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1、定态与守恒量的性质及例题选讲,定态的性质：在定态下，一切力学量（不显含t）的取值概率分布和平均值都不随时间改变。,设体系的定态波函数为，其中 是常数。,将 按任意力学量算符 的本征函数 展开：,又,于是有,得到,定态：体系的一种特殊的状态能量的本征态。,（1）在定态下，一切力学量（不显含时间t）的取值概率分布不随时间改变。,预备知识：设厄密算符 的本征值方程为，对任意的算符，可以证明下式成立,解:对任意的算符，有,解：设哈密顿量为，它的任意一个束缚定态为，相应的本征值为，即,定态就是能量取确定值的状态。由定态薛定谔方程可知，哈密顿（能量）算符的本征态就是能量取确定值的状态，所以哈密顿算符的本征
2、态就是定态。,对不显含时间力学量，有,（2）在定态下，一切力学量（不显含时间t）的平均值不随时间改变。,（3）在定态下，粒子坐标的概率密度和概率流密度不随时间改变。,证明：（略）,位力（Virial）定理的三种证明,若哈密顿算符为,对于定态而言，则有,证明方法之一：坐标的标度变换,（1）,（2）,因为,改变现行的长度单位，能量的单位不变：,由HF定理,于是有,标度变换后的哈密顿算符,其中,将（1）式代入上式，得到,证明方法之二：定态的性质,因为,即在定态下，一切力学量（不显含t）的平均值不随时间改变。,对于定态,于是有,因此,证明方法之三：表象变换,将视为参数,I.在坐标表象,由H-F定理,I
3、I.在动量表象,由H-F定理,守恒量：体系的一种特殊的力学量，与哈密顿量对易。,守恒量的性质：在一切状态下守恒量的平均值和取值概率分布都不随时间改变。,考虑,任意一个状态 按 和 共同本征函数展开：,将上式两端对时间求微商有,即,于是有,故,强调：量子力学中的守恒量的概念，与经典力学中守恒量的概念不尽相同，这实质上是测不准关系的反映。,（a）量子力学中的守恒量不一定取确定值，即体系的状态不一定是某个守恒量的本征态。若初始时刻体系处于守恒量F的本征态，则体系将保持在该本征态。守恒量的量子数：好量子数。若初始时刻体系不处于守恒量F的本征态，则以后的状态也不是F的本征态，但是F的测量值的几率分布不随
4、时间改变。,（b）量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。,（c）守恒量与定态：定态：是体系的一种特殊的状态，即能量本征态。在定态下，一切力学量（不显含t，但不管是否为守恒量）的平均值和测值概率不随时间改变。守恒量：是体系的一种特殊的力学量，它写体系的Hamilton量对易。守恒量在一切状态下（不管是否为定态）的平均值和测值概率分布不随时间改变。可见：只有当一个量子体系不处于定态，而所研究的力学量又不是体系的守恒量时，才需要研究该力学量的平均值和概率分布如何随时间改变。,注意：守恒量是对体系的任意一个运动状态而言，并且是指这个力学量在体系的任一运动状态下的平均值不随时间变化，但并没有要求
5、这个力学量有确定值。,例1.若、为守恒量，它们的对易子 也是守恒量吗？,例2.若体系哈密顿算符为，力学量算符 为守恒量，不显含时间，力学量算符 为非守恒量，也不显含时间。问：,（2）在任意态下，的测量几率是否随时间变化？试证明之。,（1）在定态下，是否一定取确定值，是否一定取确定值，为什么？,（2）在任意态下，的测量几率不随时间变化，论证如下：,考虑,任意一个状态 按 和 共同本征函数展开：,将上式两端对时间求微商有,即,于是有,故,例3.质量为 m 的粒子，在阱宽为,的非对称一维无限深方势阱中运动，当,时，粒子处于状态,其中，,为粒子的第 n 个能量本征态。,（1）求 t=0 时能量的取值概率及平均值；,（2）求 t 0 任意时刻的波函数；,（3）求 t 0 时能量的取值概率及平均值。,解：非对称一维无限深方势阱中粒子的本征解为,(阱内),可知归一化常数为,于是归一化后的波函数为,能量的取值概率为,能量取其它值的概率皆为零。,t=0 时能量的平均值为,(2)因为哈密顿算符不显含时间，故 t 0 时的波函数为,(3)由于哈密顿量是守恒量，而守恒量的的取值概率与平均值皆不随时间改变，,换句话，只要计算出 t=0 时能量的取值概率及平均值，就知道了 t 0 时能量的取值概率及平均值。,所以 t 0 时能量的取值概率及平均值与 t=0 时相同。,
