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1、2023/6/23,解析几何,第2章 空间的平面与直线,如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量,法线向量的特征：,垂直于平面内的任一向量,已知,设平面上的任一点为,必有,一、平面的点法式方程,2.1.1 平面的方程,平面的点法式方程,平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形,其中法向量,已知点,解,所求平面方程为,化简得,取法向量,化简得,所求平面方程为,解,例3 已知两点M(1,-2,3)与N(3,0,-1)，求线段MN的垂直平分面方程。,由平面的点法式方程,平面的一般方程,法向量,二、平面的一般式方程,？,，为一平面.
2、,平面一般式方程的几种特殊情况：,平面通过坐标原点；,平面通过 轴；,平面平行于 轴；,平面平行于 坐标面；,类似地可讨论 情形.,类似地可讨论 情形.,平面的一般方程,设平面为,由平面过原点知,所求平面方程为,解,例5 求通过点M(2,-1,1)与N(3,-2,1)，且平行于z轴的平面的方程,设平面为,将三点坐标代入得,解,将,代入所设方程得,平面的截距式方程,设平面为,由所求平面与已知平面平行得,（向量平行的充要条件）,解,化简得,令,所求平面方程为,或,2023/6/23,已知平面上一点和不共线两个向量,求通过该点与两向量平行的平面点位式/坐标式参数方程点位式（或）坐标式参数方程(2.1
3、.2),2023/6/23,已知不共线的三点,求通过三点的平面三点式方程(2.1.6)向量式法式方程(2.1.10)坐标式法式方程(2.1.11)以上共介绍了多少种方法?哪些方法适用于仿射坐标系?哪些方法适用于直角坐标系?,练习1,1.通过点M(3,1,-1)和N(1,-1,0)且平行于矢量-1,0,2的平面.2.通过点M(1,-5,1)和N(3,2,-2)且垂直于xOy坐标面的平面.3.已知四点(5,1,3),B(1,6,2),C(5,0,4),D(4,0,6),求通过直线AB且平行于直线CD的平面，并求通过直线AB且与三角形ABC所在平面垂直的平面.,4.过点M(3,2,-4)且在x轴和y
4、轴上截距分别为-2和-3的平面5.已知两点M1(3,-1,2)和M2(4,-2,-1)，通过M1且垂直于M1M2的平面6.已知平面上三点A(3,-1,2)B(4,-2,-1)C(3,2,-4)，求平面方程。求通过直线，且在y轴与z轴上截距相等的平面方程,定义,空间直线可看成两平面的交线,空间直线的一般方程,（注：两平面不平行）,一、空间直线的一般方程,2.1.2 空间直线的方程,方向向量的定义：,如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量,二、空间直线的对称式方程,直线的对称式方程（标准方程、点向式方程）,因此,所求直线方程为,例1 求过点(1,0,-2)且与平面3x+4
5、y-z+6=0平行,又与直线 垂直的直线方程.,解:设所求线的方向向量为,已知平面的法向量,已知直线的方向向量,取,三、空间直线的参数式方程,令,方向向量的余弦称为直线的方向余弦.,直线的参数方程,由直线的对称式方程,例2 用对称式方程及参数方程表示直线,解,在直线上任取一点,取,解得,点坐标,因所求直线与两平面的法向量都垂直,取,对称式方程,得参数方程,令,解,所以交点为,所求直线方程,2023/6/23,四、空间直线的两点式方程(2.1.15)另,直角坐标系下的参数式和对称式,即直线l的方向向量可取成单位向量(方向余弦),2023/6/23,2.2.1 空间两平面的相关位置,相交 平行 重
6、合,定义,直线和它在平面上的投影直线的夹角（所成锐角）称为直线与平面的夹角,2.2.2 直线与平面的相关位置,直线与平面的夹角公式,直线与平面的位置关系：,/,解,为所求夹角,直线与平面的交点,分析:关键是求得直线上另外一个点 M1.M1在过M且平行于 平面 P 的一个平面P1上,待求直线又与已知直线相交,交点既在P1上,又在 L上,因此是L与P1的交点.,例2 求过点 M(-1,2,-3),且平行于平面,又与直线,相交的直线方程.,解 过M作平行于 平面 P 的一个平P1,求平面 P1与已知直线 L的交点,P1:,即P1:,定理3.7.1 判定空间两直线 的相关位置的充要条件为：异面 相交
7、平行 重合,一、空间两直线的相关位置,2.2.3 空间两直线的相关位置,例 求通过点 且与两直线都相交的直线的方程.,解：设直线方程为：,所以直线方程为：,定义,直线,直线,两直线的方向向量的夹角或其补角称之为该两直线的夹角.,两直线的夹角公式,空间两直线的夹角,两直线的位置关系：,直线,直线,例如，,解,设所求直线的方向向量为,根据题意知,取,所求直线的方程,解,先作一过点M且与已知直线垂直的平面,再求已知直线与该平面的交点N,令,M,N,L,代入平面方程得,交点,取所求直线的方向向量为,所求直线方程为,2023/6/23,2.3 平面束,共轴平面束 平行平面束 求平面方程的另一种方法平面束
8、法,2023/6/23,如果直线L用一般式方程表示 设，为不同时为零的任意实数，则,就表示以L为轴的平面束方程.,2023/6/23,2023/6/23,2023/6/23,P1,于是,点到直线的距离公式,2.4.1 空间直线与点的相关位置,解,解,2.4.2 平面与点的相关位置,点到平面距离公式,在第一个平面内任取一点，比如（0，0，1），,平面划分空间问题,空间上任何一点M对平面的离差例题 已知平面：x+2y-3z+4=0，点O(0,0,0),A(1,1,4),B(1,0,-2),C(2,0,2),D(0,0,4),E(1,3,0),F(-1,0,1)，试区分上述各点哪些在平面的某一侧，哪
9、些在平面的另一侧，哪些点在平面上。,练习2,已知四面体的四个顶点为S(0,6,4),A(3,5,3),B(-2,11,-5),C(1,-1,4).计算从顶点S向底面ABC所引的高.求中心在C(3,-5,-2)且与平面2x-y-3z+11=0相切的球面方程。求与下列两平面距离相等的点的轨迹3x+6y-2z-7=0和4x-3y-5=0,定义3.7.2 空间两直线上的点之间的最短距离，叫做这两条直线之间的距离。,定义3.7.3 与两条异面直线都垂直相交的直线，叫做两异面直线的公垂线，两个交点之间的线段的长叫做公垂线的长。,定理3.7.3 两异面直线间的距离等于它们公垂线的长。,两异面直线间的距离与公
10、垂线方程（直角坐标系）,2.4.3 两直线的距离,定理3.7.4 两异面直线之间的距离公式是：,几何意义：两条异面直线 之间的距离等于以 为棱的平行六面体的体积除以以 为邻边的平行四边形的面积.,两个异面直线的公垂线方程为：,例3 已知两直线，试证明两直线 与 为异面直线，并求 与 间的距离与它们的公垂线方程.,2.4.4 角度,两相交平面夹角直线与平面夹角两直线之间夹角,定义,（通常取锐角）,两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.,2.4.4 两平面的夹角,按照两向量夹角余弦公式有,两平面夹角余弦公式,两平面位置特征：,/,例1 研究以下各组里两平面的位置关系：,解,两平面相交，夹角,两平面平行,两平面平行但不重合,两平面平行,两平面重合.,2023/6/23,小结,平面方程 直线方程 几何关系 位置关系 距离 角度公垂线方程和长度投影点,
