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1、电容和电感元件是组成实际电路的常用器件。这类元件的VCR是微分或积分关系，故称其为动态元件。含有动态元件的电路称为动态电路，描述动态电路的方程是微分方程。,电容(capacitor)是一种储存电能的元件,它是实际电容器的理想化模型。电容器由绝缘体或电解质材料隔离的两个导体组成。电容的行为是基于电场的现象，如果电压随时间变化，则电场也随时间变化。时变的电场在该空间产生位移电流,而位移电流等于电容两端的传导电流。,电容上电荷与电压的关系最能反映这种元件的储能。,一、电容元件,第四章 动态电路时域分析,电容器资料介绍:,1、电容的一般定义,一个二端元件，若在任一时刻t，其电荷q(t)与电压u(t)之
2、间的关系能用qu平面上的曲线表征，即具有代数关系 f(u，q)=0,则称该元件为电容元件，简称电容。,电容：时变和时不变 线性的和非线性电容。,线性时不变电容的库伏特性是qu平面上一条过原点的直线，且斜率C不随时间变化，其表达式：,q(t)=Cu(t),2、电容的VCR,当电容两端的电压变化时，聚集在电容上的电荷也相应发生变化，表明连接电容的导线上电荷移动，即电流流过；若电容上电压不变化，电荷也不变化，即电流为零。,若电容上电压与电流参考方向关联，考虑到 i=dq/dt，q=C u(t)，有,积分关系,电容VAR的积分形式,电容VAR的微分形式,比较:电阻与电容VCR关系的不同?,设t=t0为
3、初始观察时刻，上式可改写为,式中,称电容电压在t0时刻的初始值(initial value),或初始状态，它包含了在t0以前电流的“全部历史”信息。一般取t0=0。,若电容电压、电流的参考方向非关联，,说明:（1）电容的伏安关系是微积分关系，因此电容元件是动态元件。而电阻元件的伏安关系是代数关系，电阻是一个即时（瞬时）元件。（2）由电容VAR的微分形式可知：任意时刻，通过电容的电流与该时刻电压的变化率成正比。当电容电流 i为有限值时，其du/dt也为有限值，则电压u必定是连续函数，此时电容电压不会跃变。当电容电压为直流电压时，则电流 i=0，此时电容相当于开路，故电容有隔直流的作用。（3）由电
4、容VAR的积分形式可知：在任意时刻t，电容电压u是此时刻以前的电流作用的结果，它“记载”了以前电流的“全部历史”。即电容电压具有“记忆”电流的作用，故电容是一个记忆元件，而电阻是无记忆元件。,功率:当电压和电流为关联方向时，电容吸收的瞬时功率为：,电容是储能元件，它不消耗能量。当 p(t)0时，说明电容在吸收能量，处于充电状态；当 p(t)0时，说明电容是在释放能量，处于放电状态。释放的能量总也不会超过吸收的能量。电容不能产生能量，因此为无源元件。,u(-)表示未充电时的电压值，应有u(-)=0。电容在时刻 t 的储能为：,可见：电容在某一时刻 t 的储能仅取决于此时刻的电压，而与电流无关，且
5、储能 0。,储能 对功率从-到 t 进行积分，即得t 时刻电容上的储能：,4、举例,例1 如图电路，电源电压uS(t)如图；试求电容上电流i(t)、瞬时功率p(t)及在t时刻的储能wC(t)。,解：,根据电容VAR得,可得到如下波形:,吸收能量,释放能量,例2 某电容C=2F，电流i波形如图所示。若u(0)=0，求电容电压u(t),t0;计算t=2s时电容的储能w(2)。,解：根据电容VAR得,计算t=2s时电容的储能w(2)。,解：,5、主要结论,（1）电容的伏安关系是微积分关系，因此电容元件是动态元件。而电阻元件的伏安关系是代数关系，电阻是一个即时（瞬时）元件。（2）由电容VAR的微分形式
6、可知：任意时刻，通过电容的电流与该时刻电压的变化率成正比。当电容电流 i为有限值时，其du/dt也为有限值，则电压u必定是连续函数，此时电容电压是不会跃变的。当电容电压为直流电压时，则电流 i=0，此时电容相当于开路，故电容有隔直流的作用。（3）由电容VAR的积分形式可知：在任意时刻t，电容电压u是此时刻以前的电流作用的结果，它“记载”了以前电流的“全部历史”。即电容电压具有“记忆”电流的作用，故电容是一个记忆元件，而电阻是无记忆元件。（4）电容是一个储能元件，它从外部电路吸收的能量，以电场能量的形式储存于自身的电场中。电容C在某一时刻的储能只与该时刻t电容电压有关。,电感(inductor)
7、是一种储存磁能的元件。它是实际电感线圈的理想化模型，电路符号如图所示。,将导线绕在骨架上就构成一个实际电感线圈（也称电感器），当电流i(t)通过线圈时，将产生磁通(t)，其中储存有磁场能量。与线圈交链的总磁通称为磁链(t)。若线圈密绕，且有N匝，则磁链(t)=N(t)。,电感器件主要是线圈类元件，包括固定电感器、中频变压器、可调线圈、空芯线圈、行线性线圈和行振荡线圈等。,二、电感元件,1、电感的一般定义,一个二端元件，若在任一时刻t，其磁链(t)与电流i(t)之间的关系能用 i平面上的曲线表征，即具有代数关系 f(，i)=0,则称该元件为电感元件，简称电感。,电感：时变和时不变的，线性的和非线
8、性的。,(t)=L i(t),线性时不变电感的外特性(韦安特性)是i平面上一条过原点的直线，且其斜率L不随时间变化，如图(a)所示。其表达式可写为：,2、电感的VCR,电感中，当电流变化时，磁链也发生变化，从而产生感应电压。在电流与电压参考方向关联时，若电压参考方向与磁通的方向符合右手法则，根据法拉第电磁感应定律，感应电压u(t)与磁链的变化率成正比，即：,对线性电感，由于(t)=L i(t)，故有,设t=t0为初始观察时刻，上式可改写为,称为电感电流在t0时刻的初始值,或初始状态，它包含了在t0以前电压的“全部历史”信息。一般取t0=0。,若电感电压、电流的参考方向非关联，电感VAR表达式可
9、改为,强调:（1）电感元件是动态元件。（2）由电感VAR的微分形式可知：任意时刻，通过电感的电压与该时刻电流的变化率成正比。当电感电压 u为有限值时，其di/dt也为有限值，则电流i必定是连续函数，电感电流不会跃变。当电感电流为直流电流时，则电压 u=0，即电感对直流相当于短路。（3）由电感VAR的积分形式可知：在任意时刻t，电感电流i是此时刻以前的电压作用的结果，它“记载”了以前电压的“全部历史”。即电感电流具有“记忆”电压的作用，故电感也是一个记忆元件。,3、电感的功率与储能,当电感电压和电流为关联方向时，电感吸收的瞬时功率为：,电感是储能元件，它不消耗能量。当 p(t)0时，说明电感是在
10、吸收能量，处于充磁状态；当 p(t)0时，说明电感是在释放能量，处于放磁状态。释放的能量总也不会超过吸收的能量。电感不能产生能量，因此为无源元件。,对功率从-到 t 进行积分，即得t 时刻电感上的储能为：,式中i(-)表示电感未充磁时刻的电流值，应有i(-)=0。于是，电感在时刻 t 的储能可简化为：,可见，电感在某一时刻 t 的储能仅取决于此时刻的电流，而与电压无关，且储能 0。电感是一个储能元件，它从外部电路吸收的能量，以磁场能量的形式储存于自身的磁场中。,4、主要结论,（1）电感元件是动态元件。（2）由电感VAR的微分形式可知：任意时刻，通过电感的电压与该时刻电流的变化率成正比。当电感电
11、压 u为有限值时，其di/dt也为有限值，则电流i必定是连续函数，此时电感电流是不会跃变的。当电感电流为直流电流时，则电压 u=0，即电感对直流相当于短路。（3）由电感VAR的积分形式可知：在任意时刻t，电感电流i是此时刻以前的电压 作用的结果，它“记载”了以前电压的“全部历史”。即电感电流具有“记忆”电压的作用，故电感也是一个记忆元件。（4）电感是一个储能元件，它从外部电路吸收的能量，以磁场能量的形式储存于自身的磁场中。电感L在某一时刻的储能只与该时刻t电感电流有关。,当t0.5s时，,解：当0t0.5s时，,5、举例:如图已知电感电压u(t)，L=0.5H，i(0)=0；试求电感上电流i(
12、t)及在t=1s时的储能wL(1)。,例2 如图所示电路，已知电感电流,求t0电容上电流iC和电压源电压uS,解：电感电压,电容电流,KCL方程,电源电压,1、电容串联：,电容串联电流相同，根据电容VAR积分形式,u=u1+u2+un,1、电容串联：,分压公式,特例：两个电容串联，,三、电容与电感的串、并联等效,2、电容并联：,电容并联电压u相同，根据电容VAR微分形式,i=i1+i2+in,Ceq=C1+C2+Cn,分流公式,由KCL，有,3、电感串联：,电感串联电流相同，根据电感VAR微分形式,由KVL，有 u=u1+u2+un,Leq=L1+L2+Ln,4、电感并联：,分流公式,特例：两
13、个电感并联，,5、电容电感串并联两点说明,（1）电感的串并联与电阻串并联形式相同，而电容的串并联与电导形式相同。（2）电感与电容也可以利用-Y等效，但注意：对电容用1/C代入。,由于动态元件电感电容的VAR是微积分关系，描述动态电路方程是微积分方程。,例1：t=0时开关S闭合，讨论t0uC(t),t0时，根据KVL方程列出,uR+uC uS=0,根据元件的VAR,令=RC，因为RC=V/AC/V=C/A=s，故称为时常数。若方程是一阶微分方程，电路称为一阶电路。,一、动态电路方程的建立,4.2 动态电路方程,例2：图RL电路，t=0时开关S闭合，讨论t0时的电感电流iL(t)。,t0时，根据K
14、CL有,iR+iL iS=0,根据元件的VAR，有,一阶微分方程的一般形式可写为,y(t)+ay(t)=bf(t)，式中y(t)为响应，f(t)为激励。,令=L/R，,称时常数。,二阶电路举例：,例：RLC串联电路，电容电压uC(t)。,根据KVL方程有,uR+uL+uC uS=0,根据元件的VAR，有,整理得,为二阶微分方程，此电路为二阶电路。二阶微分方程的一般形式可写为,y”(t)+a1y(t)+a0y(t)=b0f(t),建立动态方程的一般步骤,、根据电路建立KCL或KVL方程，写出元件的伏安关系；、在以上方程中消去中间变量，得到所需变量的微分方程。,1、微分方程的经典解法,一阶和二阶微
15、分方程一般形式为,y(t)+ay(t)=bf(t)（1），y”(t)+a1y(t)+a0y(t)=b0f(t)（2）,线性常系数微分方程的解由两部分组成：y(t)=yh(t)+yp(t)即：完全解=齐次解（通解）+特解,齐次解 yh(t)：其函数形式取决于微分方程的特征根。,一阶微分方程，其特征方程为 s+a=0，特征根为s=-a，故,yh(t)=K est=K e-a t,二阶微分方程，其特征方程为 s2+a1s+a0=0，特征根为s1 和s2，当s1 s2 时，yh(t)=K1 es1t+K2 es2t 当s1=s2=s时，yh(t)=(K1+K2 t)est 式中待定常数K1、K2将在完
16、全解中由初始条件确定。,二、微分方程的经典解法,特解yh(t)：特解具有与激励f(t)相同的函数形式。主要列表如下：,当特解yp(t)的函数形式确定后，将其代入原微分方程中，来求待定常数Ai,2、举例,Us为直流电压源，当t=0时开关闭合，电容的初始电压uC(0)=U0，求t0时的uC(t)。,解（1）建立电路方程,（2）求齐次解uCh(t),（3）求特解uCp(t)。激励Us为常数，特解也是常数。令 uCp(t)=A，代入微分方程，,uCp(t)=A=Us,（4）求完全解uC(t)。,uC(t)=uCh(t)+uCp(t)=,式中常数K由初试条件uC(0)=U0确定。,3、结果分析：固有响应
17、和强迫响应 暂态响应和稳态响应,完全解中，第一项（即齐次解）的函数形式仅由特征根确定，而与激励的函数形式无关，称为固有响应或自由响应。,固有响应,式中第二项（即特解）与激励具有相同的函数形式，称为强迫响应。,强迫响应,按电路的工作情况，也常将完全响应分为暂态响应和稳态响应。上式中第一项按指数规律衰减，t时，该项为0，称为暂态响应。第二项在任意时刻都保持稳定，称为稳态响应。,1、换路定律,需要根据给定的初始条件确定微分方程解中待定常数K。由于电路响应指电压和电流，故相应的初始条件为电压或电流的初始值，即在t=t0时刻的值u(t0)、i(t0)。,其中电容电压uC和电感电流iL的初始值uC(t0)
18、、iL(t0)由电路的初始储能决定，称为独立初始值或初始状态。其余电压电流的初始值称为非独立初始值，它们将由电路激励和初始状态来确定。,（1）换路,*开关的闭或开动作；*元件参数突变；*电源数值突变；,统称为“换路”,电路的初始时刻一般认为是换路时刻。设换路时刻为t=t0，则,换路前瞬间为：,换路后瞬间为：,解微分方程所需要的初始值？,一、独立初始值,4.2.2、电路的初始值,（2）、换路定律,若电容电流iC和电感电压uL在t=t0时为有限值，则换路前后瞬间电容电压uC和电感电流iL是连续的（不发生跃变），即有 uC(t0+)=uC(t0-)iL(t0+)=iL(t0-),（3）、说明,（1）
19、：除电容电压和电感电流外，其余各处电压电流不受换路定律的约束，换路前后可能发生跃变。（2）换路定律可以从能量的角度来理解：由于wC(t)=0.5Cu2C(t)、wL(t)=0.5Li2L(t)，如果uC或iL发生跃变，则wC或wL也发生跃变，由于功率p=dw/dt，因此能量的跃变意味着功率为，这在实际电路中是不可能的。但在某些理想情况下，有可能。（3）通常t0=0。此时uC(0+)=uC(0-)，iL(0+)=iL(0-),2、独立初始值（初始状态）的求解,（1）求出uC(0-)和 iL(0-)。（2）利用换路定律求得 uC(0+)=uC(0-)，iL(0+)=iL(0-),例1：已知t0时，
20、电路已处于稳定。在t=0时，开关S打开，求初始值uC(0+)和iL(0+)。,解：t 0时，电路在直流电源作用下并已处于直流稳态，电容可视为开路，电感视为短路。得t=0-时的等效电路如图,易求得：iL(0-)=8/(2+6)=1 A uC(0-)=6 iL(0-)=6 V,由换路定律得：uC(0+)=uC(0-)=6 V iL(0+)=iL(0-)=1 A,1、非独立初始值求解 基本思路：先求出独立初始值，然后再由独立初始值求出非独立初始值。,在t=0+时刻，根据置换定理，将电容用电压等于uC(0+)的电压源替代，电感用电流等于iL(0+)的电流源替代，独立源均取t=0+时刻的值。此时得到的电
21、路是一个直流电源作用下的电阻电路，称为0+等效电路。由该电路求得各电流、电压就是非独立初始值。,二、非独立初始值,例：已知t 0时，电路已达稳态。在t=0时，开关S打向2，求初始值iR(0+)、iC(0+)和uL(0+)。,解(1)uC(0-)，iL(0-)0-等效电路,iL(0-)=210/(2+3)=4AuC(0-)=3 iL(0-)=12 V,(2)换路定律 uC(0+)=uC(0-)=12V iL(0+)=iL(0-)=4A,(3)0+等效电路,iR(0+)=12/4=3A iC(0+)=-iR(0+)4=-7A uL(0+)=12-34=0V,2、初始值计算步骤：,（1）由0-等效电
22、路，求出uC(0-)和iL(0-)（特别注意：直流稳态时，L相当于短路，C相当于开路）。（2）换路定律 初始状态 uC(0+)=uC(0-)iL(0+)=iL(0-)。（3）0+等效电路 利用电阻电路分析方法，求出各非独立初始值。,3、电容电压、电感电流发生强迫跃变的情况,指出：换路定律仅在电容电流和电感电压为有限值时才成立。在某些理想情况下，电容电流和电感电压可以为，uC和iL可能强迫跃变。可能情况：换路后，电路中存在全部由电容组成的回路或由电容和理想电压源组成的回路，那么，电容电压可能发生跃变。换路后，电路中存在全部由含电感支路或理想电流源支路组成的节点或闭合曲面，那么，电感电流可能发生跃
23、变。,在发生强迫跃变的情况下，可根据电荷守恒和磁链守恒原理确定初始值。q(0+)=q(0-),(0+)=(0-),1、零输入响应,动态电路能量来源于两部分：一是外加激励，另一是电路的初始储能(初始状态)。,定义：外加激励均为零时，仅由初始状态所引起的响应，称为零输入响应,例：电路如图，已知t 0时，开关S处于位置1，电路已达稳态。在t=0时，开关S切换至位置2，求t0时，电容电压uC(t),解：初始状态,t0时电路如图。由KVL列方程 uR+uC=0，其中uR=R i,i=-C duC/dt，故有,4.3 一阶电路的零输入响应,初始值uC(0+)代入，得 K=uC(0+),，t0,当t时，它们
24、衰减到零，达到稳态。这一变化过程称为暂态过程或过渡过程。,特征根为 s=-1/，解为：,说明最初储存在电容中的能量最终被电阻消耗。,在换路前后，电容电压是连续的；而电流i(0-)=0，i(0+)=uC(0+)/R，发生跃变。,零输入响应与初始状态之间满足齐次性。对二阶以上电路，有多个初始状态，零输入响应与各初始状态间也满足可加性。这种性质称为零输入线性。,2、暂态过程与时常数之间的关系,RC电路充放电过程的快慢取决于时常数。注意：仅与电路内参数有关，与激励和初始状态无关。,不同t值对应的响应,一般认为，经过3 5 时间后，暂态响应已基本结束。,一阶电路演示,零状态响应,零输入响应,电源通过电阻
25、对电容充电,电容通过电阻放电,充电,放电,充电,例：已知R=4，L=0.1H，US=24V，开关在t=0打开，求t0时的电流iL，其中电压表内阻RV=10k，量程为100V，问开关打开时，电压表有无危险？,解 t=0-时，电感相当短路，iL(0+)=iL(0-)=Us/R=24/4=6 A,换路后，KVL方程有 uL u=0 uL=L diL/dt u=-RViL,电压表换路后瞬间要承受-60kV的高压，而其量程只有100V，因此电压表立即被打坏。,u(t)=-RV iL(t)=-10103=-60 kV,定义：当电路的初始储能为零(即初始状态为零)时，仅由外加激励所引起的响应，称为零状态响应
26、,例：t 0时，开关S闭合，电路已达稳态，t=0时，开关S断开，求t0时，电容电压uC(t)。,解：t 0时开关闭合，uC(0+)=uC(0-)=0，故所求响应为零状态响应。t0时，iC+iR=Is iC=C duC/dt，iR=uC/R，代入上式得,初始值uC(0+)=0,uC(t)=uCh(t)+uCp(t),4.4 一阶电路的零状态响应,uCp(t)=A，,特解 uCp(t)=RIS,完全解为,uC(0+)=K+RIS，解得K=-RIS,零状态响应,电容电流,当开关断开后，电容充电，uC按指数规律上升，当t时，达到稳定状态，其稳态值 uC()=RIs。而电容电流iC按指数规律衰减，当达到
27、稳态时，iC()=0。,零状态响应满足齐次性。若有多个激励，零状态响应与各激励之间也满足可加性。这种性质称为零状态线性。,全响应,定义：电路在外加激励和初始状态共同作用下所产生的响应，称为全响应。,对于线性电路，根据叠加定理，全响应又可以分解为 全响应=零输入响应+零状态响应，即 y(t)=yzi(t)+yzs(t),因此，对于初始状态不为零，外加激励也不为零的电路,初始状态单独作用时（独立源置0）时产生的响应就是零输入响应；外加激励单独作用时即令uC(0+)=0时求得的响应就是零状态响应。,全响应零输入响应+零状态响应,4.5 一阶电路的全响应,直流电源激励下一阶电路响应的简便计算方法,1
28、三要素公式的推出,一阶电路只含一个动态元件，换路后，等效为如图两种形式之一。,以电容电压uC(t)和电感电流iL(t)为响应的方程，,若用y(t)表示响应，用f(t)表示外加激励，上述方程统一表示为,为时常数，对RC电路，=RC；对RL电路，=L/R。,三要素公式,y(t)=yh(t)+yp(t),特征根 s=-1/，y(t)=Ke-t/+yp(t),设全响应y(t)的初始值为y(0+)，代入上式得,y(0+)=K+yp(0+)，K=y(0+)-yp(0+),得全响应,y(t)=y(0+)-y()e-t/+y()=y(0+)e-t/+y()(1-e-t/)，t 0,对于一阶电路，只要设法求得初
29、始值y(0+)、时常数和微分方程的特解yp(t)，就可直接写出电路的响应y(t)。,若激励为直流，yp(t)=A，有y(t)=y(0+)-Ae-t/+A通常 0（称电路为正电路），当t时，电路稳态，A=y()稳态值。,直流激励时一阶电路的响应为,y(t)=y(0+)-yp(0+)e-t/+yp(t),2、三要素公式说明,（1）适用范围：直流激励下一阶电路中任意处的电流和电压；（2）三要素：y(0+)：响应（电压或电流）的初始值，y()：响应的稳定值：电路的时间常数。（3）三要素法不仅可以求全响应，也可以求零输入响应和零状 态响应分量。（4）若初始时刻为t=t0，则三要素公式为 y(t)=y(t
30、0+)-y()e-(t-t0)/+y()，t t0,3、三要素的计算（归纳）,（1）初始值y(0+),步骤：（1）0-等效电路，计算uC(0-)和iL(0-)（2）换路定律得 uC(0+)=uC(0-)，iL(0+)=iL(0-)（3）画0+等效电路，求其它电压、电流的初始值。,（2）稳态值y(),换路后 t时，电路进入直流稳态，电容开路，电感短路步骤：（1）换路后，电容开路，电感短路，画出稳态等效电阻电路。（2）稳态值y()。,（3）时常数,一阶RC电路，=R0C；一阶RL电路，=L/R0；R0是换路后从动态元件C或L看进去的戴维南等效内阻,4、举例,例1 图 示电路，IS=3A，US=18
31、V，R1=3，R2=6，L=2H，在t 0时电路已处于稳态，当t=0时开关S闭合，求t0时的iL(t)、uL(t)和i(t)。,解（1）求iL(0+)=iL(0-)=US/R1=6A,（2）画0+等效电路。列节点方程,得uL(0+)=6V，i(0+)=uL(0+)/6=1A,（3）画等效电路,uL()=0，i()=0，iL()=18/3+3=9A,（4）计算时常数。,R0=3/6=2,=2/2=1s,=L/R0，,（5）代入三要素公式得。,例2 电路中US=5V，IS=2A，R1=1，R2=R3=4，C=0.5F，在t0时开关S位于“1”，电路已处于稳态。t=0时开关S由“1”闭合到“2”，经
32、过2s后，开关S又由“2”闭合到3”。求t0时的电压uC(t)。,解(1)首先求出uC(0-)。S接于1，电路直流稳态。,分析：不同时间段，处于不同的工作状态，分别使用三要素公式求解,(2)当0t2s时，开关S接于“2”，此时电路处于零输入状态，故稳态值 uC()=0；时常数1=R2C=40.5=2(s)，由换路定律，有 uC(0+)=uC(0-)=4V；代入三要素公式有,uC(t)=4e-t/2(V)，0 t 2s,uC(2-)=4 e-1=1.47(V),(3)当t2s时，开关S闭合至“3”，由换路定律有 uC(2+)=uC(2-)=1.47V,电路的稳态值：uC()=(R2/R3)Is=
33、22=4(V)时常数：2=(R2/R3)C=1s,uC(t)=4-2.53e-(t-2)(V)，t 2s,例3 如图(a)所示电路，R1=6，R2=R4=6，R3=3，在t 0时开关S位于“1”，电路已处于稳态。t=0时开关S由“1”闭合到“2”。求t0时的电流iL(t)和电压u(t)的零输入响应和零状态响应。,解(1)iL(0-)。,iL(0+)=iL(0-)=3A,(2)零状态响应iLzs(t)和uzs(t),零状态响应是初始状态为零，仅由独立源引起的响应；故 iLf(0+)=0，0+等效电路电感相当于开路,uf(0+)=,uf()=,iLf()=uf()/R3=3/3=1(A),R0=(
34、),=L/R0=0.5s,iLzs(t)=1-e-2t(A)uzs(t)=3+3e-2t(V)，t0,(3)零输入响应iLzi(t)和uzi(t)。,零输入响应是令外加激励均为零，仅由初始状态所引起的响应；故 iLzi(0+)=iL(0+)=3A，电压源US短路，画出其0+等效电路，如图所示，,uzi(0+)=-(R2/R4)iLx(0+)=-9(V),uzi()=0，iLzi()=0，时常数同前；,iLzi(t)=3e-2t(A)uzi(t)=-9e-2t(V)，t0,【评注】（1）若求响应为iL(t)或uC(t)时，可直接从全响应的三要素公式中把其零输入响应和零状态响应分离出。iL(t)=
35、iL(0+)e-t/+iL()（1-e-t/其中 iLzi(t)=iL(0+)e-t/iLzs(t)=iL()（1-e-t/）求uC(t)也同样。但任意其他响应未必成立。（2）求u(t)的零输入响应和零状态响应时，也可利用下列方法：先用三要素法求出iL(t)或uC(t)的全响应，之后利用响应与iL(t)或uC(t)的关系求出,u(t)=R3 iL(t)+=R3 iLx(t)+iLf(t)+从而 u zi(t)=R3 iLx(t)+，uzs(t)=R3 iLf(t)+,例4 如图(a)所示电路，在t0时开关S是断开的，电路已处于稳态。t=0时开关S闭合。求t0时的电流i(t)。,解 分析 开关S
36、闭合后电路变为两个一阶电路，先利用三要素法分别求出两个一阶电路的电流i1(t)和i2(t)，然后利用KCL求得i(t)=i1(t)+i2(t)。,t=0-时开关S断开，电路为直流稳，iL(0+)=iL(0-)=12/(2+1)=12/3=4(A)uC(0+)=uC(0-)=1iL(0-)=4(V),C=RCC=21=2sL=L/RL=2/(2/2+1)=1s,画出换路后的0+等效电路,i1(0+)=2A，i2(0+)=1A。,i1()=0，i2()=1.5A,i1(t)=2e-0.5t(A)i2(t)=1.5-0.5e-t(A)，t0i(t)=i1(t)+i2(t)=2e-0.5t+1.5-0
37、.5e-t(A)，t0,例5 t 0时开关S位于b点，电路已处于稳态。t=0时开关S由b切换至a。求t0时电压uC(t)和电流i(t)。,解 电阻电路进行戴维宁等效,uC(0+)=uC(0-)=-5VuC()=10V,C=R0C=10.1=0.1s,回到原电路计算电流i(t)。,2i(t)+uC(t)12=0。,一、阶跃函数,单位阶跃函数用(t)定义：,（1）阶跃函数的应用之一是描述某些情况下的开关动作。即：u(t)=(t)V,若单位直流电源接入的时刻为t0，则可用延迟单位阶跃函数表示,4.6 一阶电路的阶跃响应,（2）阶跃函数另一个重要应用是可以简洁地表示某些信号。,（3）可以用(t)表示任
38、意函数的作用区间。f 3(t)=t(t)-(t 1),二、阶跃响应,1、定义：当激励为单位阶跃函数(t)时，电路的零状态响应称为单位阶跃响应，用g(t)表示。,(t)作用于电路相当于单位直流源(1V或1A)在t=0时接入电路，因此，一阶电路的阶跃响应仍可用三要素法求得。,2.分段直线信号引起的零状态响应,（1）线性叠加性则 a f1(t)+b f2(t)a yf1(t)+byf2(t)（2）时不变性：若f(t)yf(t)，则f(t-t0)yf(t-t0),例 图 示电路，（1）以uC(t)为输出，求电路的阶跃响应g(t)；（2）若激励iS的波形如图(b)，求电路的零状态响应uC(t)。,解（1
39、）用三要素法。uC(0+)=0；激励iS=(t)A,uC()=61=6V=RC=(6+4)0.2=2s故 g(t)=6(1 e-t/2)(t)（2）iS=2(t)-2(t-2)A uC(t)=2 g(t)-2 g(t-2)=12(1 e-t/2)(t)121 e-(t-2)/2(t-2)V,4.7 二阶电路分析,用二阶微分方程描述的电路为二阶电路。本节以RLC串联电路为例讨论二阶电路的零输入响应。1 RLC串联电路的方程 RLC串联电路以 为响应，列电路的方程。,根据KVL，得：由R、L、C元件的VCR，,RLC串联电路的零输入响应 令激励，零输入响应的方程为：令，称衰减常数，称串联电路谐振频
40、率，表示为,特征根为：当R、L、C取不同值时，特征根有4种不同情况，零输入响应也有4种不同情况。下面分别讨论4种不同情况的零输入响应。,，称过阻尼情况。电阻R的值较大，对电能损耗较大，对电流的阻碍作用较大。根为不相等的负实根，分别为：,过阻尼时 和 的波形,，称临界阻尼。这种情况下，电阻R的值比过阻尼时小，因此，对能量的损耗和对电流的阻碍作用较过阻尼情况要小。根为相等的负实根，即：,，称欠阻尼情况.这种情况下，电阻的值较临界阻尼情况更小，对电能的损耗和对电流的阻碍作用也更小。根是一对共轭复根，分别为：,欠阻尼时波形,无阻尼时、的波形,在无阻尼情况下，由于电阻R=0，电路中无能量损耗，电路中的贮
41、能通过两个动态元件的充放电，在两个动态元件之间转换，形成等幅的正弦振荡。,实际电路中，除直流电源外，另一类典型的激励就是正弦电源。下面以一阶电路为例讨论正弦电源激励下电路的完全响应。,例 如图(a)所示电路，t=0时开关闭合。已知电容电压的初始值uC(0+)=U0。激励为uS(t)=USmcos(t+S)V，求t0时的uC(t)。,解 t0时开关闭合，列方程为,uC(t)=uCh(t)+uCp(t)uCh(t)=K e-t/(RC),4.8 正弦激励下一阶电路的响应,uC(t)=uCh(t)+uCp(t)其特解为与激励具有相同频率的余弦函数，即 uCp(t)=UCmcos(t+C)，代入得-R
42、C UCmsin(t+C)+UCmcos(t+C)=USmcos(t+S),为方便，设A1=RCUCm，A2=Ucm，构成直角三角形,则,A1=Asin，A2=Acos故Asinsin(t+C)+Acos cos(t+C)=USmcos(t+S),利用cosxcosy sinxsiny=cos(x+y)，得,Acos(t+C+)=USmcos(t+S)，故有,C+=S,解得,C=S=S arctan(RC),由初始条件确定常数K，即 uC(0+)=K+UCmcos(C)=U0解得 K=U0-UCmcos(C)因此 uC(t)=(U0-UCmcos C)e-t/(RC)+UCmcos(t+C),前一项是暂态响应，后一项为稳态响应，称为正弦稳态响应。由上可见当电路复杂时，求解稳态响应麻烦，下一章介绍一种简便方法相量法。,由于RC0，所以第一项为暂态响应，第二项是正弦函数，为正弦稳态响应。通常认为，经 到 的时间暂态响应近似为零，响应近似等于稳态响应。若，则电路就达到稳态，暂态响应为零。,的暂态响应和稳态响应,全响应,
