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1、3.4(2)曲线的凹凸性与拐点,Concavity and Points of Inflection,一、曲线的凹凸性与拐点,观察：曲线的弯曲方式,曲线弧：上凹,曲线弧：上凸,弦在弧上方,弦在弧下方,凹弧的定义：,凸弧的定义：,如何判断曲线的凹凸？,设曲线弧上凹,单增,Concave upward,下凸,设曲线弧上凸,单减,Concave downward,下凹,反之，能否由二阶导数的符号来判断曲线的凹凸？答案是肯定的,定理 2(曲线凹凸性的判定定理）设函数 f(x)在 a,b 上连续，在(a,b)内二阶可导，那么 若在(a,b)内 f(x)0，则曲线 y=f(x)在a,b上是凹的 若在(a,
2、b)内 f(x)0，则曲线 y=f(x)在a,b上是凸的,证,设,将函数在(a,b)内展开为一阶 Taylor 公式：,正的,不等式成立,推论：,可以推广到 n 个数的情形,拐点,inflection point,拐点(x0,f(x0):f(x0)在点 x0 两侧异号,可能出现拐点的点 x0:f(x0)=0 或 f(x0)不存在,求曲线凹凸区间及拐点的步骤：p.149,例 9 求下列曲线的凹凸区间和拐点,解,求下列曲线的凹凸区间和拐点,凸区间：,凹区间：,拐点：,with(plots):A:=plot(2*x3+3*x2-12*x+14,x=-4.3):display(A,scaling=unconstrained,thickness=3);,证明：三次曲线恰有一个拐点且三次曲线关于其拐点对称,例 10 求下列曲线的凹凸区间和拐点,解,求下列曲线的凹凸区间和拐点,拐点：,with(plots):A:=plot(3*x4-4*x3+1,x=-0.5.1.3):display(A,scaling=unconstrained,thickness=3);,
