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1、2.1 高斯消元法.,用高斯消元法解线性方程组，这一过程可在方程组的,系数矩阵或增广矩阵上实现，将系数矩阵或增广矩阵,行阶梯形矩阵：,可画出一条阶梯线，其下方全部为 0,每个台阶只有一行，台阶数为非零行,的行数，,阶梯线后面的第一个元素为,非零元.,化为行阶梯形矩阵，再进一步化为行最简形矩阵。,行简化阶梯形矩阵：,每个非零行的第一个非零元为1，,而且该非零元所在列的其余元素,全为0.,将增广矩阵（A b）化为阶梯形矩阵时，其形式不唯一，,但非零行的行数唯一.,所用步骤：,（1）交换两行；,（2）某一行乘以非零数 k；,（3）将某一行乘以数 k 加到另一行上.,当未知数的个数大于有效方程的个数（
2、即行阶梯形矩阵,中非零行的行数）时，有自由未知量，自由未知量可以,取任意值.,自由未知量的选取不是唯一的，但其个数,是唯一的.,一般取每个非零行的第一个非零元对应的未知量为基本,未知量，其余的为自由未知量.,例.求解线性方程组,解：,这一行说明有矛盾方程，故无解！,不相容方程组：,含有矛盾方程从而无解的方程组,相容方程组：,有解的方程组,一般地，对于线性方程组,假设通过高斯消元法将其增广矩阵化为,其中,那么,（1）方程组有解,（2）在有解的情况下：,（I）,若 r=n,则方程组有唯一解：,（II）,若 r n,则方程组有无穷多解：,取,可得方程组的解为,若方程组为齐次方程组，那么,方程组一定有
3、解.,（I）,若 r=n,则方程组有唯一解：,（II）,若 r n,则方程组有无穷多解：,取,可得方程组的解为,特别地，若齐次方程组中方程的个数小于未知数的个数，,那么方程组一定有无穷多解.,2.2 矩阵的加法 数量乘法 乘法,一、矩阵的有关概念,1.矩阵的定义,定义:由mn个数 aij(i=1,2,m;j=1,2,n)排成的 m 行 n 列的数表:,称为m行n列的矩阵.简称 mn 矩阵.记作,简记为:A=Amn=(aij)mn=(aij).这mn个数aij称为矩阵A的(第 i 行第 j 列)元素.,矩阵与行列式有本质的区别,行列式是一个算式,其行数和列数相同，一个数字行列式经过计算可求得其值
4、,而矩阵仅仅是一个数表,它的行数和列数可以不同.,元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.,例如:,是一个24实矩阵;,是一个33复矩阵;,是一个14(实)矩阵;,是一个31(实)矩阵;,是一个11(实)矩阵.,3.几种特殊矩阵,(1)行数与列数都等于n的矩阵A,称为n 阶方阵.也可记作 An,对于方阵，可以计算其行列式，但要注意：,方阵和方阵的行列式是不同的含义.,(或对角阵),其中1,2,n不全为零.记作=diag(1,2,n),(3)如果In=diag(1,2,n)=diag(1,1,1),则称 In 为(n 阶)单位矩阵,或简称单位阵.简记为 I（或者E）.,(4)只有
5、一行(列)的矩阵称为行(列)矩阵(或行(列)向量).,如果A=diag(1,2,n)=diag(k,k,k),（k不为0）则称 A为(n 阶)数量矩阵,记为 k I（或者 k E）.,(5)元素全为零的矩阵称为零矩阵,mn 阶零矩阵记作 Omn 或 O.,AO,|A|=0,|A|=0,AO,若|A|=0,称 A 为奇异矩阵；,对于 n 阶方阵 O,例1:设,解:由于矩阵A=B,则由矩阵相等的定义,已知A=B,求x,y,z.,x=2,y=3,z=2.,得:,2.两个矩阵A=(aij)与B=(bij)为同型矩阵,并且对应元素相等,即 aij=bij(i=1,2,m;j=1,2,n)则称矩阵A与B相
6、等,记作A=B.,4.同型矩阵与矩阵相等的概念,1.两个行列数对应相等的矩阵称为同型矩阵.,(1)矩阵的概念:m行n列的数表,三、小结,(2)特殊矩阵,方阵,行矩阵与列矩阵;,单位矩阵;,对角矩阵;,零矩阵.,思考题,矩阵与行列式有何区别?,思考题解答,二、矩阵的加法,定义:设两个同型的 mn 矩阵A=(aij)与B=(bij),那末矩阵A与B的和定义为(aij+bij),记作A+B,即,对应元素相加,例如:,说明:只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算.,矩阵加法的运算规律,交换律:A+B=B+A.(2)结合律:(A+B)+C=A+(B+C).,(4),称为矩阵A的负矩阵.,(5)A+
7、(A)=O,AB=A+(B).,(3)A+O=A,三、数与矩阵相乘,定义:数与矩阵A=(aij)的乘积定义为(aij),记作A 或A,简称为数乘.即,注意：kA 与 k|A|不同！,设A,B为同型的mn 矩阵,为数:1 A=A.(2)()A=(A).(3)(+)A=A+A.(4)(A+B)=A+B.,矩阵的数乘的运算规律,矩阵的加法与数乘运算,统称为矩阵的线性运算.,定义:设A=(aij)是一个 ms 矩阵,B=(bij)是一个sn 矩阵,定义矩阵A与矩阵B的乘积 C=(cij)是一个mn 矩阵,其中,四、矩阵与矩阵相乘,(i=1,2,m;j=1,2,n).并把此乘积记作C=AB.,是 A 中
8、的第 i 行元素与 B 中第 j 列的对应元素相乘再相加.,例1:,例2:,当运算可行或作为运算结果时，一阶矩阵可以与数等同看待！,例3:求AB,其中,注意:只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘.,矩阵乘法的运算规律,结合律:(AB)C=A(BC);分配律:A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA;(3)(AB)=(A)B=A(B),其中为数;,当 AB 有意义时，BA 可能无意义！,例如:,不存在.,有意义，但是,注意:（1）矩阵乘法一般不满足交换律,即:AB BA，,因此要注意矩阵相乘的次序.,AB 和 BA都有意义时，它们可能不是同型矩阵.,例如：,是
9、一阶方阵，但是,是三阶方阵.,即使 AB 和 BA都有意义，也是同型矩阵，它们,也可能不相等.,例如:设,AB BA.,当 AB BA 时，称 A 与 B 不可交换；,当 AB=BA 时，称 A 与 B 可交换，,(2)矩阵的乘法一般不满足消去律，即,或,从上述例子还可以看到：,此时 A 与 B 必为同阶方阵。,若,但AB=O,则称 B 是 A 的右零因子，A 是 B 的左零因子.,特殊矩阵与矩阵相乘的有关结论：,单位矩阵在矩阵乘法中的作用相当于数 1 在数的,乘法中的作用.,若 A 为方阵，则有,数量矩阵 kI 乘矩阵 A 等于数 k 乘矩阵 A.,结论：n 阶数量矩阵与任意 n 阶矩阵可交
10、换；与任,意 n 阶矩阵可交换的矩阵一定是 n 阶数量矩阵.,左乘 A 等于用,乘以A中第 i 行的元素.,右乘 A 等于用,乘以A中第 i 列的元素.,若,则,例4:计算下列矩阵乘积:,解:,a11x1+a21x2+a31x3,a12x1+a22x2+a32x3,a13x1+a23x2+a33x3,=(a11x1+a21x2+a31x3)x1+(a12x1+a22x2+a32x3)x2+(a13x1+a23x2+a33x3)x3,当矩阵为对称矩阵时,结果为,n 阶方阵,若当 i j 时，,则称 A 为上三角矩阵.,若当 ij 时，,则称 A 为下三角矩阵.,结论：两个上（下）三角矩阵的积仍然
11、是上（下）三角矩阵.,证明：设 A,B 是两个上三角矩阵，且C=AB,当 ij 时,即 C为上三角矩阵.,五、方阵和方阵乘积的行列式,定义:由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式叫做方阵A 的行列式,记作|A|或 detA.,例如:,则,方阵行列式的运算性质,|AT|=|A|;|kA|=kn|A|;(3)|AB|=|A|B|=|B|A|=|BA|.,矩阵的转置后面会定义,定理：设A、B是两个 n 阶方阵，则,思路：利用分块行列式的结论，行列式的性质6及矩阵乘法的定义.,简证：,对于同阶方阵A和B，一般AB BA，但是|AB|=|BA|,重要例子,例5.,设,矩阵A的伴随矩阵注意其元素的下标,证：
12、设,其中,于是,因此,因为,所以,从证明过程中可以得到：,记住该结论！,六、方阵的幂和方阵的多项式,定义2.9,设 A 是 n 阶方阵，k 个 A 的连乘积称为 A 的,k 次幂，记作,即,当 m，k 为正整数时，有,只有方阵能定义幂,当AB不可交换时，一般,当AB可交换时，,定义2.10 设,是 x 的 k 次多项式，A 是 n 阶方阵，则称,为方阵 A 的 n 次多项式.,若 f(x)，g(x)为多项式，A、B为 n 阶方阵，则,f(A)g(A)=g(A)f(A),当 AB 不可交换时，一般,方阵A的多项式可以类似一般多项式一样相乘或分解因式.,例如,(I+A)(2 I A)=2 I+A
13、A2,(I A)3=I 3A+3A2 A3.,因为数量矩阵 kI 与任意同阶方阵可交换，所以有,特别当矩阵为对角阵=diag(1,2,n)时,则,()=a0I+a1+amm,解:,例6:,由此归纳出,用数学归纳法证明.当k=2时,显然成立.,假设,当k=n时结论成立,对 k=n+1时,所以对于任意的 k 都有:,也可利用二项式定理展开计算.,七、矩阵的其它运算,定义:把矩阵A 的行列互换,所得到的新矩阵,叫做矩阵A 的转置矩阵,记作AT.,例如:,、转置矩阵,(1)(AT)T=A;(2)(A+B)T=AT+BT;(3)(A)T=AT;(4)(AB)T=BTAT;,转置矩阵的运算性质,一般地,证
14、明（4）,设,首先容易看到,与,为同型矩阵.,因为,所以,的第 i 行第 j 列,的元素为,又因为,中第 i 行的元素为 B 中第 i 列的元素,中第 j 列的元素为 A 中第 j 行的元素,于是,的第 i 行第 j 列元素为,故,解法1:因为,所以,解法2:,(AB)T=BTAT,例8：设,（1）,的第 i 行第 j 列的元素为,（2）,的第 i 行第 j 列的元素为,（3）,的第 i 行第 j 列的元素为,设A=(aij)为 n 阶方阵,对任意 i,j,如果aij=aji都成立,则称A为对称矩阵;如果aij=aji 都成立,则称A为反对称矩阵;,显然，若 A 是反对称矩阵，那么对任意 i，
15、有,例如:,A为对称矩阵,B为反对称矩阵.,由矩阵转置和对称矩阵的定义可得:,方阵A 为对称矩阵的充分必要条件是:A=AT.方阵A 为反对称矩阵的充分必要条件是:A=AT.,设A与B为对称矩阵，那么AB为对称矩阵的充要条件是：,AB可交换.,证明:因为,例9:设列矩阵X=(x1 x2 xn)T,满足XTX=1,E为n 阶单位矩阵,H=E 2XXT,证明:H为对称矩阵,且HHT=E.,HT=(E 2XXT)T=ET 2(XXT)T=E 2XXT=H.,所以,H为对称矩阵.,=E2 E(2XXT)(2XXT)E+(2XXT)(2XXT)=E 4XXT+4(XXT)(XXT)=E 4XXT+4X(X
16、TX)XT=E 4XXT+4XXT=E,HHT=H2=(E 2XXT)2,例10:证明任一n 阶方阵A 都可表示成对称阵与反对称阵之和.,证明:设 C=A+AT,所以,C为对称矩阵.,从而,命题得证.,则 CT=(A+AT)T=AT+A=C,设 B=A AT,则 BT=(A AT)T=AT A=B,所以,B为反对称矩阵.,2、共轭矩阵,定义:当 A=(aij)为复矩阵时,用 表示aij 的共轭复数,记,称 为A 的共轭矩阵.,运算性质,设A,B为复矩阵,为复数,且运算都是可行的,则:,矩阵运算,加法,数与矩阵相乘,矩阵与矩阵相乘,转置矩阵,对称阵与伴随矩阵,方阵的行列式,共轭矩阵,五、小结,(1)只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算.(2)只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律.(3)矩阵的数乘运算与行列式的性质3不同.,注意,思考题,思考题解答,设A与B为 n 阶方阵,等式A2B2=(A+B)(AB)成立的充要条件是什么?,答:因为(A+B)(A B)=A2+BA AB B2,故等式A2 B2=(A+B)(A B)成立的充要条件是:,AB=BA.,
