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1、二项式定理复习课樊加虎一教案描述教学设想：精心设计例题，用二节课的时间对二项式定理进行复习。除理清基本概念外，着重训练定理运用中的七个层次，使学生的数学知识和数学思想都得到训练。1、会正用. 即套用公式，这一层次的思维量较小，但对理解和巩固定理是完全必要的，例题安排上由浅入深，复习方法上以提问或学生练习为主，要做到正确、熟练。例1、求的展开式中含的项.解：例2、求展开式中前三项之和.解：计算时注意每个因式的展开式只须取前三项即可。 。 展开式前三项之和为.例3、求展开式中项.解：若将化为来确定展开式中项，解法不甚合理，注意到与项无关，可转化为求展开式中项，即，解法较捷。本题较灵活，有助于提高学
2、生转化能力。2、会反用. 逆向思维的训练能加深对定理的理解，培养观察能力，但学生往往不习惯，例题和习题可逐步加深。例4、求值(1)； (2).解：(1)原式即为的展开式，原式.(2)注意符号问题，原式.例5、设函数.求的反函数.解：如果的表达式中第一项1改为-1，则为的展开式. . 易得 3、会变用. 不少问题需要将数式变形后，再运用二项式定理。这一层次要求学生有定的分析能力，复习中应引导学生观察数式特征，进行合理变形。例6、求展开式中的常数项.解：一般有两种变形方法，其一变形为，其二变形为.后者较简，其常数项即为第四项.例7、设,求.解：为了比较系数，将左式变形为.再展开之，展开式中项的系数
3、即为，.4、会设项. 这是二项式定理中常用的待定系数法，学生应熟练掌握。例8、的展开式中含有多少个有理项？解：,耍使其为有理数，即， (为非负整数). 得，且. 是的倍数,可取，,共个.例9、设展开式的各项系数之和为，其二项式系数之和为，若，试求展开式中项的系数.解：此题应先定，令,得.而.得， 由得.项系数为5、会取值. 二项式定理提供了从一般到特殊的思维方法训练的好教材，应抓住机遇进行这一基本思维方法的训练.例10、求展开式中各项系数的和.解：设原式.令，得.在熟知基本题的基础上，可适当选择些灵活性的例题例11、求展开式中所有无理系数之和.解：考虑到展开式中无理系数为多，可以从反面求有理系
4、数着手。有理系数项为：，.有理系数之和为.令，得展开式各项系数之和为.展开式中所有无理系数之和为.例12、设.求的值.解：令，得.令，得.两式相加得.在取值过程中，要培养学生观察能力例13、设.求的值解：令，得.令，得.两式相减，得.6、会构造. 关于组合恒等式的证明，通常需要构造一个恒等式，比较其二项展开式的系数而得。这一层次要求有较强的观察分析能力，是个难点，例题和习题不宜太难，讲解中应慢慢引导，启发学生思维。例14、证明下列各式(1).(2).证：(1)构造二项展开式 .令得 即.(2)构造恒等式 . 两边含项的系数相等，即， .7、会综合 在复习中还应注意与其它数学知识的横向联系，尤其
5、与数列、不等式和三角的综合运用，这一层次的思维更具有广阔性。例15、若实数满足，求证： 证：令,则.例16、已知等差数列及等比数列中，且这两个数列都是递增的正项数列，求证：当时，证：设 , 则, 利用二项式定理证明不等式，采用“对称法”（例15）及“减项放缩法”（例16）较为普遍。二教案评析通过以上七个层次的复习，学生一般都能掌握二项式定理解题的常用方法。数学思想和方法也得到一次系统的训练，分析和综合能力有所提高，收到了复习的实效。二项式定理是高中数学中较为独特的一部分，教材中只简单地讲述定理的推导、性质及应用。如果没有认真分析教材，复习课往往容易产生简单化倾向，仅仅要求学生熟记公式、会代公式而言。其实，二项式定理内容虽不多，但分散于教材及习题的解法却丰富地展示了待定系数法、构造法、取特殊值法和逆向思维等中学数学的基本思想方法，因此也是比较集中复习中学数学思想方法、提高思维能力的好机遇。在复习中，应认真做好基本方法的梳理工作，精心配置例题和习题，进行知识、方法和技巧的训练，才能真正掌握二项式定理。同时对学生思维发展、能力的培养和数学素质的提高也是十分有益的。5
