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1、 微积分,大 学 数 学（一）,第四十九讲常数项级数的概念,脚本编写：,教案制作：,n个0,n个9,通俗地说：,无限多个数的和可以是一个有限的数.,引例1:,庄子天下篇：,“一尺之棰,日取其半,万世不竭”.,意思是:,一尺长的棍子,第一天取其一半,第二,天取其剩下的一半,以后每天都取其剩下的一,半,这样永远也取不完.,引例2,把每日所取排列起来：,棰取走的部分总共长：,此是公比为,的等比数列，,(常数项)无穷级数,一般项,部分和数列,级数的部分和,常数项级数的定义,u1,u2,u3,un,下列各式均为常数项级数,级数举例,调和级数,几何级数,等比级数,aqn-1,p级数,下页,级数敛散性定义,
2、(包括极限为),余项,rnssnun1un2,下页,例2.证明级数 123 n 是发散的.,此级数的部分和为,证:,下页,故级数发散.,例1 讨论级数,的敛散性.,解:因,则,解,收敛,发散,例1,讨论等比级数(几何级数),的收敛性.,当公比|q|1 时,等比级数收敛；,当公比|q|1 时,等比级数发散.,发散,发散,综上所述,例1,讨论等比级数(几何级数),的收敛性.,当公比|q|1 时,等比级数收敛；,当公比|q|1 时,等比级数发散.,例7,收敛吗?,解:因为,收敛.,例8,讨论,的收敛性.,解:,因,收敛,即,是一个有限的数,而从1加到,也是个有限的数,因此级数,收敛.,例2.判别级数
3、 的敛散性:,解:,利用“拆项”求和,所以级数发散.,解:,例2,讨论无穷级数,的收敛性.,二、收敛级数的基本性质,sn、sn、tn,则,结论:两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减.,性质2 设有两个收敛级数,则级数,也收敛,且有,注:,证(2):,矛盾.,假设,收敛,二、收敛级数的基本性质,性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项,不会改变级数的收敛性.,性质1,性质2,下页,二、收敛级数的基本性质,推论 如果加括号后所成的级数发散,则原来级数也发散.,性质1,性质2,性质4 如果级数收敛,则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛,且其和不变.,性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项,不会改变
4、级数的收敛性.,下页,收敛,则,也收敛.,加括号仍为收敛级数.,注 收敛级数,是收敛的.,注,“加括号后所成的级数收敛,原级数不一定收敛.”,例如级数,是发散级数.,但将相邻的两项加括号后所得级数,收敛,则,也收敛.,例7,性质2,收敛吗?,解:因为,和,均收敛,根据性质2,级数收敛.,级数收敛的必要条件,下页,定理,n个0,级数收敛的必要条件,证:,注意:(1)级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件,不能因为一般项趋于零就断定级数收敛.(2)如果一般项不趋于零,则级数必发散.因此此性质常用于判断级数发散.,下页,定理,由于,故该级数发散.,解:,级数收敛的必要条件:,是必要不充分条件:,
5、再举一例：,级数收敛的必要条件,定理,但级数是否收敛?,例4.,这是因为,y=1/x,结束,级数收敛的必要条件,定理,作业P126,1.,2.,3.,4.(1)(3)(5)(7)(8),5.(1),微积分,大 学 数 学（一）,第五十讲正项级数,脚本编写：,教案制作：,8.2 正项级数及其审敛法,上页,下页,铃,结束,返回,首页,第二节 常数项级数的审敛法,1.定义:,这种级数称为正项级数.,2.正项级数收敛的充要条件:,定理,一、正项级数及其审敛法,极限不存在,证明,第一比较判别法,(2)是(1)的等价命题.,则,大收小收,小发大发.,第一比较判别法,解,例2,重要参考级数:p-级数,调和级
6、数，几何级数,例2,提示:,解:,例3,例4,解:,要应用比较判别法来判别给定级数的收敛性,就必须,给定级数的一般项与某一已知级数的一般项之间的不等式,但有时直接建立这样的不等式相当困难,为应用方便,我们给出,比较判别法的极限形式.,定理8(第一比较判别法的极限形式),若两个正项级数,满足:,(1)当0l+时,级数,同时敛散;,第二比较判别法,简要说明：,这样两级数有相同的敛散性.,定理8(第一比较判别法的极限形式),若两个正项级数,满足:,(1)当0l+时,级数,同时敛散;,(2)当l=0且级数,也收敛;,收敛时,级数,第二比较判别法,简要说明(2)：,得证.,定理8(第一比较判别法的极限形
7、式),若两个正项级数,满足:,(1)当0l+时,级数,同时敛散;,(2)当l=0且级数,也收敛;,收敛时,级数,(3)当l=+且级数,也发散.,发散时,级数,第二比较判别法,简要说明(3)：,得证.,第一比较判别法的极限形式:,第二比较判别法,例5,第二比较判别法,解:,例6,第二比较判别法,解:,第二比较判别法,例3.,解:,根据第二比较判别法知,例3.,解:,下页,根据第二比较判别法知,实际是 与 同阶无穷小 之间的比较.,例15 判定级数的敛散性:,由比较判别法的极限形式知,收敛.,抓主要项,抓大头,例设正项级数,收敛,能否推出,收敛?,提示:,由第二比较判别法可知,收敛.,第二比较判别
8、法,注7 使用第一和第二比较判别法,需记住一些已知其收敛性的级数,而且建立不等式关系也比较繁.,而事实上,一个正项级数的收敛性有其自身内在的本质,可以利用级数自身的特点,来判定级数的收敛性.,第二比较判别法,除了几何级数外,数学中不存在任何一种它的和已被,严格确定的无穷级数.,阿贝尔,(Abel,Niels Henrik,1802-1829),当公比|q|1 时,等比级数收敛；,当公比|q|1 时,等比级数发散.,利用级数本身来进行判别.,比值判别法(达朗贝尔判别法)：,例11,收敛.,解:,解,根据第一比较判别法，,原级数收敛,例7,判别,的敛散性.,比值判别法与比较判别法的综合应用,由比值
9、判别法，,例8,判别,的敛散性.,解,例7,判别,的敛散性.,解:,比值判别法(达朗贝尔判别法),收敛.,例13,解:,所以用比值法无法判断.,用第二比较判别法,收敛.,例8,假设,判别,的收敛性.,比值判别法,解:,则,(1)若,则级数收敛.,(2)若,则级数发散.,(3)若,此时比值判别法失效,时,则级数收敛,时,则级数发散.,但此时原级数为,除了几何级数外,数学中不存在任何一种它的和已被,严格确定的无穷级数.,阿贝尔,(Abel,Niels Henrik,1802-1829),当公比|q|1 时,等比级数收敛；,当公比|q|1 时,等比级数发散.,定理5.根值判别法(Cauchy判别法)
10、,设,为正项级,则,数,且,简要说明：,时,级数可能收敛也可能发散.,说明:,定理5.根值判别法(Cauchy判别法),设,为正项级,则,数,且,定理5.根值判别法(Cauchy判别法),设,为正项级,则,数,且,根值判别法适合 中含有某表达式的 次幂.,例15,解:,所以级数收敛.,例16,解:,所以级数收敛.,必要条件,满足,比值判别法,根值判别法,收敛,不能,用它,比较判别法,级数发散,判别,内容小结：,正项级数的审敛法,un vn,洛必达法则：,复杂的型,例6,判别级数,的收敛性.,复杂的型,解:令,由于,从而,是 级数,其中,收敛.,从而 收敛.,洛必达法则：,作业P137,1.,2
11、.(2)(4)(5)(8),3.(2)(4)(6),微积分,大 学 数 学（一）,第五十一讲正项级数判别法应用实例,脚本编写：,教案制作：,必要条件,满足,比值判别法,根值判别法,收敛,不能,用它,比较判别法,级数发散,判别,内容小结：,正项级数的审敛法,un vn,洛必达法则：,复杂的型,6.正项级数比较判别法的基本题型和应用实例,(1)利用比较法（不等式形式）直接判敛题型:,(2)利用比较法（极限形式）直接判敛题型:,抓主要项,例15 判定级数的敛散性:,由比较判别法的极限形式知,收敛.,抓主要项,抓大头,例5,例6,例7,(3)带有参数的正项级数的讨论判敛题型:,例9 判定下列级数的敛散
12、性,收敛,收敛.,故,第二比较判别法,例9 判定下列级数的敛散性,收敛,收敛.,故,第二比较判别法,6.正项级数比较判别法的基本题型和应用实例,(1)利用比较法（不等式形式）直接判敛题型:,例6,判别,的敛散性.,(其中,正常数).,解:,(2)当 时,而此时,收敛,收敛.,因此,(1)当 时,而,为调和级数,发散,发散.,因此,要找出 中起主要作用的项.,(4)证明正项级数收敛或发散的题型:,第二比较判别法,(4)证明正项级数收敛或发散的题型.,第二比较判别法,8.正项级数比值判别法(DAlembert 法）的应用实例,8.正项级数比值判别法(DAlembert 法）的应用实例,8.正项级数
13、比值判别法(DAlembert 法）的应用实例,8.正项级数比值判别法(DAlembert 法）的应用实例,8.正项级数比值判别法(DAlembert 法）的应用实例,8.正项级数比值判别法(DAlembert 法）的应用实例,必要条件,满足,比值判别法,根值判别法,收敛,不能,用它,比较判别法,级数发散,判别,内容小结：,正项级数的审敛法,un vn,洛必达法则：,复杂的型,作业P138,8.,13.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8),6.,10.,11.,微积分,大 学 数 学（一）,第五十二讲任意项级数的审敛法,脚本编写：,教案制作：,一、交错级数及其审敛法,二、绝对收敛与
14、条件收敛,8.3 任意项级数的审敛法,上页,下页,铃,结束,返回,首页,本节讨论一般的常数项级数,即各项符号不尽相同的变号级数(任意项级数).如级数,下面讨论任意项级数的敛散性的判别法.首先讨论其中的一种各项正负相间的特殊情形 交错级数.,二、交错级数及其审敛法,交错级数 交错级数是这样的级数,它的各项是正负交错的.,下页,这是交错级数.,二、交错级数及其审敛法,交错级数 交错级数是这样的级数,它的各项是正负交错的.,下页,莱布尼茨定理,则级数收敛,且其和su1.,简要证明:,下页,设级数的前n项部分和为sn.,及 s2n=u1-(u2-u3)-(u4-u5)-(u2n-2-u2n-1)-u2
15、n.,设s2ns(n),则也有s2n1=s2nu2n1s(n),所以sns(n).,因此级数是收敛的,且级数的和su1.,可见数列s2n单调增加且有界(s2nu1),所以数列s2n收敛.,s2n可写成,称莱布尼茨型级数,例9.,这是一个交错级数.因为此级数满足,证:,是莱布尼茨型级数,故收敛.,莱布尼茨定理,则级数收敛,且其和su1.,首页,.,例9.,这是一个交错级数.因为此级数满足,证:,首页,.,例 验证:不管 大于 还是不大于,只要,均收敛.,是莱布尼茨型级数,故收敛.,是莱布尼茨型级数,故收敛.,三、任意项级数的绝对收敛与条件收敛,定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.,由于
16、任意常数项级数各项的符号不一定同号,因而正项级数的敛散性的判别法对它来说是不适用的.但当我们,可借助于正项级数的敛散性的判别法来研究它了.,它的每一项取绝对值后组成的级数正项级数,便,考察,三、任意项级数的绝对收敛与条件收敛,定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.,定理,证,un|un|,从而,例18,例19,定理的作用：,任意项级数,正项级数,说明:,定理,定理,(任意项级数的达朗贝尔比值判别法),因此,收敛,绝对收敛.,例11 判定级数 的敛散性.,解:,由达朗贝尔比值判别法，,例11 判定级数 的敛散性.,由达朗贝尔比值判别法，,故当 时，该级数收敛.,解:,例21,解:,总结：
17、,绝对收敛与条件收敛,绝对收敛,条件收敛,收敛,发散,注1 所有正项级数的收敛都是绝对收敛.,注2 一切判别正项级数的敛散性的判别法都可用来判定 是否收敛.,定理,例20,解,定理,例15 判定级数 的敛散性:,由比较判别法的极限形式知,故级数 绝对收敛.,收敛，,例24,解:,解,由调和级数的发散性可知,故级数不是绝对收敛的.,原级数是一个交错级数,且满足：,所以级数是收敛的.,由莱布尼兹判别法可知,该交错级数收敛.,解,是条件收敛.,必要条件,满足,比值判别法,根值判别法,绝对收敛,不能,用它,莱布尼茨定理,交错级数,比较判别法,原级数发散,发散,至多条件收敛,判别,收敛,内容小结：,任意
18、项级数的审敛法,作业P138,4.(1)(2)(3),5.(1)(3),7.,14.17.,13.(9)(10),9.,12.,一元微积分学,大 学 数 学（一）,第五十三讲 函数项级数 幂级数,脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民,8.4 幂级数,上页,下页,铃,结束,返回,首页,一.函数项级数,二.幂级数及其敛散性,三.幂级数的运算,1.函数项级数的定义,设有一函数序列,为定义在区间 I 上的函数项级数.,一、函数项级数,可以利用常数项级数的知识来处理函数项级数,2.函数项级数的敛散性,的收敛点.,的发散点.,记为D.,函数项级数的部分和,余项,(x在收敛域内),注意
19、,函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.,3.和函数:,(定义域是?),可以利用常数项级数的知识来处理函数项级数,例11 求级数 的收敛域.,由达朗贝尔比值判别法，,形如,的级数称为幂级数,其中,称为幂级数的系数.,1.幂级数的定义,在函数项级数中,有一类十分特殊的级数,它的每一项都是 x 的幂函数,即.,例如:,其中,证明：,2.幂级数的敛散性,由正项级数的比较审敛法知,证明：,由(1)结论,证明：,2.幂级数的敛散性,几何说明,收敛区域,发散区域,发散区域,O,推论,定义:正数R称为幂级数的收敛半径.,规定,问题,如何求幂级数的收敛半径?,收敛区域,发散区域,发散区域,
20、O,定理2.若,的系数满足,证:,1)若0,则根据比值判别法可知:,当,原级数绝对收敛;,当,原级数发散.,即,时,1)当 0 时,2)当0 时,3)当时,即,时,则,因此级数的收敛半径,（,）,定理2.若,的系数满足,证:,1)当 0 时,2)当0 时,3)当时,则,2)若,则根据比值判别法可知,绝对收敛,3)若,则对除 x=0 以外的一切 x 原级发散,对任意 x 原级数,因此,因此,的收敛半径为,说明:据此定理,定理2.若,的系数满足,1)当 0 时,2)当0 时,3)当时,则,综上所述,得:,(2)判断x=R时,级数 和,(3)写出幂级数 的收敛区域.,注7(1)当R=0时,幂级数,(
21、2)当R=+时,幂级数,的敛散性;,只在x=0收敛.,此时收敛区间为(-,+).,对于一切x均收敛,注6 求幂级数 的收敛域的步骤是:,(1)求出收敛半径,得收敛区间为(-R,R).,例2,解,例3,解,例17 求幂级数的收敛半径及收敛域:,下面考察x=1时幂级数的敛散性:,当x=1时,幂级数变为,当x=-1时,幂级数(1)变为,故原级数收敛域为1,1.,是绝对收敛的;,是绝对收敛的;,注8 我们所说的“求幂级数的收敛半径及收敛区域”都是,如,对标准幂级数,而言的;但形,非标准幂级数,下方法求收敛半径和收敛区域:,直接用上述方法求,收敛半径和收敛区间,却不能,而只能是采用如,第一种:用变量代换
22、把它们化为标准幂级数,如令变量代换,谁的收敛半径？,6.非标准幂级数收敛区间的求法,由交错级数判别法,可知此时级数收敛.,由级数收敛的必要条件,可知,综上所述,缺少偶次幂的项,级数收敛,例5,解:,级数发散,级数发散,级数发散,级数发散,所以原级数的收敛域为,级数收敛,例5,解:,例6,求 的收敛半径和收敛域.,解:,当|x|1 时,=0 1,级数 绝对收敛.,当|x|1 时,=,因此级数的收敛域为,级数 发散.,半径R为1.,当|x|=1 时,=,级数绝对收敛.,作业P154,1.(2)(4)(6)(8),5.,6.,一元微积分学,大 学 数 学（一）,第五十四 幂级数的运算求幂级数的和函数
23、,脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民,8.5 幂级数的运算,上页,下页,铃,结束,返回,首页,二.幂级数的运算,注9 两个收敛的幂级数在它们共同的收敛区间上可以逐项相加.,1.代数运算性质:,(1)加减法,2.和函数的分析运算性质:,且收敛半径仍为R.,2.和函数的分析运算性质:,且收敛半径仍为R.,2.和函数的分析运算性质:,的敛散性,并求其收敛域.,这是等比级数.,故该级数的收敛域为:,利用幂级数和函数逐项求导，逐项求积性质求幂级数的和函数 问题,（2）利用幂级数和函数逐项求导，逐项求积性质求幂级数和函数 的实例,例7,解,求得幂级数的收敛域为1 1),解,解,的和
24、函数,由此题,有时需要进行逐项求导连续两次或逐项积分连续两次.,例20 求下列幂级数的收敛域及和函数:,解:设,则此幂级数的收敛区间为(-1,1).,而当 x=1时,级数,故收敛区域为(-1,1).,发散.,需要时可将幂级数拆开,将原级数逐项积分有,再将级数S1(x)逐项积分有,对上式两端求导有,对此式两端再求导有,(1x1),作业P155,9.,2.(1)(3)(4)(5)(6)(7),一元微积分学,大 学 数 学（一）,第五十五讲,脚本编写：,教案制作：,函数展开为幂级数,一、麦克劳林级数,二、函数展开成幂级数,8.5 函数展开成幂级数,上页,下页,铃,结束,返回,首页,第四节 函数展开成
25、幂级数,上节例题,求幂级数,在其收敛域内以f(x)为和函数,问题:,1.如果能展开,是什么?,如果f(x)在点x00的某邻域(R,R)内能展开成x的标准幂级数,即 f(x)a0a1xa2x2+anxn,a0=f(0),a1=f(0),.,提示:,f(x)2!a232a3x43a4x254a5x3,f(0)2!a2.,f(n)(x)n!an(n1)n(n1)2an1x,f(n)(0)n!an.,那么有,f(x)a12a2x3a3x24a4x35a5x4,f(0)a1.,下页,.,f(x),麦克劳林级数,此级数称为f(x)的麦克劳林级数.,下页,下页,泰勒级数,麦克劳林级数,.,.,f(x),f(
26、x),在泰勒级数中取x00,得,非标准幂级数,三、函数展开为幂级数,直接法的步骤,第一步 求出f(x)的各阶导数:f(x),f(x),f(n)(x),;第二步 求函数及其各阶导数在x0 处的值:f(0),f(0),f(0),f(n)(0),;第三步 写出幂级数,并求出收敛半径R;,下页,直接展开法,由此可得,例1.将函数f(x)ex展开成x的幂级数.,解:,显然 f(n)(x)ex(n1,2,),由此得级数,f(n)(0)1(n1,2,).,下页,下页,.,f(x),例2.将函数f(x)sin x展开成x的幂级数.,解:,所以f(n)(0)顺序循环地取0,1,0,1,(n0,1,2,3,),于
27、是得级数,它的收敛半径为R.,由此得展开式,下页,.,f(x),例3.将函数f(x)(1x)m(m为任意常数)展开成x的幂级数.,所以 f(0)=1,f(0)=m,f(0)=m(m-1),f(n)(0)=m(m-1)(m-2)(m-n1),由此得幂级数,解:,f(x)的各阶导数为,f(x)=m(1x)m-1,f(x)=m(m-1)(1x)m-2,f(n)(x)=m(m-1)(m-2)(m-n1)(1x)m-n,因此,(1x1),.,f(x),麦克劳林级数,.,下页,f(x),间接展开法,直接展开法太麻烦,根据展开式的唯一性,利用已知展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等
28、方法,求展开式.,两边求导,得,2.间接展开法,例4,例5.,解:,已知,把x换成x2,得,提示:,收敛半径的确定:,由-1-x21,得-1x1.,下页,例5,解：,提示:,幂级数展开式小结,结束,例22,将上述两式两端分别从0到 x(1 x 1)积分,得,(1x1).,(1x1).,例7,解:,例8,例1 把函数 展开为关于 的 幂级数.,解:,例9,解,解,例13,(95五6),例10,解,例11,解,例14,已知,求,解:,设,关于,的幂级数为,而,又可写成,因此有,所以,作业P155,4.,8.,10.(3),3.(1)(2)(5)(7)(8)(9),微积分学,第八章 无穷级数,习题课
29、,1、常数项级数,级数的部分和,定义,级数的收敛与发散,性质1:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.,性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.,性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.,性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和.,级数收敛的必要条件:,收敛级数的基本性质,常数项级数审敛法,正项级数,任意项级数,5.比较法,6.比值法,7.根值法,4.绝对收敛,4.莱布尼茨定理,1.,交错级数,5.条件收敛,定义,2、正项级数及其审敛法,充分必要条件:,(1)比较审敛法,比较审敛法的极限形式:,定义 正、负项相间的级数称为交错级数.,3、交错级数及其审敛法,定义 正
30、项和负项任意出现的级数称为任意项级数.,4、任意项级数及其审敛法,5、函数项级数,(1)定义,(2)收敛点与收敛域,否则称为发散点.,所有发散点的全体称为发散域.,3.和函数:,(定义域是?),(1)定义,5、幂级数,收敛区域,发散区域,发散区域,O,2.和函数的分析运算性质:,且收敛半径仍为R.,2.和函数的分析运算性质:,且收敛半径仍为R.,2.和函数的分析运算性质:,6、幂级数展开式,(1)定义,(3)展开方法,a.直接法,b.间接法,根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.,(4)常见函数展开式,典型例题,例1,判别下列级数的收敛性:,解,所以原级数发散,解,解,(88八3),解,再根据比较判别法，,原级数收敛,由比值审敛法知,解,例3,(96二3),下列各选项正确的是（）.,解,(95二3),例4,选(C).,解,例5,(00二3),证,例9,解,例11,(92一3),例5,解,(1x1).,解,例12,解,例14,(94三5),复数的定义：,记,此方程虽然在实数范围内无解，但,则方程在复数范围内有解,是一个数，也是一个复数,这里 是一个常数,解,方程,解:,例2,
