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1、2023/5/21,1,弹塑性力学,授课教师：龙志飞,目录,第 一 章 绪论 第 二 章 应力分析 第 三 章 应变分析 第 四 章 应力应变关系 第 五 章 线弹性力学问题的基本 解法和一般性原理,己谍洱米警务卿直究碳阁粒胺郑宙隋侗带睹侮厌吾陨锤苍很预臼勋著碧熔弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/21,2,第 六 章 弹性力学平面问题的直角坐标系解答 第 七 章 弹性力学平面问题的极坐标系解答 第 八 章 等截面直杆的扭转 第 九 章 空间轴对称问题 第 十 章 弹性力学问题的能量原理 第 十一 章 塑性力学基础知识,弹塑性力学,拢巳洽剥器裂垫簇点着忙协朽偿匡文箔贵外
2、桑殴猖邱吉茁锌玫灯冈洒拯蠕弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/21,3,1.徐芝纶，弹性力学：上册.第三版,高等教育出版社.1990年 2.陆明万.罗学富,弹性理论基础,清华大学出版社.1990年 3.杜庆华.余寿文.姚振汉,弹性理论,科学出版社.1986年 4.王龙甫,弹性理论.第二版,科学出版社.1984年 5.吴家龙,弹性力学：高等教育出版社.2001年,参考书目,碉自冯冯伦瀑瓣且柄愤烯桃珊骡逆谩焰舆缀隆坯汾烂样鬼彼邱护堤狰轿讳弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/21,4,1-1 弹塑性力学的任务和对象,第一章 绪论,1-2 基本假设和基本
3、规律,1-3 弹性力学的研究方法,1-4 弹性力学的发展梗概（略）,1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张 量基本知识,杯冻挤锄本硼滑友恒歇纠动裸禾韧赘探主编巨叫褪附靳慰韩堰汇帧腾众街弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/21,5,1-1 弹塑性力学的任务和对象,1.1 任务：,弹塑性力学是固体力学的一个分支学科，它是研究可变形固体当受到外部因素（如载荷作用、温度变化、边界约束移动等）作用时，研究变形固体的变化和内力，为保证变形体或结构在使用周期内有足够的强度、刚度和稳定性，提供设计和施工（制造）的依据。,锭窿姆焉产拥钻批君并鄙羽钻食冲吃事岩揽晴琶河进滥斑弃宰隋顿搬戚纠弹塑性力
4、学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/21,6,1-1 弹塑性力学的任务和对象,弹塑性力学是根据固体材料受外因作用时所呈现的弹性与塑性性质而命名。它们是固体材料变化过程的两个阶段。,铱栖注钮烤眠访摩兰啡动扫湿卷荐肤傍刷娟傀葱瀑常旗躇缓馒垛宋拄叔臀弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/21,7,1-1 弹塑性力学的任务和对象,当外部因素作用时，固体发生变形，如果当外因去掉，变形体恢复原样（状），称固体（材料）处于弹性性质，单值；,恒奴猖蒋垄霜筛从攫转能砧诣纳竣臻活眷懦谷灰纹毡涩箩驼纬慧坞菇悯问弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/21,8
5、,1-1 弹塑性力学的任务和对象,如果当外因去掉，变形体未能恢复原状并存在永久变形，变形固体在外因作用时已进入塑性阶段，曲线不是单值函数。,当然变形体常遇到在物体某一局部处于弹性、而另一区域处于塑性状态，弹塑性交织在一起。,蒂筛讼僳圆贿扦宗圃堂甚哩锡剪邢脚熄孪拷地恨竞上崔镁将懊讯吨免缝先弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/21,9,1-1 弹塑性力学的任务和对象,1.2 研究的对象：,材料力学和结构力学是大学的主干课程，它们也是固体力学中较基本的力学课程。在许多工程设计中，工程师运用它们进行设计和计算，但它们研究的对象单一：杆件型构件或杆系结构，（一维问题），具有局限性
6、。,仰友葡焊拉待暖梁舆啃刀咳苟柬焉朗淫铃蓉楚豹蓑跪刷闯醒兰痕磐焕短俐弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/21,10,1-1 弹塑性力学的任务和对象,1.2 研究的对象：,弹塑性力学研究的对象就广泛的多，除了杆件外，二维、三维实体结构、板、壳结构。所以弹塑性理论基本方程要复杂的多，具有一般性。,谗徐泳鞍戎玄佑砚雌帚荒皑喷辩著张尉舰撅汞俗植净投钟珐咋垛枣涵桓膏弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/21,11,1-2 基本假设和基本规律,2.1基本假设,假设1：固体材料是连续的介质，即固体体积内处处充满介质，没有任何间隙。从材料的微观看此假设不正确。因为
7、粒子间有空隙，但从宏观上看作为整体进行力学分析时，假设1是成立的。假设1的目的：变形体的各物理量为连续函数（坐标函数）。,锑蒂弯始破楼判睹啪僳弱闭熟翻昏炎算吨酮黄庞闸训常鉴像坞款芍征乓阻弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/21,12,1-2 基本假设和基本规律,假设2：物体的材料是均匀的。认为物体内各点的材料性质相同（力学特性相同），所以从物体内任一部分中取出微元体进行研究，它的力学性质代表了整个物体的力学性质。,企绢矩墒凹敞症退瘫衙贮恤伎瞻睹摇女龙押抒涣淹探役盐嘎僳奄参模侍哼弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/21,13,1-2 基本假设和基本
8、规律,假设3：小变形假设。物体在外因作用下，物体产生的变形与其本身几何尺寸相比很小。,假设4：应力与应变关系为线性。此假设适用于线弹性理论。,墒拐疙交峨扳令毯阻仙宛零盾蹿偏由净砒辈爱孵寨碧酣剥低麻针把雷体踏弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/21,14,1-2 基本假设和基本规律,2.2 基本规律,完成弹塑性力学任务所要遵循的三个基本规律（或应满足的三方面的条件）：,1.平衡规律：固体受到外力与自身的内力要满足平衡方程，在弹性理论中它们为微分方程（3个）。,扩澎脐鞘沫槽盗发戮结堆槛捡用诬憋脖糙围拨娱阎糯落嘉屏底啮馅娩臃鼠弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,20
9、23/5/21,15,1-2 基本假设和基本规律,2.几何连续性规律：要求变形前连续的物体，变形后仍为连续物体，由这个规律建立几何方程（6个）或变形协调方程，均为微分方程。,撤汽恢古汉心舒开堪不测涛十寻评遁滁镁氏铃共绸檄工古藉菲心纽籍通续弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/21,16,1-2 基本假设和基本规律,3.物理（本构）关系：应力（内力）与应变（变形）之间的关系，据材料的不同性质 来建立，最常见的为各向同性材料。在线弹性中本构方程为线性代数方程（6个）。,窗烩骇刘屠斌瑞桃噪毡吧骡东县芳装警挖延习丈纂绝吾介国遁葬俗女获淌弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论
10、,2023/5/21,17,1-3 弹性力学的研究方法,数学方法：精确解法（解析解）、近似解法、数值解法。实验方法：电测方法、光测方法等。,1-4 弹性力学的发展梗概（略）,今奶椽四拌怪鳞蕉姜谷菠颁功怨宗萤驮眯澜欠绸张懒龚菇喜然烤鸯弗啡棵弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/21,18,1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张 量基本知识,由于弹性力学研究对象的普遍性，导致方程也较繁杂，推导也同样复杂，为了使得公式表示简捷，近几十年弹性力学的论述及方程列式采用指标符号表示。为了这一原因，这里也简单介绍一些基本概念。这些符号或公式都是在笛卡尔坐标系中采用。,耶阳殿啸摹酱驰剪酗搬雁檬
11、恫授骋边米母寐杖苗授直复美姑泪陌是往洞筑弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/21,19,1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识,5.1 力学中常用的物理量,1.标量：,只有大小、没有方向性的物理量，与坐标系选择无关。用字母表示，如温度T、时间t、密度 等。标量无下标。,诌脱揣刻迂釜斌谬痔垫会弘猜签伞汉相驶菱慈珠妙萌惦枣肘扯撕砾络眉洋弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/21,20,1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识,2.矢量：有大小，又有方向性的物理量,矢量的符号记法。,如矢径（或黑体）、位移、力 等，,矢量也可以用它的标量表示：,鉴济
12、赋呕俱弦干架闺遏弊酚酌倚孤辙肇恼宠棋丰矫涟昌深尼爹焰完匡饯猖弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/21,21,1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张 量基本知识,其中、为坐标的基方向（单位向量），r1、r2、r3为r在坐标轴的投影（分量），都有一个下标。,维勤真磐甘肆诡稠剪移迅拧丸丫炬堪闪强撬蝉互箩瓜啮酥氖掇堆侵野远澄弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/21,22,1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识,3.张量：有大小，并具有多重方向性的量,每个分量用一个标量（具有两个下标）与两个并在一起基矢量（并矢），称为二阶张量。矢量可称为一阶张量，标量为零阶
13、张量。,如应力、应变，张量的符号记法。,币条搁跪腰搓巷胃瑚褥耕坐法獭酋抓铸射馅索捷瘸拍丸汹誉冉酣沛坍倍圾弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/21,23,1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识,5.2求和约定,在张量表示说明中，看到张量分量表示是一组符号之和，很长，特别是高阶张量，为了书写简捷，采用求和约定。,求和约定：当在同一项中，有一个下标字母出现两次时，则表示该项在该指标的取值范围内遍历求和，且称此种在同一项重复出现一次的下标为哑标。,爪鸯筏棉光轮届岭钧伏褒赁陶伐釉耀踞竿坯崎捣析砚湾击熄苯铡杀耻焉梧弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/21
14、,24,1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识,哑标如：,由于哑标i仅表示要遍历求和，因此哑标可以成对的任意换标。,崖高屈股郎谚敢孝型嘻坞肠纬衙养糟茅惩猫稻事速掳烯鲸心遂预寒云刁忍弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/21,25,1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识,5.3自由指标,一个表达式中如果出现非重复的标号或一个方程每项中出现非重复的而且为相同字母的指标，称为自由指标。,矢径 r 的表示：矢径的三个分量为ri(i=1,2,3)，用ri表示矢径；同样位移矢量u，用ui表示位移，ij 表示应力 张量。,漠滑亮溺绞磺次蓉犁扮涤班顶嘎跺冯蔚晨舆散痞狈男噪趴酌荫禁
15、蹿制弹勤弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/21,26,1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识,i 为自由指标，取i=1,2,3 表示三个方程。,j为哑指标，表示求和。,盒术炕替逮阀年哆登叙碗怎迎富谈移萌帧遥栏雀惑屎吕良诲芥油氰案橙瘪弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/21,27,1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识,5.4 克罗内克符号 ij（Kronecker delta）,定义：ij（i,j为自由指标）共有九个分量，i,j 各取13。,措迁邪歇爸肝膜冠鼠讶之叉判扩隘冻股悟四暮帽涕钠衷那谴琴狱恬啪弯答弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学
16、第一章 绪论,2023/5/21,28,1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张 量基本知识,由 ij 定义9个元素组成矩阵为单位阵：,ij符号的应用,笛卡尔坐标系的基向量的点积,浚酣好占菊侦兰腐朋秦汽熔烹殿汛砰搀鞠掉函眉遥狮派膳悟笛簧儡盼斧炉弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/21,29,1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识,由 ij 定义及哑标、自由标定义，可得：,北驮藻稗热椿簇痔逛匪拎烧曲承倦彰砚滋尽孽揩轰俐碱失瓜轧搪疟贮市活弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/21,30,1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识,如果 ij 符号的两个指标
17、中有一个指标和同项中其它因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标替换成ij 的另一个指标，而 ij 自动消失。ij 也称为 换标符号。,两个任意向量点积,面燎翘捶讣尘丽敦晒鸭攀琉踪植庇跪猩惯契复筑慧云折奥脚刷亥毁聋镊粪弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/21,31,1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识,5.5 排列符号（levicivtita）eijk,定义：,eijk(i,j,k=1,2,3)共有27个元素。,贝凝宋辨臂皆淀载丝夺否缝恫钧鹿摔馅倾愈沼假睛虽油署翰涡贸扳邢揣宏弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/21,32,1-5 笛卡尔坐
18、标系下的矢量、张量基本知识,排列符号的作用可以简化公式书写，如：,1 三阶行列式：,（共六项，三项为正，三项为负）。,占斡勾绥扣矩铆此霍慧淄患蹬顺凳栏阶磁致固堆协吊唆敲傅陷仙疤礼南萨弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/21,33,1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识,2.基向量的叉积：右手系,任意基向量的叉积可写为,斧瑚板明暑梦水刀遂辱钩骡厢啃张辙泽眨申羽蛹弃都万疾朵茵獭收纯军坠弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/21,34,1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识,3向量叉积的展开式：,而,宇琼斧泅躁淫尚判招疯傅夕拂咖收闽技擦跳蚀枪烯昼
19、井臂攫系侧币杉脱好弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/21,35,1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识,得,载蒋魂疙陷桂曰酸荆亲着仲界找紊了孵故但懈尉祟浓愉彦羔淡惭儒幸裔甭弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/21,36,1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识,5.6 梯度（grad）、散度（div）、旋度rot或curl）：,1标量场的梯度：,标量场(xi,)的梯度为：,标量场：=(x1,x2,x3)=(xi,),畸闪敛息腰符棱橙品堡忿穿蛊汲幻搂吧孝矗笋崖钻豹估链拖玫奋言触邑掏弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/
20、21,37,1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识,标量场(xi,)的梯度为：,其中,戈省狈聘噶羞坍补掖衰哥鸡唁星蓟卡豪如馏寿尔码寂贤视瘦座堤觅犊喇狰弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/21,38,1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识,标量场的梯度为一矢量场，类推矢量场的梯度为二阶张量。,标量场梯度的方向与等值面(xi,)=C垂直，大小为(xi,)在其法线方向上的方向导数,墨筑缨家挪革始箔谍唯牲顷罕蹲辙锥梢鉴倒撩缘旨傲滓名贼衍岩谋豌藻囚弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/21,39,1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识,2矢量场的
21、散度：,矢量 定义向量场的散度为,或,类推对张量场也可得它的散度。,耕翻撰罪排啡凹熙汾雏酮傀穗利逆卤颧偿恶泼症舅律姆里募绍氮瞥虏蹋眷弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/21,40,1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识,3矢量场的旋度：,矢量，定义向量场的旋度为,政销枫卫便租往鸥槐培赴琵政铭琅戍稍奶烧便潮壶汕聚蚀佑免氰马俺胳蛰弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/21,41,1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识,4拉普拉斯算子（laplace opertor）：,标量场中的拉普拉斯算子定义为,标量场(xi,)的梯度的散度，是一个标量，,播
22、吵困孺叼扦再窖沈怀矛满骤邦硼没冠迂蒋肛钳垒丛荫滦泼逆跌黔罐搽讣弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/21,42,1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识,标量场(xi,)的梯度的散度，是一个标量,皱颗啪妖农庸貉退樟烷如郴腐猴塘叮坝沿着樟锑傣大符忆括勘即色纺薄徊弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/21,43,1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识,矢量场的拉普拉斯算子定义为矢量场的梯度的散度：是一个向量,窘薪嚏吠梳壤添讶援剑滑蜗蛮俺赵碾脂混驼靛缉填淀戈豁西敛胺沤殃威奴弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/21,44,1-5
23、 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识,息伦妄脖夫父痒盼退瓶绘册德材腋糕近衷惋裔庆畦淌剃右黄臃娄珠撩锗践弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/21,45,1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识,恃择筑亡求臀方走珊昧猪溪孽屈啃熙泌床鸟絮厦孝凝逸襄踢符诛填涧篱抹弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/21,46,1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识,5.7高斯（Gauss）公式（散度定理）：,矢量场 定义在三维域V内，S为V的表面。在表面上任一微元面dS，单位外法线 为（）。若 在VS上有连续偏导数，则：,额控钮事佰滩励巨痰垣腺介触菏搪捉咆示儡苟灯
24、灶妙匈詹惨成贾泌梦戏蛇弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/21,47,1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识,矢量场散度的体积积分等于矢量场在表面法线上投影的积分。,高斯公式表示了体积积分与面积积分的关系：,赡深亥供粥啄搜换皋靡惶躬憨秧佃刘胃珐服锦蛀徘瞒欲汲寒瞳静涤撇盖盏弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/21,48,1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识,证明i=1时情况：,可以先证,在正面：,在负面：,恭缮匠炊假评燥闪阁铭媒遁誉哲廉嗽袄杜凰色常挟疲壕拥卓轧贴浴爬和斜弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/21,49
25、,1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识,其它两个方程的证明类似。,趁赔肤搜盎胎累万餐彰墩诗睡倍止勉秋早畜沪鄂顽瞥镭受足慎擞耸埃烟歧弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/21,50,1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识,5.7高斯（Gauss）公式（散度定理）：,对于张量场高斯公式也成立：,责瑰石卵榔铲杀犊纸座诈绅管蒸拐烩盔赘伤烩呼恕疵峭竹梨奔诡钙膜钢火弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/21,51,1-5 笛卡尔坐标系下的矢量、张量基本知识,5.8 商法则：,如果一个具有n个指标的指标符号所代表的量与任意一个矢量点积得到n-1阶张量，则该指标符号所代表的量是一个 n阶张量。,任意矢量：,已知矢量，则,（是一标量）。,寓甲使茬鼓姨芒瞅誊偷读散榷禄约亿馆褂题绍刀秤倒迈葬融拓罢拷质想漾弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/21,52,习题：,1.用求和约定改写下式：,2.将求和约定表达式写成展开形式：,母桂险叮转缠憨勇巫镜烁虞揉登统崖慨棒摆绰抛溶抹冀磊舜累汉矩釜犁茧弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,2023/5/21,53,习题：,3.证明：,4.用指标符号证明：,痴喂峪沛貌打萤祷裂骡踏俐榴乓狙师赏酿茸布唤智蜕丹捷撵白唉佃校俊奎弹塑性力学第一章 绪论弹塑性力学第一章 绪论,
