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1、第四节 平 面,一、平面的方程,二、两平面的夹角及位置关系,三、点到平面的距离,水桶的表面、台灯的罩子面等,曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹,曲面方程的定义：,曲面的实例：,一、平面的点法式方程,平面由一定点和一非零向量所确定，与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量,平面的点法式方程,设平面上的任一点为,必有,已知,取法向量,化简得,所求平面方程为,解,解,所求平面方程为:,化简得,由平面的点法式方程,平面的一般式方程,二、平面的一般式方程,定理：,且此平面的一个法向量为,任何三元一次方程,(A,B,C,D不全为0)都表示一个平面，,解,设所求平面方程为,由已知有,解得,代入方程,并消去
2、A，,即得所求平面方程为,过已知三点 的平面方程为：,平面的三点式方程,平面一般方程的几种特殊情况：,平面通过坐标原点；,平面通过 轴；,平面平行于 轴；,平面平行于 坐标面；,类似地可讨论 情形.,类似地可讨论 情形.,解,平面过 z 轴，,故平面方程可设为,代入方程,并消去B，,即得所求平面方程为,三、平面的截距式方程,平面的截距式方程,1、定义,（通常取锐角）,两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.,四、两平面的夹角及位置关系,按照两向量夹角余弦公式有,两平面夹角余弦公式,2、两个平面的位置关系：,两个平面相互垂直或平行相当于它们的法向量垂直或平行,两平面垂直或平行的充要条件：,例5
3、研究以下各组里两平面的位置关系：,解,两平面相交，夹角,两平面平行,两平面平行但不重合,两平面平行,两平面重合.,例5 研究以下各组里两平面的位置关系：,建立平面方程：,1、定点和非零向量；,2、一般式方程.,平面法向量为,所求平面法向量为,解,故所求平面方程为,设平面为,由所求平面与已知平面平行得,（向量平行的充要条件）,解,化简得,令,所求平面方程为,五、点到平面的距离,点到平面的距离公式,平面的方程,（熟记平面的几种特殊位置的方程）,两平面的夹角.,点到平面的距离公式.,点法式方程.,一般方程.,截距式方程.,（注意两平面的位置特征）,四、小结,思考题,思考题解答,练 习 题,练习题答案,
