分成若干个各自独立的单元，原结构可以看成是由各单元在连接点（称结点）连接而成的体系化整为零,在杆件结构矩阵分析中，一般是把杆件的转折点、汇交点、边界点、突变点或集中荷载作用点等列为结点，结点之间的杆件部分作为单元。,10,2、单元划分,第一节 矩阵位移法概述,将一个在荷载作用下的连续结构剖分成若干个各自独立的单元，原结构可以看成是由各单元在连接点（称结点）连接而成的体系化整为零,为了减少基本未知量的数目，跨间集中荷载作用点可不作为结点，
7、但要计算跨间荷载的等效结点荷载；跨间结点也可不作为结点，但要推导相应的单元刚度矩阵，编程序麻烦。,11,第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析）,1、坐标系的选择:在矩阵位移法中采用两种坐标系：局部坐标系和整体坐标系。,单元分析的目的是以结点位移为基本未知量，分析每个单元的结点力和结点位移及荷载之间的关系，即建立单元刚度方程，并用矩阵形式表示。,整体坐标,局部坐标,12,第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析）,2、局部坐标系中的单元刚度矩阵 采用局部坐标系（以杆的轴线作为x轴）时，杆端力及杆端位移的正方向以坐标轴正方向为正。,杆端位移：,杆端内力：,杆件方向：,13,第二节 单元分析（局
8、部坐标系下的单元分析）,2、局部坐标系中的单元刚度矩阵,局部坐标系下的单刚方程,14,第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析）,2、局部坐标系中的单元刚度矩阵,刚度系数的物理意义：单元刚度矩阵是杆端力与杆端位移之物理关系；矩阵的阶数与杆端位移分量数相等；表示 引起的杆端力 的大小。,15,第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析）,3、局部坐标系中的单元刚度矩阵性质,单刚一般具有奇异性：,单刚具有对称性：,由反力互等定理可知,受力角度：存在刚体位移，杆端位移无法唯一确定数学角度：向量相关，矩阵不可逆，行列式为零。,16,第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析）,3、局部坐标系中的单元刚度矩
9、阵性质,与单元刚度方程相应的正、反两类问题,为不平衡力系时，无解；为平衡力系时，有无穷多组解。,为任何值时，都有对应的唯一解，且总是平衡力系。,将单元视为两端自由的杆件，直接加在自由端作为指定的杆端力。,将单元视为两端有人为约束控制的杆件。控制附加约束加以指定。,17,第三节 单元分析（整体坐标系下的单元分析）,1、单元坐标转换矩阵,同类单元在局部坐标系中具有相同的简洁形式。但不同单元在复杂结构中方位不尽相同，在整体分析中，为使分量叠加方便，需选择一个统一公共坐标系整体坐标系。按整体坐标系来建立各单元的刚度矩阵。,局部坐标系,整体坐标系,变换,18,第三节 单元分析（整体坐标系下的单元分析）,
10、1、单元坐标转换矩阵,整体坐标系下的分量,局部坐标系下的分量,两种坐标系中单元的杆端位移转换关系为：,用整体量表示局部量？,19,第三节 单元分析（整体坐标系下的单元分析）,整体坐标系下的分量,局部坐标系下的分量,两种坐标系中单元的杆端力转换关系为：,1、单元坐标转换矩阵,用局部量表示整体量？,20,第三节 单元分析（整体坐标系下的单元分析）,整体坐标系下的单刚与局部坐标系下的单刚性质相同,2、整体坐标系中的单元刚度矩阵,21,第三节 单元分析（整体坐标系下的单元分析）,3、整体坐标系中的单元刚度矩阵的特性,整体坐标系中的单元刚度矩阵与局部坐标系中的单元刚度矩阵有类似的特性（对称、奇异）。另外
11、，局部坐标系中的单元刚度矩阵只与单元的几何形状、物理常数有关；整体坐标系中的单元刚度矩阵不仅与单元的几何形状、物理常数有关，还与单元的位置和方位有关。,22,第四节 整体分析,整体刚度方程是整体结构的结点力与结点位移之间的关系式，是通过考虑结构的变形连续条件和平衡条件建立起来的。无论何种结构，其整体刚度方程都具有统一的形式：,K是整体刚度矩阵；结构的结点位移列向量；P结构的结点力列向量。,利用结点位移协调和结点力平衡条件将各单元整合到一起,得到一个关于结点位移的线性代数方程集零为整,1、整体刚度矩阵的集成,23,第四节 整体分析,1、整体刚度矩阵的集成,由变形连续条件知，结点发生单位位移，交于
12、该结点的各单元的杆端也发生单位位移，由此产生的单元杆端力应是单元刚度矩阵中的元素。结点单位位移产生的结点力是整体刚度矩阵中的元素。由平衡条件知交于某结点的各单元杆端力之和等于该结点的相应结点力。故整体刚度矩阵中的元素应是由对应的单元刚度矩阵中的元素叠加而成。,综上所述，整体刚度矩阵可以根据单元的结点位移分量的局部码和总码之间的对应关系，由单元刚度矩阵集成结构整体刚度矩阵。,24,第四节 整体分析,1(1,2),2(3,4),2,1,3(5,6),1、整体刚度矩阵的集成,离散,25,第四节 整体分析,分别写出整体坐标系下单元刚度方程,1、整体刚度矩阵的集成,26,第四节 整体分析,将离散单元集合
13、时应满足位移协调和平衡条件,位移协调,1、整体刚度矩阵的集成,27,第四节 整体分析,将离散单元集合时应满足位移协调和平衡条件,结点平衡,1、整体刚度矩阵的集成,28,第四节 整体分析,1、整体刚度矩阵的集成,集成整体刚度矩阵的关键，是确定单元刚度矩阵中的元素在整体刚度矩阵中的位置。首先要知道单元的结点位移分量的局部码和总码之间的对应关系，即单元定位向量。它是单元结点位移总码按局部码顺序排列而成的向量记为。,单元结点分量按单元定位向量向整体刚度矩阵安装,29,第四节 整体分析,1、整体刚度矩阵的集成,将单元刚度矩阵按单元定位向量扩展为单元贡献矩阵（换码扩阵）,30,第四节 整体分析,1、整体刚
14、度矩阵的集成,按位叠加得整体刚度矩阵,31,第四节 整体分析,1、整体刚度矩阵的集成,按位叠加得整体刚度矩阵,32,第四节 整体分析,根据集成法原理，计算过程分步进行：,1、整体刚度矩阵的集成,33,第四节 整体分析,1、整体刚度矩阵的集成,整体刚度矩阵集成的两步可以合成一步完成：,边换码，边叠加，对号入座,(1)将 ke 中元素重新在 Ke 中定位,结点量值的两种编码：总码、局码；,量值分量在两种编码中的对应关系，由单元定位向量来表示；,(2)将所有 ke 叠加生成 K,单刚元素在单元刚阵中按局码顺序排列；而在单元贡献阵中按总码顺序排列，即需要“换码重排座”,34,第四节 整体分析,2、整体
15、刚度矩阵系数的物理意义,1.对称性,3.稀疏性,整体刚度矩阵是结点力与结点位移之间的物理关系；矩阵的阶数与结点位移分量数相等；Kij表示第j 个结点位移分量为1 时，第i 个结点力分量的大小。,3、整体刚度矩阵的性质,2.奇异性,35,第五节 内力计算,由前面的分析得到整体刚度矩阵和结点荷载列阵，形成关于结点位移的线性代数方程组；求解线性方程组可以得到结点位移列阵；利用结点位移列阵计算杆端内力。,计算结点位移,由定位向量 e 提取单元杆端位移,36,第五节 内力计算,解:1.离散化,局码,总码,位移码,单元编码,例题：用矩阵位移法求结构内力。,37,第五节 内力计算,例题：用矩阵位移法求结构内
16、力。,2.计算局部单刚,3.求变换矩阵,解:1.离散化,38,第五节 内力计算,例题：用矩阵位移法求结构内力。,2.计算局部单刚,3.求变换矩阵,解:1.离散化,1256,1 2 5 6,123456,1 2 3 4 5 6,4.求单刚扩展矩阵,39,第五节 内力计算,例题：用矩阵位移法求结构内力。,2.计算局部单刚,3.求变换矩阵,解:1.离散化,3456,3 4 5 6,123456,1 2 3 4 5 6,4.求单刚扩展矩阵,40,第五节 内力计算,例题：用矩阵位移法求结构内力。,5.叠加求整体刚阵,41,第五节 内力计算,例题：用矩阵位移法求结构内力。,5.叠加求整体刚阵,42,第五节
17、 内力计算,例题：用矩阵位移法求结构内力。,5.叠加求整体刚阵,6.求结点荷载列阵,43,第五节 内力计算,例题：用矩阵位移法求结构内力。,5.叠加求整体刚阵,6.求结点荷载列阵,7.引入边界位移,44,第五节 内力计算,例题：用矩阵位移法求结构内力。,5.叠加求整体刚阵,6.求结点荷载列阵,7.引入边界位移,8.结点位移计算,45,第五节 内力计算,例题：用矩阵位移法求结构内力。,5.叠加求整体刚阵,6.求结点荷载列阵,7.引入边界位移,8.结点位移计算,9.杆件内力计算,46,第五节 内力计算,例题：用矩阵位移法求结构内力。,5.叠加求整体刚阵,6.求结点荷载列阵,7.引入边界位移,8.结点位移计算,9.杆件内力计算,支座反力,47,第五节 内力计算,例题：用矩阵位移法求结构内力。,5.叠加求整体刚阵,6.求结点荷载列阵,7.引入边界位移,8.结点位移计算,9.杆件内力计算,10.绘内力图和反力,-40,-30,0,30,50,-30,48,第五节 内力计算,运算步骤,a.离散化：划分单元、编码,d.求整体单刚及其贡献矩阵,b.计算局部单刚,c.求变换矩阵,e.叠加求整体刚阵,g.引入边界条件,h.结点位移计算,j.绘制内力图和反力,i.求单元内力和支座反力,f.叠加求结点荷载列阵,49,
