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1、隐函数组的存在性、连续性与可微性是函数方程组求解问题的理论基础.利用隐函数组的一般思想,又可进而讨论反函数组与坐标变换等特殊问题.,11.2 函数行列式,三、反函数组与坐标变换,一、隐函数组概念,二、隐函数组定理,一、隐函数组概念,设有一组方程,则称由(1)确定了隐函数组,之对应,能使,其中 定义在 若存在,并有,关于隐函数组的一般情形(含有 m+n 个变量的,m 个方程所确定的 n 个隐函数)，在本章不作详,细讨论,首先来看看,若由方程组(1)能确定两个可微的隐,足何种条件呢?,不妨先设 都可微,由复合求导法,通过对(1),分别求关于 x 与关于 y 的偏导数,得到,能由(2)与(3)惟一解
2、出 的充要,条件是雅可比(Jacobi)行列式不等于零，即,由此可见，只要 具有连续的一阶偏导数，且,其中 是满足(1)的某一,初始点,则由保号性定理，使得在此邻域,内(4)式成立,根据以上分析,便有下述隐函数组定理.,雅可比（Jacobi,C.G.J.1804-1851,德国）,定理 11.4(隐函数组定理)设方程组(1)中的函数,F 与 G 满足下列条件：,(i)在以点 为内点的某区域,上连续；,(ii)(初始条件);,(iii)在 V 内存在连续的一阶偏导数；,(iv),二、隐函数组定理,即有,则有如下结论成立：,且满足,使得,在 上连续.,在 上存在一阶连续偏导,数,且有,本定理的详细
3、证明从略(第二十三章有一般隐函,数定理及其证明),下面只作一粗略的解释:,由方程组(1)的第一式 确定隐,函数,将 代入方程组(1)的第二式,得,再由此方程确定隐函数 并代回至,这样就得到了一组隐函数,通过详细计算,又可得出如下一些结果:,例1 设有方程组,试讨论在点 的近旁能确定怎样的隐函,数组？并计算各隐函数在点 处的导数.,解 易知点 满足方程组(5).设,它们在 上有连续的各阶偏导数.再考察,在点 关于所有变量的雅可比矩阵,由于,因此由隐函数组定理可知,在点 近旁可以惟一,地确定隐函数组:,但不能肯定 y,z 可否作为 x 的两个隐函数.,运用定理 11.4 的结论,可求得隐函数在点
4、处,的导数值:,*注 通过详细计算,还能求得,这说明 处取极大值,从而知道,在点 的任意小邻域内,对每一个 x 的值,会有,多个 y 的值与之对应.类似地,对每一个 x 的值,也会有多个 z 的值与之对应.所以方程组(5)在点,近旁不能惟一确定以 x 作为自变量的隐函数组.,例 2 设函数 具有连续的偏导数,是由方程组,所确定的隐函数组.试求,解 设 则有,由此计算所需之雅可比行列式:,于是求得,注 计算隐函数组的偏导数(或导数)比较繁琐,要学懂前两例所演示的方法(利用雅可比矩阵和,雅可比行列式),掌握其中的规律.这里特别需要,“精心细心耐心”.,三、反函数组与坐标变换,设有一函数组,它确定了
5、一个映射(或变换):,写成点函数形式,即为 并记 的,象集为 现在的问题是:函数组(6)满足,何种条件时,存在逆变换 即存在,亦即存在一个函数组,使得满足,这样的函数组(7)称为函数组(6)的反函数组.它,的存在性问题可化为隐函数组的相应问题来处理.,为此,首先把方程组(6)改写为,然后将定理 18.4 应用于(8),即得下述定理.,定理 11.5(反函数组定理)设(6)中函数在某区域,上具有连续的一阶偏导数,是,的内点,且,则在点 的某邻域 内,存在惟一,此外,反函数组(7)在 内存在连续的一阶,的一组反函数(7),使得,偏导数;若记,则有,同理又有,由(9)式进一步看到:,此式表示:互为反
6、函数组的(6)与(7),它们的雅,可比行列式互为倒数,这和以前熟知的反函数求,导公式相类似.于是可把一元函数的导数和函数,组(6)的雅可比行列式看作对应物.,例3 平面上点的直角坐标 与极坐标 之,间的坐标变换为,试讨论它的逆变换.,解 由于,因此除原点(r=0)外,在其余一切点处,T 存在,逆变换,例4 空间直角坐标 与球坐标 之间,的坐标变换为(见图115),由于,因此在(即除去 Oz 轴上的一切点)时,存在逆变换,例5 设有一微分方程(弦振动方程):,其中 具有二阶连续偏导数.试问此方程在,种形式?,解 据题意,是要把方程(10)变换成以 u,v 作为自,变量的形式.现在按此目标计算如下:首先有,故 T 的逆变换存在,而且又有,依据一阶微分形式不变性,得到,并由此推知,继续求以 u,v 为自变量的 与 的表达式:,最后得到以 u,v 为自变量的 微分方程为,1.验证:定理 11.4 的结论 可以写成,2.验证:由定理 11.5 的(9)式(课本中为(13)式),可以推得,复习思考题,
