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1、,7.3,一、平面方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,空间直线与平面(1),第八章,二、平面之间的关系,一、平面的点法式方程,设一平面通过已知点,且垂直于非零向,称式为平面的点法式方程,求该平面的方程.,法向量.,量,则有,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.求过三点,即,解:取该平面 的法向量为,的平面 的方程.,利用点法式得平面 的方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,此平面的三点式方程也可写成,一般情况:,过三点,的平面方程为,说明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别,当平面与三坐标轴的交点分别为,此式称为平面的截距式方程.,时,平面方程为,机动 目录 上页
2、下页 返回 结束,二、平面的一般方程,设有三元一次方程,此方程称为平面的一般,法向量为,方程.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特殊情形,当 D=0 时,A x+B y+C z=0 表示,通过原点的平面;,当 A=0 时,B y+C z+D=0 的法向量,平面平行于 x 轴;,A x+C z+D=0 表示,A x+B y+D=0 表示,C z+D=0 表示,A x+D=0 表示,B y+D=0 表示,平行于 y 轴的平面;,平行于 z 轴的平面;,平行于 xoy 面 的平面;,平行于 yoz 面 的平面；,平行于 zox 面 的平面.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.求通过 x
3、轴和点(4,3,1)的平面方程.,解:,因平面通过 x 轴,设所求平面方程为,代入已知点,得,化简,得所求平面方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、两平面的夹角,设平面1的法向量为,平面2的法向量为,则两平面夹角 的余弦为,即,两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别有下列结论：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.求两平面,的夹角。,因此有,例4.一平面通过两点,垂直于平面:x+y+z=0,求其方程.,解:设所求平面的法向量为,即,的法向量,约去C,得,即,和,则所求平面,故,方程为,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容
4、小结,1.平面基本方程:,一般式,点法式,截距式,三点式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.平面与平面之间的关系,平面,平面,垂直:,平行:,夹角公式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考题,求过点,且垂直于二平面,和,的平面方程.,解:已知二平面的法向量为,取所求平面的法向量,则所求平面方程为,化简得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,7.3,一、空间直线方程,二、线面间的位置关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,空间直线与平面(2),第八章,三、空间直线方程,因此其一般式方程,1.一般式方程,直线可视为两平面交线，,(不唯一),机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.对称
5、式方程,故有,说明:某些分母为零时,其分子也理解为零.,设直线上的动点为,则,此式称为直线的对称式方程(也称为标准式方程),直线方程为,已知直线上一点,例如,当,和它的方向向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.参数式方程,设,得参数式方程:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.用对称式及参数式表示直线,解:先在直线上找一点.,再求直线的方向向量,令 x=1,解方程组,得,交已知直线的两平面的法向量为,是直线上一点.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故所给直线的对称式方程为,参数式方程为,解题思路:,先找直线上一点;,再找直线的方向向量.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三
6、、线面间的位置关系,1.两直线的夹角,则两直线夹角 满足,设直线,两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角),的方向向量分别为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别有:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.求以下两直线的夹角,解:直线,直线,二直线夹角 的余弦为,从而,的方向向量为,的方向向量为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当直线与平面垂直时,规定其夹角,线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;,2.直线与平面的夹角,当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为,平面 的法向量为,则直线与平面夹角 满足,直线和它在平面上的投影直,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别有:
7、,解:取已知平面的法向量,则直线的对称式方程为,直的直线方程.,为所求直线的方向向量.,垂,例3.求过点(1,2,4)且与平面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,点到平面的距离：,是平面,外一点,则P0 到平面的距离为,例5.求点,到平面,的距离.,解:,1.空间直线方程,一般式,对称式,参数式,内容小结,机动 目录 上页 下页 返回 结束,直线,2.线与线的关系,直线,夹角公式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面:,L,L/,夹角公式：,3.面与线间的关系,直线 L:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设所求直线与,的交点为,解：利用所求直线与L2 的交点.,即,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.,一直线过点,且垂直于直线,又和直线,相交,求此直线方程.,代入上式,得,由点法式得所求直线方程,而,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
