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1、应力状态分析,第七章,7.1 应力状态的概述,7.2 平面应力状态分析解析法,7.4 三向应力状态,7.3 平面应力状态分析图解法,7.5 广义虎克定律,7-1 应力状态的概述,一、什么是应力状态？,三、如何描述一点的应力状态?,二、为什么要研究应力状态?,一、什么是应力状态？,（一）、应力的点的概念:,t,max,（实心截面）,横截面上的正应力分布,同一面上不同点的应力各不相同，,横截面上的切应力分布,结果表明：,即应力的点的概念。,（二）应力的面的概念,过同一点不同方向面上的应力各不相同，,即应力的面的概念,应 力,指明,应力的点的概念与面的概念,应力状态:,过同一点不同方向面上应力的集合
2、，称为这一点的应力状态；,低碳钢拉伸,塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？,铸铁拉伸,两种材料的拉伸试验,二、为什么要研究应力状态？,为什么脆性材料扭转时沿45螺旋面断开？,低碳钢扭转,铸铁扭转,两种材料的扭转试验,目的：研究过一点的各个面上的应力情况，找到过该点的最大应力（正应力，切应力），以及其平面方位。,单元体,三、如何描述一点的应力状态,单元体的性质：,a、平行面上，应力均布；,b、平行面上，应力相等，等于通过该点的平行面上的应力,一般三向（空间）应力状态,一般平面应力状态,单向应力状态,纯剪应力状态,一般单向应力状态或纯剪切应力状态,三向应力状态,平面应力状态,一点的应力状态,主平面：
3、单元体中剪应力等于零的平面。,主应力：主平面上的正应力。,主方向：主平面的法线方向。,主单元体：在单元体各侧面只有正应力而无剪应力,常用术语,约定：,应力状态的分类,单向应力状态：三个主应力中，只有一个主应力不等于零的情况。,二向应力状态：三个主应力中有两个主应力不等于零的情况。,三向应力状态：三个主应力皆不等于零的情况。,提取危险点处应力状态；,本章难点,应力状态是一切应力分析的基础；,1、拉压变形杆件,单向应力状态,1 提取拉压变形杆件一点的应力状态,单向应力状态,2 提取拉压变形杆件一点的应力状态-斜截面上,2、扭转变形杆件,纯剪切应力状态,3 提取扭转变形杆件一点的应力状态,纯剪切应力
4、状态,4 提取横力弯曲变形杆件下边缘一点的应力状态,单向应力状态,5 提取横力弯曲变形杆件任意一点的应力状态,平面应力状态,P,L/4,L/4,P,提取 点的应力状态,提取圆截面梁上危险点的应力状态,I,I,6 提取工字形截面梁上一点的应力状态,S平面,7 提取直角拐固定端截面上一点的应力状态,M=FPL,T=FPa,判定变形,铅锤面内弯曲,S平面,8 同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式.,2 提取点的应力状态,3 提取危险点处应力状态,提取危险点处应力状态,1、2、3、4的应力状态中，哪一个是错误的？,二向应力状态实例,一、承受内压圆柱型薄壁容器任意点的应力状态,圆柱型薄壁容器任意点的
5、应力状态,（壁厚为，内直径为D，D，内压为p）,轴线方向的应力,横向应力,承受内压圆柱型薄壁容器任意点的应力状态:,二向不等值拉伸应力状态,二、承受内压球型薄壁容器任意点的应力状态,（壁厚为，内直径为D，D，内压为p）,3、三向应力状态实例,滚珠轴承中，滚珠与外圈接触点的应力状态,火车车轮与钢轨的接触点处于几向应力状态？,1、已知薄壁容器的内压为，内径为D，壁厚为，画出下列各种受力状态下危险点的应力状态。,二向应力状态分析解析法,主应力、主平面,？,二、单元体的局部平衡,二、单元体的局部平衡,-,+,+,0,平衡方程,三、平面应力状态任意方向面上的正应力与切应力,用 斜截面截取，此截面上的应力
6、为,即单元体两个相互垂直面上的正应力之和是一个常数。,即又一次证明了切应力的互等定理。,例题1.求斜面ab上的正应力和切应力,y,x,解：,二向应力状态主平面、主剪应力平面位置浅析董天立,平面应力状态最大主应力方向的剪应力判别法张黎明,用解析法确定结构中主应力方向的一种简便方法吴国政,例题,50,70,（1）垂直方向等于零的应力是代数值较大的应力，故取轴的方向垂直向上,、,、,、,解：,(2)求主应力,()求主平面,例题：讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的破坏现象,解:(1)圆轴扭转时，在横截面的边缘处切应力最大，其值为,t,(2)求主应力,()求主平面,例 1,薄壁圆管受扭转和
7、拉伸同时作用（如图所示）。已知圆管的平均直径D50 mm，壁厚2 mm。外加力偶的力偶矩Me600 Nm，轴向载荷FP20 kN。薄壁管截面的扭转截面系数可近似取为,求：1圆管表面上过D点与圆管母线夹角为30的斜截 面上的应力；2.D点主应力,2、确定微元各个面上的应力,1取微元：围绕D点用横截面、纵截面和圆柱面截取微元。,3 求斜截面上的应力,x63.7 MPa，y0，xy一76.4 MPa，120。,三维投影成二维,求斜截面上的应力,3确定主应力,确定主应力与最大剪应力,7-4 二向应力状态分析-图解法,一、应力圆方程,二、应力圆的画法,三、应力圆的应用,一、应力圆方程,具体作圆步骤,再将
8、上述过程重复一次,点面对应,应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应力和剪应力；,转向对应,二倍角对应,与二倍角对应,半径转过的角度是方向面法线旋转角度的两倍；,半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；,在应用过程中，应当将应力圆作为思考、分析问题的工具，而不是计算工具。,三、应力圆的应用,信息源,A,B,E点的横、纵坐标即位该任意斜截面上的正应力和切应力。,1 从应力圆上确定任意斜截面上的应力,A,B,应力圆和横轴交点的横坐标值。,b,e,2 从应力圆上确定主应力大小,D,b,e,3 从应力圆上确定主平面方位,主应力排序：s1s2 s3,4 从应力圆上确定面内最大切应力,应力圆上的最
9、高点的纵坐标对应“面内最大切应力”。,与主应力的夹角为45度。,b,e,例1：轴向拉伸的最大正应力和最大切应力,轴向拉伸时45方向面上既有正应力又有切应力，但正应力不是最大值，切应力却最大。,轴向拉伸的最大正应力和最大切应力,最大正应力所在的面上切应力一定是零；,b,e,例2：纯剪切状态的主应力,纯剪切状态的主单元体,在纯剪应力状态下，45方向面上只有正应力没有剪应力，而且正应力为最大值。,例3：一点处的平面应力状态如图所示。已知,试求（1）斜面上的应力；（2）主应力、主平面；（3）绘出主单元体。,主应力单元体：,四、三向应力状态的应力圆,只能画出主单元体的应力圆草图,由s2、s3可作出应力圆
10、 I,由s1、s3可作出应力圆II,I,II,I,由s1、s2可作出应力圆 III,s1,II,I,s3,III,s2,微元任意方向面上的应力对应着三个应力圆之间某一点的坐标。,tmax,tmax,1、求：平面应力状态的主应力1、2、3和最大切应 力tmax。,3求：平面应力状态的主应力1、2、3和最大切应力tmax。,已知:三向应力状态如图所示，图中应力的单位为MPa。,例 题,试求：主应力及微元内的最大切应力。,7-5 三向应力状态解析法,作应力圆草图,所给的应力状态中有一个主应力是已知的；,x=20 MPa，xy=40 MPa。,微元内的最大切应力,三个主应力,1、求下列单元体的三个主应
11、力,2、求下列单元体的三个主应力,3、求下列单元体的三个主应力，并作应力圆草图,4、杆件内某点的应力状态如图，求主应力；最大剪应力；画出该点的应力圆草图。,5、杆件内某点的应力状态如图，E200Gpa,u=0.25求主应力；最大剪应力；最大线应变；画出该点的应力圆草图。,1.基本变形的胡克定律,1）轴向拉压胡克定律,横向线应变,2）纯剪切胡克定律,7-8 广义胡克定律,纵向线应变,2、三向应力状态的广义胡克定律,叠加法,3、广义胡克定律的一般形式,各向同性材料的广义胡克定律；,适用性,4 平面应力状态的广义胡克定律,5、三个弹性常数之间的关系,讨论,1、,即,2、当 时，即为二向应力状态：,3
12、、当 时，即为单向应力状态；,即最大与最小主应变分别发生在最大、最小主应力方向。,一般的二向应力状态的广义胡克定律,请判断下列论述的正确性：,有应力一定有应变,有应力不一定有应变,有应变不一定有应力,有应变一定有应力,正确应用广义胡克定律,例1：已知一圆轴承受轴向拉伸及扭转的联合作用。为了测定拉力F和力矩m，可沿轴向及与轴向成45方向测出线应变。现测得轴向应变，45方向的应变为。若轴的直径D=100mm,弹性模量E=200Gpa,泊松比=0.3。试求F和m的值。,u,u,（1）提取应变片处的应力状态,K,（2）应用广义胡克定律,（3）计算外力偶m.,例8 一尺寸为 10mm 10mm 10mm
13、的 铝质立方块恰好放在一宽度和深 度都是10mm的刚性座槽内。（图21）铝的E=70GPa当铝块受 到压力F=6kN时，试求铝块的 三个主应力及相应的变形。,解：（1）铝块的主应力,在铝质立方块内垂直于轴的截面上的应力为,在力F作用下，铝块将产生横向膨胀。因x轴方向不受约束，因此x轴方向的主应力=0。由于钢坯不变形，故在y方向的应变=0。由式（9）得,所以三个主应力为,（2）相应的变形,所以,3 为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变=350e-6。若已知容器平均直径D500 mm，壁厚10 mm，容器材料的E210 GPa，0.25。,试求：容器所受的内压力。,容器表
14、面各点均承受二向拉伸应力状态。所测得的环向应变不仅与环向应力有关，而且与纵向应力有关。,1、60毫米90毫米的矩形截面外伸梁，竖放。材料的弹性模量为E200GPa，泊松比为u=0.3。测得A点处-4520010-6。若已知P180KN，求P2？,2、圆轴的直径为D10毫米，材料的弹性模量为E100GP，泊松比0.25，载荷P=2KN，外力偶M=PD/10。求圆轴表面上一点与轴线成30度角的线应变。,3、等截面圆杆受力如图，抗弯截面系数为WZ=6000mm3，材料的弹性模量为E200GP，泊松比0.25，a=0.5m，测得A、B二点的线应变分别为A4104，B3.75104。求外载荷P、M。,4
15、、圆截面直角拐的直径为D10毫米，材料的弹性模量为E200GP，泊松比0.3。测K点与轴线成45度角的线应变为3.9104，求力P？,5、等截面圆杆受力如图，直径为D30毫米，材料的弹性模量为E200GP，泊松比0.3，测得A点沿轴向的线应变为A5104，B点与轴线成45度角的线应变为B4.26104。求外载荷M1、M2。,6、大体积刚块上有一圆孔，孔的直径为D5.001厘米。孔内放一直径为5厘米的圆柱，圆柱上承受P300KN的压力，圆柱材料的弹性模量为E200GP，泊松比0.3。求圆柱内的三个主应力。,7、薄壁圆筒的内径为D60毫米，壁厚1.5毫米。承受的内压为6MP，力偶为M1KN。材料的
16、弹性模量为E200GP，泊松比0.3。求A点与轴线成45度角的线应变。,8、直径为D20毫米的实心轴，受力偶M126N的作用。测定A点与轴线成45度角的线应变为A5104，材料的泊松比0.25。求材料的弹性模量E与剪变模量G。,9、已知矩形截面简支梁的横截面尺寸宽60毫米，高100毫米。梁的跨度为L3米，载荷F作用在梁的中点。图示中K点的两个主应变为15104，21.65104。材料的弹性模量为E200GP，泊松比0.3。求主应力1、2、及力F,10、已知矩形截面杆宽b=40mm，高h=2b。材料的弹性模量为E200GP，泊松比0.3。测定A、B二点沿轴向的线应变分别为A100106，B300
17、106。求外载荷P、M。,11、等截面圆轴的直径为D40毫米，材料的弹性模量为E200GP，泊松比0.25。测定A点与轴线成45o角的线应变分别为45-146106，-45446106。求外载荷P、M；如果构件的许用应力为120MP，校核强度。,11、矩形截面悬臂梁的截面宽50毫米，高100毫米。梁长L1米，P20KN。材料的弹性模量为E200GP，泊松比0.3。求K点与轴线成30度角方向上的线应变。,12、矩形截面简支梁跨度为L，在梁的中性层上贴应变片测得与轴线成角的线应变为，材料的弹性模量为E，泊松比，均已知。求载荷F,13、圆截面杆的直径为D，材料的弹性模量为E，泊松比，A处的两个主应变
18、1、3已知。求力P,14、圆截面杆的直径为D20毫米，材料的弹性模量为E200GP，泊松比0.3。测的构件表面上一点A的三个方向的线应变分别为：轴线方向a320106，与轴线垂直方向b96105，与轴线成45度角方向c565106，求外载荷P、M,15、255的矩形截面钢杆竖放，用应变片测得杆件的上、下表面轴向线应变分别为a=1103，b=0.4103，材料的弹性模量为E200GPa，绘制横截面上正应力的分布图求拉力P及偏心距离e。,1、广义虎克定律i=(i-u(j+k)/E 适用于。,A：弹性体；B：线弹性体；C：各向同性弹性体；D：各向同性线弹性体；,2、矩形板ABCD，在AD、BC上作用
19、有均匀压力P1，在AB、CD上作用有均匀压力P2，欲使AD、BC二面的相对距离保持不变，那么P1/P2=?,3、材料的弹性模量E，泊松比已知，则最大线应变1=?,4、圆板在受力前画二个圆，受均匀载荷的作用，受力后二圆会变成什麽形状(圆、椭圆)？,5、受扭圆轴上贴三个应变片，实测时应变片的读数几乎是零？,6、工字形截面梁E200GP，在力偶M的作用下测定A处纵向线应变=310-4,那么梁内最大的正应力。A：30MP；B：60 MP；C：120 MP D：180 MP,A,7、在下列说法中哪一个正确？A：在有正应力的方向必有线应变；B：无正应力的方向必无线应变；C：线应变为零的方向正应力必为零；D：正应力最大的方向线应变也最大；,8、已知单元体的1、2、E、,主应变1、2均已知，那么3？,A：-(1+2)B：-(1+2)/EC：-(1+2)/E D：0,9、现有两个单元体，比较x与y：。,A：x、y均相等；B：x、y均不等；C：x相等、y不等；D：x不等、y相等。,
