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1、1.4 无穷级数,1.4.1 数项级数,1.4.2 幂级数,讨论敛散性,求收敛范围，将函数展开为幂级数，求和。,1.4.3 傅立叶级数,求函数的傅立叶级数展开，讨论和函数的性质。,1.4.1数项级数,给定一个数列,将各项依,即,称上式为无穷级数，,其中第 n 项,叫做级数的一般项,级数的前 n 项和,称为级数的部分和.,次相加,简记为,收敛,则称无穷级数,并称 S 为级数的和。,1.数项级数定义,2.基本性质,性质1.若级数,收敛于 S,则各项,乘以常数 c 所得级数,也收敛,即,其和为 c S.,性质2.设有两个收敛级数,则级数,也收敛,其和为,说明:,(2)若两级数中一个收敛一个发散,则,
2、必发散.,但若二级数都发散,不一定发散.,(1)性质2 表明收敛级数可逐项相加或减.,(用反证法可证),性质3.,在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数,的敛散性.,性质4.,收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级,的和.,推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.,注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,性质5：设收敛级数,则必有,可见:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.,等比级数,(又称几何级数),(q 称为公比).,级数收敛,级数发散.,其和为,3.几个重要级数的收敛性,调和级数发散,(常数 p 0),p-级数,*例1.判断级数的敛散性:,解:该级数是下列两级数之差,故原级
3、数收敛.,(比较审敛法),设,且存在,对一切,有,(1)若强级数,则弱级数,(2)若弱级数,则强级数,则有,收敛,也收敛;,发散,也发散.,是两个正项级数,(常数 k 0),4.审敛法,正项级数：,(比较审敛法的极限形式),则有,两个级数同时收敛或发散;,(2)当 l=0,(3)当 l=,设两正项级数,满足,(1)当 0 l 时,的敛散性.,例3.判别级数,解:,根据比较审敛法的极限形式知,比值审敛法(Dalembert 判别法),设,为正项级数,且,则,(1)当,(2)当,时,级数收敛;,或,时,级数发散.,.根值审敛法(Cauchy判别法),设,为正项,级数,且,则,因此级数,收敛.,解:
4、,交错级数,则各项符号正负相间的级数,称为交错级数.,(Leibnitz 判别法),若交错级数满足条件:,则级数,收敛。,绝对收敛与条件收敛,定义:对任意项级数,若,若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级,收敛,数,绝对收敛；,则称原级,数,条件收敛.,绝对收敛的级数一定收敛.,例5.证明下列级数绝对收敛:,证:,而,收敛,收敛,因此,绝对收敛.,判断数项级数敛散的方法,1、利用已知结论：等比级数、P-级数及级数性质,2、利用必要条件：主要判别发散,3、求部分和数列的极限,4、正项级数的审敛法,1）比值审敛法（根值审敛法）,2）比较审敛法（或极限形式）,5、交错级数审敛法：莱布尼兹定
5、理,6、一般级数审敛法：先判断是否绝对收敛，如果绝对收敛则一定收敛；否则判断是否条件收敛,收敛,发散,1.Abel定理,若幂级数,则对满足不等式,的一切 x 幂级数都绝对收敛.,反之,若当,的一切 x,该幂级数也发散.,时该幂级数发散,则对满足不等式,1.4.2 幂级数,*例6.已知幂级数,在,处收敛，则该级数,在,处是收敛还是发散？若收敛，是条件收敛,还是绝对收敛？,解：,由Abel定理，该幂级数在,处绝对收敛，,故在,绝对收敛。,例7.已知,处条件收敛,问该级数收敛,半径是多少?,答:,根据Abel 定理可知,级数在,收敛,时发散.,故收敛半径为,若,的系数满足,1)当 0 时,2)当 0
6、 时,3)当 时,则,的收敛半径为,2.求收敛半径,对端点 x=1,的收敛半径及收敛域.,解:,对端点 x=1,级数为交错级数,收敛;,级数为,发散.,故收敛域为,例8.求幂级数,3.求函数的幂级数展开式,1、对函数作恒等变形（如果需要的话）,2、利用已知结论，用变量代换或求导积分得所求函数的幂级数,3、写出收敛范围(P34例1-37),1.求傅立叶级数展开式,2.求某个傅立叶系数,3.求和函数在某些点的值,1.4.3 傅立叶级数的有关问题,例9.,设 f(x)是周期为 2 的周期函数,它在,上的表达式为,(3)将 f(x)展成傅里叶级数.,解:,(3)先求傅里叶系数,1.5 微分方程,1.5
7、.1 微分方程的基本概念,1.5.2 解微分方程,1.5.3 微分方程应用,1.5.1 微分方程的基本概念,一阶微分方程,二阶微分方程,1.判定微分方程的阶,2.判定函数是否微分方程的解，通解或特解,例1.验证函数,是微分方程,的解.,解:,是方程的解.,1.5.2 解微分方程,1.一阶微分方程,可分离变量，一阶线性,2.高阶微分方程,二阶线性常系数齐次，二阶线性常系数非齐次只要求写出特解形式。,*例2.求微分方程,的通解.,解:分离变量得,两边积分,得,即,(C 为任意常数),因此可能增、,减解.,解,*例3.,利用一阶线性方程的通解公式得：,例4.曲线族,所满足的一阶微分方程是_.,解:对
8、,两边求导，得,即为所求一阶微分方程,特征方程:,实根,二阶线性常系数齐次微分方程求解,例5.,的通解.,解:特征方程,特征根:,因此原方程的通解为,例6.求解初值问题,解:特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,*例7.,的通解.,解:特征方程,特征根:,因此原方程通解为,例8.,解：因,是一个特解，所以,是特征,方程的重根，故特征方程为：,所对应微分方程为,(2)若 是特征方程的单根,特解形式为,(3)若 是特征方程的重根,特解形式为,(1)若 不是特征方程的根,特解形式为,的特解形式.,解:本题,而特征方程为,不是特征方程的根.,特解形式为,例9.,
9、例10.,的特解形式.,解:本题,而特征方程为,其根为,特解形式为,1.5.3 微分方程应用,1.利用导数几何意义列方程,2.利用导数物理意义列方程,3.利用牛顿第二定律,求所满足的微分方程.,*例11.已知曲线上点 P(x,y)处的法线与 x 轴交点为 Q,解:如图所示,令 Y=0,得 Q 点的横坐标,即,点 P(x,y)处的法线方程为,且线段 PQ 被 y 轴平分,例12.,成正比,求,解:根据牛顿第二定律列方程,初始条件为,对方程分离变量,然后积分:,得,利用初始条件,得,代入上式后化简,得特解,并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度,降落伞下落速度与时间的函数关系.,t 足够大时,
