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1、2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规 则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名
2、号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员（打印并签名）：1.2. 3. 指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：NBA赛程的分析与评价摘要论文对于已经制定好的NBA赛程进行了统计分析，对已给数据进行筛选和处理，更 好地对NBA赛程进行了定量的分析与评估。问题一，考虑NBA整体赛事运行以及影响球队发挥的关
3、键因素，我们结合题目中给 出的数据，找出影响赛程的弊端因素，我们主要考虑三种因素分别为：背靠背场次，连 续客场3场及以上，对手的平均实力。然后将赛程数字化，分析赛程对于各支球队的利 弊，然后给出评价指标。问题二，基于问题1的结论，求出赛程对每一支球队的利弊，在30支球队弊端因 素值相比之下，得出2008-2009年度NBA常规赛安排，赛程对球队发挥最有利是：篮网； 赛程对球队发挥最不利是：国王。火箭队的弊端因素值为0.636，排在第18位，这样的 赛程安排对于火箭较为不利。问题三，首先我们从赛程中找出赛3场比赛的球队，可以得出，在每一球队在与同 部不同区的比赛中，分别选取同部另外2个分区中，选
4、择2只球队进行赛3场，这样可 以保证每个赛区主客场数量相同，保持一定的平衡性；在这种情况下，我们考虑到赛3 场（2主场1客场或者2客场1主场）的球队有一只球队拥有一个主场优势，实力相对 较大的球队相互赛三场可以最大限度消除这一优势，建立线性规划模型，使得总的弊端 因素值差取得最小值，通过lingo编程求解出同部不同区的球队比赛的场次，西部的见 表（11），东部的见表（12）。在数据处理过程中使用MATLAB、LINGO等数学软件，使得处理数据的精确性很高。关键词：层次分析法0-1规划法极差法线性规划一、问题重述NBA是全世界篮球迷们最钟爱的赛事之一。NBA共有30支球队，西部联盟、东部联 盟各
5、15支，大致按照地理位置，西部分西南、西北和太平洋3个区，东部分东南、中 部和大西洋3个区，每区5支球队。对于20082009新赛季，常规赛阶段从2008年10 月29日直到2009年4月16日，在这5个多月中共有1230场赛事，每支球队要进行82 场比赛，比出最终结果，进入季候赛。对于NBA这样庞大的赛事，编制一个完整的、对各球队尽可能公平的赛程是一件非 常复杂的事情，赛程的安排对球队实力的发挥和战绩有一定的影响，从报刊上经常看到 球员、教练和媒体对赛程的抱怨或评论。这个题目主要是要求用数学建模方法对已有的 赛程进行定量的分析与评价：1）为了分析赛程对某一支球队的利弊，你认为有哪些要考虑的因
6、素，根据这些因 素将赛程转换为便于进行数学处理的数字格式，并给出评价赛程利弊的数量指标。2）按照1）的结果计算、分析赛程对姚明加盟的火箭队的利弊，并找出赛程对30 支球队最有利和最不利的球队。3）分析赛程可以发现，每支球队与同区的每一球队赛4场（主客各2场），与不同 部的每一球队赛2场（主客各1场），与同部不同区的每一球队有赛4场和赛3场（2 主1客或2客1主）两种情况，每支球队的主客场数量相同且同部3个区的球队间保持 均衡。试根据赛程找出与同部不同区球队比赛中，选取赛3场的球队的方法。这种方法 如何实现，对该方法给予评价，也可以给出你认为合适的方法。二、问题分析2.1对于问题1分析在分析赛程
7、对于一支球队的利弊问题，我们主要考虑：背靠背场次、连续客场3场 及以上、对手的平均实力，这三种因素对于赛程的影响，然后将赛程数字化，分析各支 球队赛程对于球队的利弊，然后给出评价指标。1、背靠背指的是连续2次客场作战。2、连续客场3场及以上因素。各球队分布于美国各地，之间的地理位置相对较远， 所以在安排赛程的时候，如果一支球队要打客场比赛时候总会连续进行，连续3-6个客 场都是很平常的，这样可以节省整个联赛的周期时间，以便于压缩比赛的时间，但会直 接影响到球员的精力，所以一段连续客场作战，对于球队的战绩影响很大。3、对手的平均实力因素。各个球队比赛的次数为恒定的82场，各队之间都有着或 多或少
8、的实力差距，若强队与弱队比赛，强队的胜率较大，但如果两队之间实力相当， 则比赛双方的胜率也相差不多。所以在赛程安排中一个队所遇到的所有对手的平均实 力，会直接影响到这支队伍在整个赛季的比赛结果。2.2对于问题2分析基于问题1的结论，建立层次分析模型，求出每个因素的权重值，从而得出赛程对 每一支球队的利弊，得出赛程对于所有球队中最有利和最不利的球队，然后，结合实际 情况对火箭队的赛程进行评估。2.3对于问题3分析在东、西部相对独立下，每个球队要与同部不同区的每一只球队进行4场或者3场 比赛，而每个球队总的主客场相同且同部3个区的球队间保持均衡。首先，对于同部不同区的比赛中，统计出每一支球队赛3场
9、比赛的场次。分析可以 看出，在同部不同区的每一支球队，分别与其他2个分区，每个分区选取2支球队来进 行3场（2主1客，1主2客）比赛。然后，通过对弊端值差的分析，找出本赛季的赛程安排中选取赛3场的球队的方法， 评价其是否合理，并作出我们认为合理的赛程安排方案。三、模型假设模型假设1、不考虑球队人员的变动及伤病因素，即各队实力保持不变；2、影响球队的战绩的因素只有背靠背场次，连续客场3次及以上，“对手的平均 实力”，不考虑其他因素的影响；3、各个球队对手的平均实力越近似，则说明赛程安排越公平合理；4、用2007-2008赛季NBA常规赛各球队战况确定各球队实力具有有一定 的准确性、可行性；5、影
10、响比赛因素只考虑文中所列出的，对于地域因素以及气候、文化差异等实际因素不予考虑。四、符号设定w :is :ib :il :ih :ip :iz :ir :iq :ic :球队i的胜率球队i的分差球队i的背靠背因素值球队i的连续3次及以上客场因素值球队i的胜率因素值球队i的分差因素值球队i的综合实力球队i的对手平均实力球队i的分差因素值球队i与球队j的实力差值五、模型的建立与求解5.1准备工作5.1.1确定主要影响因素由赛程安排可知，每支球队在主场和客场作战场次都是41场，但因为各队的主客 场安排不一致，导致一些对在主场或是客场连续比赛，主场作战相对容易，而客场作战 较为艰难，加之东西部球队分布
11、于美国全国各地，连续客场需要不断奔波，这样更加影 响到了球员们的精力，所以我们引入“背靠背”（即连续两场在不同客场迎战不同对手） 和“连续客场3场及以上”的概念。对于一直相对较弱的NBA球队来说，如果所以到的所有对手的平均实力较强，输掉 比赛可能性更大，对于球队的士气影响也很大，相应在这一系列赛事中就会取得较差的 成绩，所以我们考虑了 “对手的平均实力”，在这里我们根据上一个赛季球队的排名进 行数字化处理，根据每支球队在上一个赛季的胜率和分差以7:3的权重确定一支球队的 综合实力，从而确定了一支球队在这个赛季所遇到的所有对手的平均实力。5.1.2球队实力排名为了得到每个球队实力之间量化排名，根
12、据2007-2008赛季NBA常规赛分区排名按 以下两个原则排名：1、排名先后以球队胜率大小确定，胜率越大排名越靠前；2、当球队间胜率相同时，球队的分差值越大的排名越靠前。排名结果见表（1）：排名球队胜率分差排名球队胜率分差1凯尔特人0.80510.216开拓者0.5-0.892活塞0.727.41776人0.4880.3993湖人0.6957.318国王0.463-2.34黄蜂0.6835.319老鹰0.451-1.85马刺0.6834.820步行者0.439-1.46太阳0.6715.121篮网0.415-5.17火箭0.6714.722公牛0.402-3.18爵士0.6596.923山猫
13、0.39-4.39魔术0.6345.524雄鹿0.317-6.910小牛0.6224.525尼克斯0.28-6.611掘金0.613.726快船0.28-7.312勇士0.5852.227灰熊0.268-6.213骑士0.549-0.328森林狼0.268-6.814奇才0.524-0.429超音速0.244-8.815猛龙0.52.930热火0.183-8.6表（1） 每个球队实力排名表5.1.3数据统计对NBA 2008-2009赛季赛程表进行数字化处理统计得出每支球队的背对背次数、连 续客场3次及以上见表（2）：球队背靠背连续3次级以 上客场球队背靠背连续3次级以 上客场凯尔特人910开
14、拓者722活塞31476人414湖人518国王1020黄蜂514老鹰319马刺315步行者411太阳316篮网410火箭317公牛317爵士317山猫316魔术611雄鹿712小牛416尼克斯515掘金614快船121勇士922灰熊611骑士511森林狼712奇才611超音速811猛龙315热火515表（2）每个球队背对背因素、连续客场3次及以上因素表5.2问题一通过极差法（公式（5.2.1）（matlab程序见附录1）量化得出背靠背、连续3次级以上客场因素值见表（3）：b- b. b =一l一1 minl bb.（5.2.1）i max i minl l -l = i i minl.l.i
15、max i min球队背靠背因素值加连续客场3次 及以上球队背靠背因素值吊连续客场3次 及以上凯尔特人0.88890开拓者0.66671活塞0.22220.333376人0.33330.3333湖人0.44440.6667国王10.8333黄蜂0.44440.3333老鹰0.22220.75马刺0.22220.4167步行者0.33330.0833太阳0.22220.5篮网0.33330火箭0.22220.5833公牛0.22220.5833爵士0.22220.5833山猫0.22220.5魔术0.55560.0833雄鹿0.66670.1667小牛0.33330.5尼克斯0.44440.41
16、67掘金0.55560.3333快船00.9167勇士0.88891灰熊0.55560.0833骑士0.44440.0833森林狼0.66670.1667奇才0.55560.0833超音速0.77780.0833猛龙0.22220.4167热火0.44440.4167表（3）背靠背、连续3次级以上客场量化表通过极差法（公式（5.2.2） （matlab程序见附录1）量化得出胜率、分差因素值见表（4）：lwi - wi min wi max - wi min（5.2.2）n - si si min pi_si max - si min球队胜率因素值h.i分差因素值P,球队胜率因素值h,.分差因素
17、值P,凯尔特人11开拓者0.50960.4101活塞0.86330.851176人0.49040.4787湖人0.82320.8457国王0.45020.3351黄蜂0.80390.7394老鹰0.43090.3617马刺0.80390.7128步行者0.41160.383太阳0.78460.7287篮网0.3730.1862火箭0.78460.7074公牛0.35210.2926爵士0.76530.8245山猫0.33280.2287魔术0.72510.75雄鹿0.21540.0904小牛0.70580.6968尼克斯0.15590.1064掘金0.68650.6543快船0.15590.0
18、691勇士0.64630.5745灰熊0.13670.1277骑士0.58840.4415森林狼0.13670.0957奇才0.54820.4362超音速0.0981-0.0106猛龙0.50960.6117热火00表（4） 胜率、分差量化表通过公式（5.2.3）（matlab程序见附录2）得出各个球队的综合实力乙2见表（5）：Z = 0.7 x 场 + 0.3 x Pi（5.2.3）球队综合实力勺球队综合实力勺凯尔特人1开拓者0.4798活塞0.859676人0.4869湖人0.8299国王0.4157黄蜂0.7845老鹰0.4101马刺0.7766步行者0.403太阳0.7678篮网0.3
19、17火箭0.7614公牛0.3342爵士0.7831山猫0.3016魔术0.7326雄鹿0.1779小牛0.7031尼克斯0.1411掘金0.6768快船0.1299勇士0.6248灰熊0.134骑士0.5443森林狼0.1244奇才0.5146超音速0.0655猛龙0.5402热火0表（5）综合实力表5.3建立赛程评价指标由公式5.2.4求出每个球队对手平均实力值见表（6）：82(5.2.4)Zj=1 Jr =i 82球队对手平均实力r球队对手平均实力r凯尔特人0.4541开拓者0.504活塞0.45876人0.4761湖人0.4891国王0.5123黄蜂0.4977老鹰0.4842马刺0.
20、4871步行者0.4949太阳0.4919篮网0.4705火箭0.4998公牛0.4875爵士0.489山猫0.4849魔术0.4638雄鹿0.4933小牛0.4993尼克斯0.5056掘金0.4969快船0.5294勇士0.4925灰熊0.5325骑士0.467森林狼0.5298奇才0.4532超音速0.5217猛龙0.4767热火0.511表（6）对手平均实力表5.4确定各因素权重目标层层次分析法准则层|=r方案层通过引入每两个因素对弊端指数影响的程度大小的比值得到成对比较矩阵如下:15A =1/511/ 51其中A（1，2） = 5即表示对手平均实力和连续3次客场及以上因素对弊端指数的影
21、响 之比为5:1，A（2,3） = 1即表示连续3次客场及以上因素和背靠背比赛因素对弊端指数的 影响之比为1:1。求出对比矩阵的最大特征根为入=3，对应的特征向量归一后为 =（0.7143,0，1429,0，1429）T即3种因素在弊端指数中所占的权重，得到 以=0.7143, p= O.1429, y= 0.1429。（matlab 程序见附录 3）定义一致性指标：CI = 二 =0n 1平均随机一致性指标：RI=0.52定义一致性比率：CR = C 个队赛3场。解得 x=6,y=4。即与同部不同区的10个队中，要与6个队赛4场，总共24场，其中主场12场客 场12场；与4个队赛3场，总共赛
22、12场，其中主场6场，客场6场。本题重点是如何选取与两个区10个队中哪4个队赛3场（其余6个队赛4场）。为 了使各队在比赛安排上相对的公平，我们可以把每个球队与自己比赛3场的对手划分为 一个单位，解出每个单位在各数量指标影响下的实力值，最终以确定目标函数（综合实 力差值），来实现最合适的方法。5.5.4数据处理通过对上个赛季赛程进行统计分析，得到同部不同区的球队之间的比赛场次，西部 联盟见表（8），东部联盟见表（9），发现每个分区内的球队选择另外两个分区中的四个 队，而且是每个分区各两队；每个分区内的球队在和选中的4个另外分区中的四个队个 进行3场比赛。1j爵士掘金开拓者森林狼超音速湖人344
23、43太阳43434勇士43344国王44343快船344341 j黄蜂马刺火箭小牛灰熊湖人43434太阳34344勇士44433国王43344快船344431-J-黄蜂马刺火箭小牛灰熊爵士33444掘金43443开拓者44334森林狼34443超音速44334表（8）：西部联盟同部不同区球队的实际比赛场次1 - J-凯尔特人猛龙76人篮网尼克斯魔术44334奇才33444老鹰44343山猫34434热火434431-J活塞骑士步行者公牛雄鹿魔术33444奇才44343老鹰34434山猫43434热火44343-一1-j_活塞骑士步行者公牛雄鹿凯尔特人44433猛龙3344476人34443篮网
24、43344尼克斯44334表（9）：东部联盟同部不同区球队的实际比赛场次5.5.5建立模型根据资料可知，NBA东部和西部各有15只球队，各有3个赛区，每个赛区有5只球 队；从一只球队整个赛程82场比赛来说，跟同部的球队比赛场次是52场（26个主场， 26个客场），一只球队同部不同区的比赛场次有36场，包括18个主场，18个客场。针对西部联盟十己 i = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15、j = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 分 别为湖人、太阳、勇士、国王、快船、爵士、掘金、开拓者、森林狼、超音速、黄蜂马 刺、火箭、
25、小牛、灰熊的代号；记球队i与球队/弊端值差为cij，即有球队之间的差值 表见表（10）；爵士掘金开拓者森林狼超音速黄蜂马刺火箭小牛灰熊湖人0.05890.03520.12130.01420.01670.05590.09280.04850.04360.0491太阳0.01320.03690.19340.05790.05540.01620.02070.02360.02850.023勇士0.21190.18820.03170.16720.16970.20890.24580.20150.19660.2021国王0.22030.19660.04010.17560.17810.21730.25420.20
26、990.2050.2105快船0.06030.03660.11990.01560.01810.05730.09420.04990.0450.0505湖人太阳勇士国王快船黄蜂马刺火箭小牛灰熊爵士0.05890.01320.21190.22030.06030.0030.03390.01040.01530.0098掘金0.03520.03690.18820.19660.03660.02070.05760.01330.00840.0139开拓者0.12130.19340.03170.04010.11990.17720.21410.16980.16490.1704森林狼0.01420.05790.167
27、20.17560.01560.04170.07860.03430.02940.0349超音速0.01670.05540.16970.17810.01810.03920.07610.03180.02690.0324湖人太阳勇士国王快船爵士掘金开拓者森林狼超音速黄蜂0.05590.01620.20890.21730.05730.0030.02070.17720.04170.0392马刺0.09280.02070.24580.25420.09420.03390.05760.21410.07860.0761火箭0.04850.02360.20150.20990.04990.01040.01330.16
28、980.03430.0318小牛0.04360.02850.19660.2050.0450.01530.00840.16490.02940.0269灰熊0.04910.0230.20210.21050.05050.00980.01390.17040.03490.0324表（10）西部联盟三区15支球队两两之间的弊端值差表引入01变量xij，若球队，与球队j进行3场比赛，记七二1，否则记七=0，根 据同部中每个球队，应该满足的几个约束条件：每个分区内的球队选择另外两个分区中的四个队，为保证球队均衡应在每个区中各 选择两个队。每个球队对一个分区只能选择两个球队。即对于二1，2,3,4,5对于 i
29、= 6,7,8,9,10应有 x. = 2、j=6 x, = 2j=11对于 i = 11,12,13,14,15应有 x = 2,、j=1 x, = 2j=11对于 j = 1,2,3,4,5应有 x = 2、j=1 X。= 2 j=6对于 j = 6,7,8,9,10应有 x. = 2、i=6 x=2i=11对于 j = 11,12,13,14,15应有 x = 2、i=1 x, = 2i=11应有 x = 2、i=1 x=2i=6当球队i选择球队j时 j 表示他们的实力差值，否则 j -0，于是总的弊端值差可以表示为T=c x x +c x x +c x x +c 乂 x， lj jlj
30、 jlj jlj ji=1 j=6i=6 j=1i=6 j=11i=11 j=1这也就是该问题的目标函数。综上所述，这个问题的01规划模型可写作:Min T= c x x +c x x + c x x + c x xij j ij j ij j ij ji=1 j=6i=6 j=1i=6 j=11i=11 j=1力 X = 2,i = 1,2,3,4,5j=6 l肉 乂司=2, i = 1,2,3, 4,5i lJ x = 2,i = 6,7,8,9,10j= l区 x = 2, i = 6,7,8,9,10i，J x = 2, i = 11,12,13,14,15 X = 2, i = 11
31、,12,13,14,15 ij=6 乂司=2, j = 1,2,3, 4,5区 乂可=2, j = 1,2,3, 4,5i=11 V 乂司=2, j = 6,7,8,9,10i=1 乂司=2, j = 6,7,8,9,10i=11 乂分=2, j = 11,12,13,14,15力 乂司=2, j = 11,12,13,14,15x =0,1ij将表（10）中的数据代人这一模型，并输入1 ingo软件进行求解（lingo程序见附 录5）得到西部联盟同部不同区球队的比赛场次见表（11），总的实力差值2.273000。比赛场次爵士掘金开拓者森林狼超音速湖人44334太阳44333勇士44433国王
32、34444快船33444比赛场次黄蜂马刺火箭小牛灰熊湖人44433太阳44333勇士34344国王44344快船43344比赛场次黄蜂马刺火箭小牛灰熊爵士44433掘金34433开拓者34344森林狼34444超音速43434表（11）:西部联盟同部不同区球队的比赛场次针对东部联盟）己 i = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15、j = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15分别为魔术、奇才、老鹰、山猫、热火、凯尔特人、猛龙、76人、篮网、尼克斯、 活塞、骑士、步行者、公牛、雄鹿的代号；记球队i与球队/弊端值差为cij，即有球
33、队 之间的差值表见表（12）：凯尔特人猛龙76人篮网尼克斯活塞骑士步行者公牛雄鹿魔术0.03880.01240.01720.05240.0830.02160.01830.01290.05490.0658奇才0.0490.02260.02740.04220.09320.01140.00810.00270.06510.076老鹰0.0450.07140.06660.13620.00080.10540.10210.09670.02890.018山猫0.00250.02390.01910.08870.04670.05790.05460.04920.01860.0295热火0.04940.07580.0
34、710.14060.00520.10980.10650.10110.03330.0224一魔术奇才老鹰山猫热火活塞骑士步行者公牛雄鹿凯尔特人0.03880.0490.0450.00250.04940.06040.05710.05170.01610.027猛龙0.01240.02260.07140.02390.07580.0340.03070.02530.04250.053476人0.01720.02740.06660.01910.0710.03880.03550.03010.03770.0486篮网0.05240.04220.13620.08870.14060.03080.03410.0395
35、0.10730.1182尼克斯0.0830.09320.00080.04670.00520.10460.10130.09590.02810.0172魔术奇才老鹰山猫热火凯尔特人猛龙76人篮网尼克斯活塞0.02160.01140.10540.05790.10980.06040.0340.03880.03080.1046骑士0.01830.00810.10210.05460.10650.05710.03070.03550.03410.1013步行者0.01290.00270.09670.04920.10110.05170.02530.03010.03950.0959公牛0.05490.06510.
36、02890.01860.03330.01610.04250.03770.10730.0281雄鹿0.06580.0760.0180.02950.02240.0270.05340.04860.11820.0172表（12）东部联盟三区15支球队两两之间的弊端值差表同理，将表9中的数据代人这一模型，并输入lingo软件进行求解，（lingo程序见 附录6）得到东部联盟同部不同区球队的比赛场次见表（13），总的实力差值0.8118000。比赛场次凯尔特人猛龙76人篮网尼克斯魔术44433奇才44433老鹰34344山猫43344热火33444比赛场次活塞骑士步行者公牛雄鹿魔术44433奇才44433老
