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1、积分变换,1 傅里叶（Fourier）积分变换 2 拉普拉斯(Laplace)积分变换,主要内容,注：积分变换的学习中，规定：,1 傅里叶（Fourier）积分变换,傅里叶变换又简称为傅氏变换,内容：傅氏变换概念,卷积与相关函数,傅氏变换性质,一、傅氏变换,1傅氏积分定理,若f(t)在(-,+)上满足下列条件：（1）f(t)在任一有限区间上满足条件：f(t)至多有有限个第一类间断点和极值点；（2）f(t)在无限区间(-,+)上绝对可积（即积分,收敛），则有,（1）,成立，而左端的f(t)在它的间断点t处，应以,来代替。,2傅氏变换的概念,若函数f(t)满足傅氏积分定理中的条件，则在f(t)的连
2、续点处，式（1）,成立。,设,则,（2）,（3）,从上面两式可以看出，f(t)和F()通过指定的积分运算可以相互表达。将（2）式叫做的傅氏变换式，记为,F()叫做f(t)的象函数，（3）式叫做F()的傅氏逆变换式，记为,f(t)叫做F()的象原函数。,（2）式右端的积分运算，叫做取f(t)的傅氏变换；（3）式右端的积分运算，叫做取F()的傅氏逆 变换。象函数F()和象原函数f(t)构成一个 傅氏变换对。,F,F-1,3例子,例1 求指数衰减函数函数,的傅氏变换及其积分表达式，其中0。,解：根据（2）式，傅氏变换为,F,通过傅氏逆变换，可求得指数衰减函数的积分表达式。由（3）式，并利用奇偶数的积
3、分性质，可得,由傅氏积分定理，可得到一个含参量广义积分的结果：,4单位脉冲函数（狄拉克-Dirac函数）,设,定义单位脉冲函数为,单位脉冲函数的一些性质：,若f(t)为无穷可微的函数，则,a.,b.,证明 记,更一般地有,单位脉冲函数的傅氏变换,c.,证明,F,F,例3 证明单位阶跃函数,变换为,的傅氏,解：只需证明 的傅氏逆变换为u(t)。,F-1,由于,故,这表明 的傅氏逆变换为u(t)。u(t),和 构成了一个傅氏变换对。同时得到单位阶跃函数u(t)的一个积分表达式,所以1和 构成了一个傅氏变换对;和 也构成了一个傅氏变换对。,类似的方法可得,F-1,F-1,例4 求正弦函数 的傅氏变换
4、。,解：,F,我们可以看出引入-函数后，一些在普通意义下不存在的积分，有了确定的数值。工程技术上许多重要函数的傅氏变换都可以利用-函数及其傅氏变换很方便地表示出来，并且使许多变换的推导大大地简化。,5非周期函数的频谱,傅氏变换和频谱概念有着非常密切的关系，这里只简单地介绍一下非周期函数频谱的基本概念。在频谱分析中，当非周期函数f(t)满足傅氏积分定理中的条件时，将f(t)的傅氏变换F()称为f(t)的频谱函数，而频谱函数的模|F()|称为f(t)的振幅频谱（亦简称为频谱）。对一个时间函数作傅氏变换，就可求出这个时间函数的频谱。由于F()是随连续变化的，因而称|F()|为连续频谱。,例5 作出图
5、1-8中所示的单个矩形脉冲的频谱图。,图1-8,解 根据定义，单个矩形脉冲的频谱函数为,振幅频谱,部分的频谱图如图1-9所示。,图1-9,振幅频谱|F()|的一个性质：振幅频谱|F()|是频率的偶函数，即,事实上，,所以,显然有,记,称 为f(t)的相角频谱。,可看出，相角频谱 是的奇函数，即,例6 求指数衰减函数,的频谱。,解 根据例1的结果，,所以指数衰减函数的频谱,例7 作单位脉冲函数 及其频谱图。,解 由于,所以单位脉冲函数的频谱,及其频谱图表示在图1-11中。,图1-11,同样，当 时，。,而f(t)的振幅频谱为,在物理学和工程技术中，将会出现很多非周期函数，它们的频谱求法，可通过查
6、用傅氏变换（或频谱）表来求得。,6.傅氏变换的性质,本节将介绍傅氏变换的几个重要性质，我们假定在这些性质中，求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件，并设 是常数。,F,F,a.线性性质,（1）,F,证明：只需根据定义就可推出。傅氏逆变换也具有类似的线性性质,这个性质表明了函数线性组合的傅氏变换等于各函数傅氏变换的线性组合。,（2）,b.位移性质,F,F,（3）,这表明时间函数f(t)沿t轴向左向右位移t0的傅氏变换等于f(t)的傅氐变换乘以因子 或。,证 由傅氏变换的定义，可知,F,F,（令）,同样，傅氏逆变换具有类似的位移性质，即,（4）,这表明频谱函数 沿 轴向左向右位移 的傅氏变换等
7、于f(t)的傅氐变换乘以因子 或。,例1 求矩形单脉冲,的频谱函数。,解1 根据傅氏变换的定义，有,解2 前面介绍的矩形单脉冲,的频谱函数为,因为f(t)可以由f1(t)在时间轴上向右平移 得到，利用位移性质有,F,=F,且,c.微分性质,若f(t)在(-,+)上连续或只有有限个可去间断点，且当,则,证 由傅氏变换的定义，并利用分部积分可得,这表明一个函数导数的傅氏变换等于这个函数的傅氏变换乘以因子。,F,F,F,F,若 在(-,+)上连续或只有有限个可去间断点，且,推论：,则有,（6）,同样，可得象函数的导数公式。设,，则,=-j,一般地，有,（7）,F,F,F,F,F,d.积分性质,如果当
8、 时，,，则,（8）,证 因为,所以,根据微分性质：,故（8）式成立。这表明：一个函数积分后,的傅氏变换等于这个函数的傅氏变换除以因子。,F,F,F,F,F,F,例2 求微分积分方程,的解，其中 均为常数。,解 记,在方程式两边取傅氏变换，并利用傅氏变换的微分性质和积分性质可得,F,F,求上式的傅氏逆变换，可得,这就是此微分积分方程的解。,运用傅氏变换的线性性质、微分性质以及积分性质，可以把线性常系数微分方程转化为代数方程，通过解代数方程与求傅氏逆变换，就可以得到此微分方程的解。傅氏变换还是求解数学物理方程的重要方法之一，其计算过程与解常微分方程大体相似。,e.乘积定理,若,则,（9）,其中
9、均为t的实函数，而分别为 的共轭函数。,F,F,证,因为，而 是时间t的实函数，所以,故,同理可得,f.能量积分,若,，则有,（10）,此式又称为帕塞瓦尔（Parseval）等式。,证 在（9）式中，令,，则,7.卷积与相关函数,上面我们介绍了傅氏变换的一些重要性质，下面我们将介绍傅氏变换的另一类重要性质，它们都是分析线性系统的极为有用的工具。,（1）卷积的概念,若已知函数,，则积分,称为函数与的卷积，记为,*,，即,显然，,(1),*,*,=,即卷积满足交换律。,由积分性质可知，不等式,成立，即函数卷积的绝对值小于等于函数绝对值的卷积。,证 根据卷积的定义,例1 证明,即卷积也满足对加法的分
10、配律。,例2 若,求,与,的卷积。,解 按卷积的定义，有,我们可以用图1-14(a)和(b)来表示,和,的图形，,图1-14,而乘积,的区间从图中可以看出，,在,时，为,，所以,可自己演算一下,，亦得到上述的结果。,为确定,的区间，还可以用解不等式,组的方法加以解决。仍以本例来说，要,即要求,即,成立。可见，当,时，,的区间为,，故,卷积在傅氏分析的应用中有着十分重要的作用，这是由卷积定理所决定的。,（2）卷积定理,假定,都满足傅氏积分,定理中的条件，且,，,则,（2）,F,F,F,F,证 按傅氏变换的定义，有,F,这个性质表明，两个函数卷积的傅氏变换等于这两个函数傅氏变换的乘积。,同理可得：
11、,（3）,即两个函数乘积的傅氏变换等于这两个函数傅氏变换的卷积除以,。,F,则有,卷积定理表明卷积运算可以化为乘积运算。这使得卷积在线性系统分析中成为特别有用的方法。,不难推证，若,满足傅氏积分定理中,的条件，且,F,F,例4 利用傅氏变换的性质，求,以及,的傅氏变换。,解 由,和位移性质可得,又因为,，按象函数的位移性质可知,这与前面得到的结果是完全一致的。,F,F,F,F,F,所以,即,由,，按象函数的微分性质,可知,F,F,F,F,F,F,例5 若,，求,解 由卷积定理,而,所以,F,F,F,F,F,F,F,根据卷积定理,F,F,F,F,F,F,F,因此,F,F,F,F,F,F,例6 若,证明,证：由积分性质知，当,满足傅氏积分定理的条件时，有,F,F,F,所以可将,表示成,和,的卷积，即,利用卷积定理,当,为一般情况时，由于,F,F,F,F,特别地，当,时，,由此可见，当,时，就有,从而得到傅氏变换的积分性质。,
