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1、第三章 三角形,三角形的定义,由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。,记为:ABC,三角形有三条边、三个内角和三个顶点。“三角形”可以用符号“”表示。,三角形三边关系,1、三角形两条边分别是2cm，7cm，则第三边c的范围为。,2、等腰三角形的一边长为6cm，另一边长为12cm，则其周长（）A、24cm B、30cm C、24cM或30cm D、18cm,3、用7根火柴首尾顺次连结摆成一个三角形，能摆成不同的三角形的个数为。,5c9,B,2,（3，3，1；2，2，3）,x,3x,5x,1、如图，求ABC各内角的度数。,2、已知三角形三个内角的度数比为1：3：5，求这三个
2、内角的度数。,解：3x+2x+x=1806x=180 X=30三角形各内角的度数分别为：30，60，90,解：设三个内角分别为x，3x，5x 则x+3x+5x=180 x=20三角形三个内角分别为：20，60，100,2x,3x,x,1、在ABC中，已知A=30，B=70，则C的度数是。2、在RtABC中，一个锐角为30，则另一个锐角为 度。3、按三角形内角的大小可以把三角形分为：三角形、三角形、三角形。4、已知一个三角形的三条边长为2、7、x，则x 的取值范围是。5、等腰三角形一边的长是4，另一边的长是8，则它的周长是。,学习考查,6、已知三角形的两边长分别是2cm和5cm,第三边长是奇数，
3、则第三边的长是。7、如图，CD是RtABC斜边上的高，与A相等的角是，理由是。8、如图，AD是ABC的中线，ABC的面积为100cm2，则ABD的面积是 cm2。,10、如图，在ABC中，CE，BF是两条高，若A=70，BCE=30，则EBF的度数是，FBC的度数是。,11、如图，在ABC中，两条角平分线BD和CE相交于点O，若BOC=116，那么A的度数是。,11、若三角形的三个内角的度数之比为126，则这三个内角的度数分别是。,三角形全等的条件,1、两个能够重合的三角形称为全等三角形。2.全等符号:,SSS(三边)SAS（两边夹角）ASA（两角夹边）AAS(两角及其一角对边),2、两个三角
4、形全等的条件:,方法指引,证明两个三角形全等的基本思路：,（1）：已知两边-,找第三边,(SSS),找夹角,（SAS),(2):已知一边一角-,已知一边和它的邻角,已知一边和它的对角,找这边的另一个邻角(ASA),找这个角的另一个边(SAS),找这边的对角(AAS),找一角(AAS),(3):已知两角-,找两角的夹边(ASA),找夹边外的任意边(AAS),1、如图AB=CD，AC=BD，则ABCDCB吗？说明理由。,解：ABCDCB,三角形的全等,1、已知：如图 ABC=DCB,AB=DC，求证:(1)AC=BD;(2)SAOB=SDOC,变式训练,2、如图,已知ABC=DCB,要使ABCDC
5、B，只需添加一个条件是 _。(只需添加一个你认为适合的条件),AB=DC,A=D,1=2,1,2,隐含条件：BC=CB,SAS,AAS,ASA,已知：BDEF，BCEF，现要证明ABCDEF，若要以“SAS”为依据，还缺条件_；,若要以“ASA”为依据，还缺条件_ _；若要以“AAS”为依据，还缺条件_，并说明理由,AB=DE,ACB=F,A=D,已知条件:BDEF，BCEF,在ABC与ADC中 12(已知)BD(已知)AC=AC(公共边)ABCADC(AAS),2、如图，已知ABAC，BDCE。求证：ABEACD。,在ABE与ACD中 ABAC(已知)AD=AE(已证)A=A(公共角)ABE
6、ACD(SAS),证明:ABAC，BDCE(已知)AD=AE(等式性质),解：ABC和ADE全等。12（已知）1DAC2DAC即BACDAE 在ABC和ADC 中,A,B,C,D,E,1,2,3.如图，已知CE，12，ABAD，ABC和ADE全等吗？为什么？,ABCADE,（AAS）,变式、如图6，已知，是ABC内部任意一点，将绕顺时针旋转至，使，连接，求证：。,解：（已知）（等式性质）在和ACP中（已知）（已证）（已知）ACP（SAS）（全等三角形对应边相等）,图6,B,C,D,E,A,4、如图：已知ABAC，BC，ABD与ACE全等吗？为什么？,ABDACE（ASA）,B,C,D,E,A,
7、如图，已知ABAC，ADAE。B与C是否相等？,解：在ABD和ACE中,ABDACE（SAS）BC（全等三角形对应角相等）,如图线段AB是一个池塘的长,现在想测量这个池塘的长度，在水上测量不方便，你有什么好的方法较方便地把池塘的长度测量出来吗？想想看。,B,A,小莉的设计方案：先在池塘旁取一个能直接到达A和B处的点C，连结AC并延长至D点，使AC=DC，连结BC并延长至E点，使BC=EC，连结CD，用米尺测出DE的长，这个长度就等于A，B两点的距离。请你说明理由。,AC=DC ACB=DCE BC=EC,ACBDCE(SAS),AB=DE,E,C,B,A,D,解：,B,C,D,E,A,公共角:
8、如图，已知ABAC，ADAE。求证：BC,证明：在ABD和ACE中,ABDACE（SAS）BC（全等三角形对应角相等）,ACFD吗？为什么？,等式基本性质:如图，BE，ABEF，BDEC，那么ABC与FED全等吗？为什么？,F,E,D,C,B,A,4,3,2,1,公共边,对顶角,1.如图，已知AC=BD，AD=BC，则ABC和BAD全等吗？说明理由。,2.如图，已知O是AB的中点，A=B，则AOC和BOD全等吗？为什么？,化归思想,如图，AOC与BOD是有一组对顶角的三角形，其形状像数字“8”，我们不难发现有一重要结论：A+C=B+D.这一图形也是常见的基本图形模型，我们称它为“8字型”图.,
9、方程思想,例6 如图，ABC中，BD平分ABC,1=2,3=C,求1的度数.,解：设1=x,根据题意可得2=x.因为3=1+2，4=2，所以3=2x,4=x，又因为3=C，所以C=2x.在ABC中，x+2x+2x=180,解得x=36,所以1=36.,方程思想,解：设1=x,根据题意可得2=x.因为3=1+2，4=2，所以3=2x,4=x，又因为3=C，所以C=2x.在ABC中，x+2x+2x=180,解得x=36,所以1=36.,专题学习,-几何证明中常见的“添辅助线”方法,一.连结,目的:构造全等三角形或等腰三角形,适用情况:图中已经存在两个点X和Y,语言描述:连结XY,注意点:双添-在图
10、形上添虚线 在证明过程中描述添法,1.如图,AB=AD,BC=DC,求证:B=D.,连接AC,构造全等三角形,连线 构造全等,连线 构造全等,2.如图,AB与CD交于O,且AB=CD,AD=BC，OB=5cm,求OD的长.,连接BD,构造全等三角形,A,C,B,D,O,1.已知，如图AD是ABC的中线，,延长AD到点E，使DE=AD，连结CE.,思考：若AB=3,AC=5求AD的取值范围？,倍长中线,二、倍长中线法,证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE AD为ABC的中线（已知）BD=CD（中线定义）在ACD和EBD中 BD=CD（已证）1=2（对顶角相等）AD=ED（辅助线作法）
11、ACDEBD（SAS）BE=CA（全等三角形对应边相等）在ABE中有：AB+BEAE（三角形两边之 和大于第三边）AB+AC2AD。（常延长中线加倍，构造全等三角形）,2.练习；如图1，AD是ABC的中线，AB=3,AC=5，求中线AD的取值范围。,例、如图，AD为ABC的中线，ADB、ADC的平分线交AB、AC于E、F。求证：BE+CFEF 分析：本题中已知D为BC的中点，要证BE、CF、EF间的不等关系，可利用点D将BE旋转，使这三条线段在同一个三角形内。,3、截长补短法,2.如图所示，已知ADBC，1=2，3=4，直线DC经过点E交AD于点D，交BC于点C。求证：AD+BC=AB,E,F
12、,在AB上取点F使得AF=AD,连接EF,截长补短,目的:构造直角三角形,得到距离相等,适用情况:图中已经存在一个点X和一条线MN,语言描述:过点X作XYMN,注意点:双添-在图形上添虚线 在证明过程中描述添法,4.角平分线上点向两边作垂线段,1.如图,ABC中,C=90o,BC=10,BD=6,AD平分BAC,求点D到AB的距离.,过点D作DEAB于点E,E,角平分线上的点向角两边做垂线段,3、角平分线上点向两边作垂线段,典例:如图,梯形中,A=D=90o,BE、CE均是角平分线,求证:BC=AB+CD.,A,C,D,过点E作EFBC,构造了:全等的直角三角形且距离相等,B,F,思考:你从本题中还能得到哪些结论?,E,线段与角求相等，先找全等试试看。图中有角平分线，可向两边作垂线。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段计算和与差，巧用截长补短法。三角形里有中线，延长中线=中线。想作图形辅助线，切莫忘记要双添。,小结,感悟与反思：,、平行角相等；、对顶角角相等；、公共角角相等；、角平分线角相等；、垂直角相等；、中点边相等；、公共边边相等；、旋转角相等，边相等。,三角形,课堂小结,
