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1、高 等 数 学,主讲人 宋从芝,河北工业职业技术学院,本讲概要,正项级数的收敛性判别法交错级数的收敛性判别法绝对收敛与条件收敛,12.2 数项级数的收敛性判别法,根据这一准则，,则称该级数为正项级数.,由于,即正项级数的部分和数列是一个单调增的数列.,我们知道，单调有界数列必有极限.,我们可得到判定正项级数收敛性的一个定理.,一.正项级数的收敛性判别法,定义1,定理1 正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有界.,例 1 试判定正项级数,即其部分和数列有界，,因此正项级数收敛。,例 1 试判定正项级数,解 由于该级数为正项级数，,且部分和,定理 2(比较判别法)设有两个正项级数,那么:,例 2
2、 讨论级数,此级数称为 p 级数.,其中 p 为正常数。,解 当 p=1 时，,p 级数,发散.,当 p 1 时，,而调和级数发散，,这时 p 级数发散.,即图 中带阴影线的面积和.,当 p 1 时，,观察其前 n 项和,对于每一个确定的 p 值，,于是由定理 1 可知，这时 p 级数收敛.,根据定积分的几何意义，,显然,所以部分和数列有界.,综上所述可知:p 级数当 p 1 时发散;p 1 时收敛.,例 3,证 利用比较判别法.,注意到,根据级数性质 2 知道，,例 4 试判定,解,所给正项级数收敛.,仔细分析例 3 与例 4，,我们就会发现，,或无理式时，,该正项级数收敛，,否则发散.,而
3、其分子分母都是,n 的多项式(常数是零次多项式),只要分母的最高次数高出分子最高次数一次以上,(不包括一次)，,例 5 判定,练习 试判定以下正项级数的收敛性:,分子是 n 的一次多项式，,解(1)因为通项的分母中，n 的最高次数为二次，,分母仅比分子高一次，故该级数发散.,其中分母 n 的最高次数为 次，分子是零次，分母比分子高 次，,定理 3(达朗贝尔比值判别法)设有正项级数,那么,(1)当 1 时级数收敛;,(2)当 1 时级数发散;,(3)当=1 时级数可能收敛，也可能发散.,例 6 试证明正项级数,证 利用比值审敛法，,因为,所以级数收敛.,这样的任意项级数就叫做交错级数.,二、交错
4、级数收敛性判别法,在级数 中，总含有无穷多个正项和负项叫任意项级数.,设交错级数,定理 4(莱布尼茨收敛判别法),例7 试判定交错级数,例 7 试判定交错级数,解,所以由交错级数判别法可知，,例 7 试判定交错,解 在利用交错级数判别法时，,对于条件(1)，,有时可利用导数工具来判断.,因为,例8 试判定交错,由此可以推得,绝对收敛.,定理5,三、绝对收敛与条件收敛,定义3,例 9 试判定级数,解 考察级数,因此由定理 5 可知该级数收敛.,条件收敛.,利用正项级数比值判别法，,是收敛的，,小结 正项级数的收敛性判别法 交错级数的收敛性判别法 绝对收敛与条件收敛 作业 习题12.2 1，2，3,Thank You!,
