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1、例 判断下面各推理是否正确:,(1)如果今天是星期二,今天有数学课。今天是星期二，所以今天有数学课。(2)如果今天是星期二,今天有数学课。今天不是星期二，所以今天没有数学课。,第二章 命题演算的推理理论,推理是否正确？,记：P表示今天是星期二，Q表示今天有数学课。(1)如果今天是星期二,今天有数学课。今天是星期二，所以今天有数学课。(PQ)P)Q(2)如果今天是星期二,今天有数学课。今天不是星期二，所以今天没有数学课。(PQ)P)Q,推理是否正确：真值表,P Q(PQ)P)Q(PQ)P)QT T T TT F T TF T T FF F T T,永真公式三段论,非永真,三段论,P Q 大前提
2、P 小前提 Q 结 论,三段论推理的有效性由永真公式：(PQ)P)Q所保证。,逻辑推理由前提推出结论,归纳推理 演绎推理,从真的前提出发，得到的结论只能够要求它与前提是协调的，但不一定是真的。,前提和结论之间有可推导性关系：前提的真蕴涵结论的真,例 所有观察到的乌鸦都是黑的。所以所有乌鸦都是黑的。,有效推理,若(A1 A2 An)B 为重言式，则称由前提A1，An 推出结论B的 推理有效，并称B是 A1，A2，An 的逻辑结论，记为：A1，A2，An B或 A1，A2，An B,重言式推理规则,前提和结论间的形式关系,前提:如果 1+1=3，则雪是黑的。1+1=3。结论:雪是黑的。,该推理过程
3、正确,但不意味着前提与结论正确,2.1 命题演算的公理系统,给出若干条永真公式(称为公理)，再给出若干条由永真公式推出永真公式的推理规则，由它们出发推出一切永真公式。,了解公理系统的构成规则和推理形式，,公理系统的组成部分,一、语法部分 基本符号 公理系统所允许出现的全体符号的集合 公理 规则 二、语义部分,基本符号,命题变元 P，Q，R，联结词,括号(，)合式公式,推出符,公理,公理1 PP公理2(P(QR)(Q(PR)公理3(PQ)(QR)(PR)公理4(P(PQ)(PQ)公理5(PQ)(PQ)公理6(PQ)(QP)公理7(PQ)(QP)(PQ),调头,传递,凝缩,公理,公理8(PQ)P公
4、理9(PQ)Q公理10 P(Q(PQ)公理11 P(PQ)公理12 Q(PQ)公理13(PR)(QR)(PQ)R)公理14(PQ)(QP)公理15 PP,规则,(1)代入规则：将公式中出现的某一符号B 每处均代以某一公式C，所到的公式D 称为C 对 的代入。(2)分离规则：如果AB且A，则B。,二、语义部分,(1)公理是永真公式。规则规定如何从永真公式推出永真公式。分离规则指明:如果AB永真且A永真，则B也为永真公式。(3)代入规则指明如果为永真公式，则某一个公式正确代入公式后所得的公式也为永真公式。(4)定理为永真公式。,公理系统的推理过程,定义 如果能够作出一系列合式公式序列 A1，A2,
5、A3,，An，它们满足下列性质：(1)诸Ai或为公理/定理之一；(2)或由前面的若干个Ag、Ah利用分离规则而得；(3)An=B。称序列A1，A2,，An为B的永真证明过程。,B,公理推理证明定理的方法,构造合式公式序列 A1，A2,A3,，An=B，把待证明的公式结论变成永真蕴涵式的后件，再证明前件永真，最后利用分离规则得到结论。,B,定理1(p18)PP,证明：(1)(PQ)(QP)公理14(2)(PP)(PP)P用P，Q用P代入(3)PP 公理1(4)PP P用P代入(5)PP(2)(4)分离,P=P,定理2(p18)(PQ)(RP)(RQ),分析：由传递公理3知道(RP)(PQ)(RQ
6、)与要求证的公式的联系是两个前件次序换一换，就可以用调头公理2：(P(QR)(Q(PR),加头公式,定理2(p18)(PQ)(RP)(RQ),证明：(1)(PQ)(QR)(PR)公理3(2)(RP)(PQ)(RQ)P用R，Q用P，R用Q代入(3)(P(QR)(Q(PR)公理2(4)(RP)(PQ)(RQ)(PQ)(RP)(RQ)P用RP，Q用PQ，R用RQ代入(5)(PQ)(RP)(RQ)(4)(2)分离,例(PP)P,证明：(1)(PR)(QR)(PQ)R)公理13(2)(PP)(PP)(PP)P)(1)式中Q用P、R用P代入PP 公理1(PP)(PP)P)(2)(3)分离(PP)P(3)(
7、4)分离,例 P(PP),证明(1)(PR)(QR)(PQ)R)公理13(2)(PP)(PP)(PP)P)(1)式中Q用P、R用P代入(3)PP 公理1(4)(PP)(PP)P)(2)(3)分离(5)(PP)P(3)(4)分离(6)P(PQ)公理11(7)P(PP)(6)式中Q用P代入(8)(PQ)(QP)(PQ)公理7(9)(P(PP)(PP)P)(P(PP)(8)式中Q用PP代入(10)(PP)P)(P(PP)(7)(9)分离(11)P(PP)(5)(10)分离,已知公理 A:(pq)(qp)(pq)B:p(pq)C:pp D:(pr)(qr)(pq)r)证明定理:p(pp),例(与前例相
8、同),(1)ppq 公理B(2)ppp 代入(3)(pr)(qr)(pq)r)公理D(4)(pp)(pp)(pp)p)代入(5)p p 公理C(6)(pp)(pp)p)(4)(5)分离(7)(pp)p(5)(6)分离,先证(pp)p,(1)ppq 公理B(2)ppp 代入(3)(pr)(qr)(pq)r)公理D(4)(pp)(pp)(pp)p)代入(5)p p 公理C(6)(pp)(pp)p)(4)(5)分离(7)(pp)p(5)(6)分离(8)(pq)(qp)(pq)公理A(9)(p(pp)(pp)p)(p(pp)代入(10)(pp)p)(p(pp)(2)(9)分离(11)(p(pp)(7)
9、(10)分离,证明,定理3(p18,拒取式)(PQ)(QP),分析：由公理14，(PQ)(QP)，可以得到(PQ)(QP)下面就是要建立(PQ)与(PQ)之间的联系。如果(PQ)(PQ)，则由传递性知道结论成立。下面先证明(PQ)(PQ)。,证明：先证(PQ)(PQ),(1)PP 定理1(2)QQ P用Q代入(3)(PQ)(QP)公理14(4)(PQ)(QP)Q用Q代入(5)(PQ)(RP)(RQ)加头定理2(6)(QQ)(PQ)(PQ)(5)式中P用Q代入，Q用Q代入，R用P代入(7)(PQ)(PQ)(6)(2)分离,定理3(p18,拒取式)(PQ)(QP),证明：(1)PP 定理1(2)Q
10、Q P用Q代入(3)(PQ)(QP)公理14(4)(PQ)(QP)Q用Q代入(5)(PQ)(RP)(RQ)定理2(6)(QQ)(PQ)(PQ)(5)式中P用Q代入，Q用Q代入，R用P代入(7)(PQ)(PQ)(6)(2)分离(8)(PQ)(QR)(PR)公理3(9)(PQ)(PQ)(PQ)(QP)(PQ)(QP)(8)式中P用PQ，Q用PQ，R用QP代入(10)(PQ)(QP)(PQ)(QP)(9)(7)分离(11)(PQ)(QP)(10)(4)分离,例（与定理3相同）,已知公理A:PPB:(PQ)(QP)C:(PQ)(RP)(RQ)D:(PQ)(QR)(PR)要证(PQ)(QP)为本系统中的
11、定理。,引理 P(PQ)Q),证明：(1)(P(QR)(Q(PR)公理2(2)(PQ)(PQ)(P(PQ)Q)Q用P代入，R用Q代入，P用P Q代入(3)PP 公理1(4)(PQ)(PQ)代入(5)P(PQ)Q)分离(2)(4),例1(p18)已知引理，试证明(PP)P,(1)P(PQ)Q)定理(2)P(PP)P)Q用P代入(3)(PQ)(QP)公理14(4)(PP)P)(P(PP)P用PP代入，Q用P代入(5)(PQ)(RP)(RQ)定理2(6)(PP)P)(P(PP)(P(PP)P)(P(P(PP)P用(PP)P，Q用P(PP)，R用P代入(7)(P(PP)P)(P(P(PP)(6)(4)
12、分离(8)P(P(PP)(7)(2)分离(9)(P(PQ)(PQ)公理4(10)(P(P(PP)(P(PP)Q用(PP)代入(11)(P(PP)(10)(8)分离(12)(P(PP)(PP)P)(3)式中Q用PP代入(13)(PP)P(12)(11)分离,例2(p19),已知公理 A：P(Q P)B：(P(Q R)(PQ)(PR)及分离规则和代入规则，证明公式PP为定理。,证明:,P(Q P)公理A(2)(P(Q R)(PQ)(PR)公理B(3)(P(Q P)(PQ)(PP)R用P代入(2)(4)(PQ)(PP)(3)(1)分离(5)(P(Q P)(PP)Q用Q P代入(4)(6)PP(5)(
13、1)分离,例2(p19),已知公理：A P(Q P)B(P(Q R)(PQ)(PR)C(P(QR)(Q(PR)D P(PQ)E(PQ)(QP)及分离规则和代入规则证明公式(RR)(PP)为定理。,PP？,例2的证明(p19),(1)P(Q P)公理A(2)(P(Q R)(PQ)(PR)公理B(3)(P(Q P)(PQ)(PP)R用P代入(2)(4)(PQ)(PP)(3)(1)分离(5)(P(Q P)(PP)Q用Q P代入(4)(6)PP(5)(1)分离(7)P(PQ)公理D(8)(PP)(PP)(RR)P用PP，Q用RR代入(7)(9)(PP)(RR)(8)(6)分离(10)(PQ)(QP)公
14、理E(11)(PP)(RR)(RR)(PP)P用PP，Q用RR代入(10)(12)(RR)(PP)(11)(9)分离,例,已知公理：A:(Q R)(PQ)(PR)B:(PP)PC:Q(PQ)及分离规则和代入规则试证明 PP 为定理,证明,(1)(Q R)(PQ)(PR)公理A(PP)P 公理BQ(PQ)公理C(4)(PP)P)(P(PP)(PP)(1)式中Q用PP、R用P代入(5)(P(PP)(PP)(2)(4)分离(6)P(PP)(3)式中Q用P代入(7)PP(5)(6)分离,例,已知公理A：(QR)(PQ)(PR)B：(P(QR)(Q(PR)C：(PQ)(QR)(PR)D：PP及分离规则和代入规则,试证明下式为定理(PQ)R)(PQ)R),证明,(1)PP 公理4(2)QQ P用Q代入(3)(QR)(PQ)(PR)公理1(4)(QQ)(PQ)(PQ)Q用Q代入,R用Q代入(5)(PQ)(PQ)(4)、(2)分离(6)(PQ)(QR)(PR)公理 3(7)(PQ)(PQ)(PQ)R)(PQ)R)P用PQ代入，Q用PQ代入，R用R代入(8)(PQ)R)(PQ)R)(7)、(5)分离,
