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a的中心化子做成pnn的交换子环的充要条件a的中心化子是一个整数，通常用Mk表示。将a的中心化子做成PNXN的交换子环的充要条件是：1 .a0必须是最大的整数；2 .交换子环中的所有元素都是舒1的倍数；3 .交换子环中的所有元素的模的最大值等于1,小于2,小于最大的整数的平方根；4 .交换子环中的所有元素的模的最小值等于1,小于2,小于最大的整数的平方根。证明：假设MO不是最大的整数，则交换子环中可能存在非交换元素，即Q0+1,这样就不满足第2条和第3条要求。假设交换子环中存在非交换元素，则根据第1条和第4条要求可以知道，这个元素必须是ak的倍数。例如，若琬等于一个4,5,7等和模组4所得余数最小时得到的结果，那么交换子环中的元素必须满足：(Lqa),(2,Qhi),(3,QA-2),及其推导后剩下没用过的7个倍数相乘是63mod2之值乘模2大于0(要确保符合4、3),其对应所有余数乘2再求余取最大就是(L办)。因此，交换子环中的所有元素都是Mk的倍数，也满足了第3条要求。此外，对应符合模4不为1或-1或0这三种情况的结果对应满足1或0模小于(k-1)2或(k-2)2这两种情况，从而也满足了第4条要求。
