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1、三近自由电子模型,http:/,无限大真空中自由电子k可取连续值,周期性边界条件,自由电子气k取分离值,索末菲模型自由电子费米气,泡利不相容费米分布S方程,周期势场微扰,近自由电 子模型,晶体中电子与自由电子的区别在于周期边界条件和周期势场。,http:/,如果假设晶体中有一个很弱的周期势场，则电子的运动情况应当与自由电子比较接近，但同时也必然能体现出周期势场中电子状态的新特点，这样的电子就叫近自由电子。,http:/,近自由电子哈密顿算符可写成:,其中,是自由电子的哈密顿算符；,后用,http:/,或,两边取共轭,周期场是实的 V(x)V（x）,VGnVGn VnVn,后用,http:/,1
2、.定态非简并微扰 由量子力学定态非简并微扰理论可知，定态薛定谔方程(k,r)E(k)(k,r)的解是 E(k)E(0)(k)E(1)(k)E(2)(k)(k,r)(0)(k,r)+(1)(k,r)零级近似解，就是自由电子的解：(0)(k,r),http:/,由量子力学理论可知，一级修正和二级修正分别为 E(1)(k)Hkk(k,r)V(r)(0)(k,r)dr=0,http:/,由平面波的正交归一性,其中微扰矩阵元 Hkk（0(k,r)V(r)(0)(k，r)dr,后用,http:/,交换求和次序,http:/,E(k)E(0)(k)+E(2)(k),http:/,其中,(k,r)(0)(k,
3、r)+(1)(k,r),http:/,讨论：,晶体中的波函数(k,r)由两部分组成：一部分是原来波矢为k的平面波，另一部分是波矢为kGh的散射波的叠加。周期势场V(r)较弱时，它的展开系数VGh也较小，当k2与|k Gh|2 相差较大时，散射波较弱。,http:/,使E(2)(k)（不收敛）的条件：E(0)(k)E(0)(k，)k=kGh,当E(0)(k)E(0)(k，)，能量相等，是否以上计算无效？,kkGh的态未进入E、的表示式，这样的k态和k态之间无耦合。,http:/,先计算，只有当 0时，二态之间才有耦合，在所有有耦合的态中，再考虑有无简并而分别处理。若有简并按下面的简并微扰处理。,
4、思路：,http:/,2定态简并微扰,k-k=n+n=Gh且 E(0)(k)E(0)(k),布里渊区边界的二态简并。,由上式看到，当满足 E(0)(k)E(0)(k，)k=k+Gh时修正项很大，应该用定态简并微扰理论。,例如：当kn,k n,由量子力学简并微扰理论,(0)（k,r）A（0）（k,r）B（0）（k,r）,考虑一维情况，注意到（0）（0）（k,x）E（0）(k)（0）（k,x）,代入,http:/,得 A E(0)(k)-E(k)+V(x)eikx+BE(0)(k)-E(k)+V(x)eikx=0,等式两边乘eikx，并对整个晶体积分，并注意到E(0)(k)，E(k)不是x的函数，
5、并利用,（0(k,r)V(r)(0)(k,r)dr=V(x)=0,类似，等式两边乘eikx，并对整个晶体积分得到-VnA+E(k)-E(0)(k)B=0(B),得到 E(k)-E(0)(k)A-BVn=0(A),已知,A和B同时具有非零解的条件是,E(k)-E(0)(k)-Vn=0-Vn E(k)-E(0)(k)可解得,能量差为2|Vn|,则原来能量相等的两个态的能量不再相等，简并消除，出现禁带，所以说，,禁带的出现是周期场作用的结果。,http:/,3能隙产生的物理解释,若利用E（k）的表示式可确定A，B，即可得到波函数的表示式。,将,以一维晶体为例，第一B.Z的边界 k=(/a)，k-(/
6、a)是两个简并态,有,代入A式 E(k)-E(0)(k)A-BVn=0(A)得到,|V1|A V1B=0 得 V1/|V1|,V1A|V1|B0 得|V1|/V-1,-VnA+E(k)-E(0)(k)B=0(B),类似，代入B式，,并注意到 Vn=V-n,得,又V(x)是周期函数，在各向同性的晶体中，选取合适的坐标系，可使,Vn Vn*,V(x)V(-x),而前面已得 Vn*Vn Vn Vn,（A/B）1 由式,因而（/a,x）有两个解，对应二个带：,90,电子云驻波分布,+(0)2 4L1A2Cos2(x/a)-(0)2 4L1A2Sin2(x/a),http:/,由图可知，(/a,x)的势能 比(/a,x)的势能高。这就是在B.Z.边界上能量产生不连续跳跃的原因。,势能之差能隙2Vn,http:/,4近自由电子的状态密度,http:/,自由电子的态密度函数D（E）为,对晶体中的电子,http:/,以二维正方晶格为例，当波矢k到达布里渊区边界时，出现禁带，宽度为2Vn，当波矢远离布里渊区边界时，电子能量基本仍为自由电子的表示式，从远离到接近布里渊区边界的过程中，修正项逐渐增大，但其变化应是连续的。,http:/,
