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1、第七章 椭球面上的测量计算,地球椭球的基本几何参数及相互关系椭球面上的常用坐标系及其相互关系 椭球面上的几种曲率半径 椭球面上的弧长计算大地线将地面观测的方向值归算到椭球面将地面观测的长度归算到椭球面椭球面上三角形的解算 大地主题解算的高斯平均引数公式,1,1地球椭球的定义及其几何意义；2常用测量坐标系统的建立及其在控制测量中的应用；3各种测量坐标系统之间的相互转换；4椭球面上几种曲率、弧长、大地线的计算；5地面测量值（水平方向和边长）归算到椭球面的方法。,知识点及学习要求,难点在对本章的学习中，有大量的公式推导与应用。各种常用测量坐标系统的建立与相互转换；几种常用的椭球计算公式；地面观测值归
2、算到椭球面的方法与计算。,1.地球椭球的基本几何参数,7-1地球椭球的基本几何参数及相互关系（了解）,椭圆的长半轴：a椭圆的短半轴：b椭圆的扁率：,五个基本几何参数,椭圆的第一偏心率：,椭圆的第二偏心率：,a、b称为长度元素,扁率反映了椭球体的扁平程度,e和e反映椭球体的扁平程度，偏心率越大，椭球愈扁,决定旋转椭球的形状和大小，只需知道五个参数中的两个就够了，但其中至少要有一个长度元素（如a或b）。为简化书写，常引入以下符号和两个辅助函数：,注 意,式中，W 第一基本纬度函数，V 第二基本纬度函数。,我国所采用的的1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数；以后采用的1980国家大地坐标
3、系应用的是1975国际椭球参数；而GPS应用的是WGS-84系椭球参数。,2.地球椭球参数间的相互关系,同理可得：,7-2椭球面上的常用坐标系及其相互关系（重点）,1.常用的四种坐标系,大地坐标系、空间直角坐标系（大地测量中两种基本坐标系）子午平面直角坐标系大地极坐标系,1）大地坐标系,P点的子午面NPS与起始子午面NGS所构成的二面角叫做P点大地经度，P点的法线Pn与赤道面的夹角B叫P点的大地纬度，P点的位置用L、B表示。,若P点不在椭球面上，还要一个参数：大地高H来表示点位。它与正常高及正高的关系为：,2）空间直角坐标系,以椭球中心O为原点，起始子午面与赤道面交线为X轴，在赤道面上与X轴正
4、交的方向为Y轴，椭球体的旋转轴为Z轴，构成右手坐标系O-XYZ，在该坐标系中，P点的位置用X、Y、Z表示,3）子午面直角坐标系,设P点的大地经度为L，在过P点的子午面上，以子午圈椭圆中心为原点，建立x，y平面直角坐标系。在该坐标系中，P点的位置用L，x，y表示,4）大地极坐标系,M为椭圆体面上任意一点，MN为过M点的子午线，S为连结MP的大地线长，A为大地线在M点的大地方位角。以M为极点、MN为极轴、S为极径、A为极角，就构成了大地极坐标系。P点位置用S、A表示。,椭球面上的极坐标（S、A）与大地坐标（L、B）可以互相换算，这种换算叫大地主题解算。,2、各种坐标系间的关系,1）子午平面直角坐标
5、系同大地坐标系的关系,过p 点作法线Pn，它与x 轴之夹角为B，过点作子午圈的切线TP，它与x 轴的夹角为（90+B）-该角的正切值为曲线在P点处切线的斜率.,设Pn=N，则有：,一个有用的结论推导：,2）空间直角坐标系与子午面直角坐标系的关系,3）空间直角坐标系与大地坐标系的关系,当P点位于椭球面上时：,当P点不在椭球面上时：,几个基本概念：法截面：过椭球面上任意一点可作垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面就叫法截面。法截线（法截弧）：法截面与椭球面的交线。卯酉圈：过某点法线的无数个法截面中，与子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合圈就称为卯酉圈。,7.3椭球面上的几种曲率半径（重点）
6、,1、子午圈曲率半径,2、卯酉圈曲率半径,过P点作以O为中心的平行圈PHK的切线PT，该切线位于垂直于子午面的平行圈平面内。因卯酉圈也垂直于子午面，故PT也是卯酉圈在P点处的切线，即PT垂直于Pn。所以PT是平行圈PHK及卯酉圈在P点处的公切线。麦尼尔定理：假设通过曲面上一点引两条截弧，一条为法截弧、一条为斜截弧，且在该点上这两条截弧具有公共切线，这时斜截弧在该点的曲率半径等于法截弧的曲率半径乘以两截弧平面夹角的余弦。又因为平行圈平面与卯酉圈平面之间的夹角即为大地纬度B，所以有：,平行圈半径r就等于P点的横坐标x（子午面直角坐标系），即：,3、任意法截弧的曲率半径,当A=0或180时，RA的值
7、最小，此时R0=M（子午曲率半径）当A=90或270时，RA的值最大，此时R90=N（卯酉圈曲率半径）；当A由090时，RA之值由MN；当A由90180时，RA之值由NM。RA值的变化是以90为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。,4、平均曲率半径,M、N、R的关系：NR M,只有在极点上，它们才相等，且均等于极曲率半径c，即：,由于RA的数值随方位A的变化而变化，给测量带来不便，在测量工作中，往往根据一定的精度要求，在一定范围内，把椭球面当作球面来处理，为此，就要推求该球面的曲率半径-平均曲率半径就是过椭球面上一点的一切法截弧(02），当其数目趋于无穷时，它们的曲率半径的算术平均值的极限，就称为平
8、均曲率半径，用R表示。,7.4 椭球面上的弧长计算,1.子午线弧长计算公式,将积分因子按二项式定理展开为级数形式,将正弦的指数函数化为余弦的倍数函数,2.平行圈弧长公式,旋转椭球体的平行圈是一个圆，其半径就是圆上任意一点的子午面直角坐标x：,如果平行圈上有两点，其经差，可写出平行圈弧长公式：,3.子午线弧长和平行圈弧长变化的比较,单位纬差的子午线弧长随B的增大而缓慢地增大；而单位经差的平行圈弧长则随B的增大而急剧缩短。同时还知，子午弧长1约为110KM，1约为1.8KM，1约为30M；而平行圈弧长仅在赤道附近才与子午线弧长大体相当，随着B的增大它们的差值愈来愈大。,7.5 大地线,1.相对法截
9、线的概念,（1）纬度不同的两点，法线必交于旋转轴的不同点；（2）椭球面上一点的纬度愈高，法线与旋转轴的交点愈低；（3）当两点的纬度不同，又不在同一子午圈上时，这两点的法线将在空间交错而不相交。因此当两点不在同一子午圈上，也不在同一平行圈上时，两点间就有二条法截线存在。,首先明确以下三点：,假定经纬仪的纵轴同A，B两点的法线重合（忽略垂线偏差），如此以两点为测站，则经纬仪的照准面就是法截面。用A点照准B点，则照准面 同椭球面的截线为，叫做A点的正法截线，或B点的反法截线；同理，由B照A点，则照准面 同椭球面的截线为BbA，叫做B点的正法截线，或A点的反法截线。因A，B的法线互不相交，故这两条法截
10、线不重合。我们把 和BbA叫做A、B两点的相对法截线。,AB方向在不同象限时，正反法截线的关系图,当A、B两点位于同一子午圈或同一平行圈上时，正反法截线则合二为一，这是一种特殊情况。而通常情况下，正反法截线是不重合的。因此在椭球面上A、B、C三点处所测得的角度（各点上正法截线之夹角）将不能构成闭合三角形。为克服这个矛盾，在两点间另选一条单一的大地线代替相对法截线，从而得到由大地线构成的单一的三角形。,2、大地线的定义和性质,椭球面上两点间的最短曲线叫做大地线。,大地线是椭球面上两点间唯一最短线，而且位于相对法截线之间，并靠近正法截线，它与正法截线间的夹角为：,在一等三角测量中，可达千分之四秒，
11、可达千分之一二秒,大地线与法截线长度之差只有百万分之一毫米，所以在实际计算中，这种长度差异可以忽略不计。但是，根据大地线的性质，在椭球面上进行测量计算时，应以两点间的大地线为依据。在地面上测得的方向、距离等应归算到相应大地线的方向、距离。,3、大地线的微分方程和克莱洛(克莱劳)方程,1）大地线微分方程:表达dL，dB，dA与dS的关系式。,dS,2）克莱洛方程：,代入,两边积分得：,上式表明：在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数。,利用这个关系式可以检查纬度与方位角计算的正确性,7.6 将地面观测的方向值归算到椭球面（重点）,1、将地面观测的水平
12、方向归算至椭球面-三差改正,归算中两个基本要求：（1）以椭球面的法线为基准；（2）将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素。,将水平方向归算至椭球面，包括垂线偏差改正、标高差改正及截面差改正，习惯上称此三项为三差改正。,垂线偏差改正的计算公式,1）垂线偏差改正,把以垂线为依据的地面观测的水平方向值归算到以法线为依据的方向值而应加的改正数称为垂线偏差改正。,2）标高差改正,标高差改正：由照准点高度引起的改正前面已得出结论：不在同一子午面或不在同一平行圈上的两点的法线是不共面的。因此，当进行水平方向观测时，如果照准点高出椭球面某一高度，则照准面就不能通过照准点的法线同椭球面的交点，由此引起的方向
13、偏差的改正称标高差改正，以 表示。,标高差改正主要与照准点的高程有关。,令：,3）截面差改正,将法截弧方向化为大地线方向应加的改正叫截面差改正,截面差改正主要与测站点至照准点间的距离S有关。,令：,4）三差改正的计算,各等三角测量在归算时对取位的要求：一等需算至0.001；二等为0.01；三等和四等为0.1。,在一般情况下，一等三角测量应加三差改正；二等三角测量应加垂线偏差改正和标高改正，而不加截面差改正；三等和四等三角测量只有在 或H2000m时，才分别考虑加垂线偏差改正和标高差改正。,2、将天文方位角归化为大地方位角-起始方位角（了解）,背景：在布设国家天文大地网时，为了控制三角网中方位角
14、传算误差的积累，要求在一等三角锁的两端和中央，以及二等网的中间等处，都要在起始边的两个端点上，用天文观测的方法测定它们的天文经度、天文纬度和该边的天文方位角(包含测站垂线的子午面与测站垂线和照准面所张成的垂直面的夹角)。在特种工程测量控制网中，有时也有这样的要求。天文方位角是以测站的垂线为依据的，因此必须将它归算至椭球面以测站点相应的法线为依据的大地方位角A，这种归算又称起始方位角的归算。,当照准点目标高度不大时，天顶距Z接近于90时，垂线偏差改正数可勿略不计，因此上式可写为：,上式又称为拉普拉斯方程式，大地方位角又叫拉普拉斯方位角，在三角点上观测天文经度、天文纬度时，该点叫拉普拉斯点。,3、
15、观测天顶距受垂线偏差影响的改正（了解）,垂线偏差在测线上的分量：,A为测站点至照准点的大地方位角。,利用上式公式计算出的大地天顶距Z可用于计算高差，此高差称为大地高差。三角高程测量的精度是有限的，若提高其计算精度，必须设法克服大气折光的影响，同时要在天顶观测值中引入垂线偏差改正数。,7.7 将地面观测的长度归算到椭球面（重点）,1、基线尺量距的归算,1）垂线偏差对长度归算的影响:,此项改正数值一般比较小，是否需要应结合测区及计算精度要求的实际情况进行具体分析。,2）高程对长度归算的影响：,将上式展开级数，取至二次项,2、电磁波测距的归算,前提：1)在椭球面上两点间大地线长度与相应法截线长度之差
16、是极微小的，故可忽略不计，这样可将两点间的法截线长度认为是该两点间的大地线长度；2)两点间的法截线长度与半径等于其起始点曲率半径的圆弧长相差也很微小(如当S=640KM时，之差等于0.3米；S=200KM时，之差等于0.005m)。由于工程测量中边长一般为几公里，最长也不过十几公里，因而，这种差异又可忽略不计。因此所求的大地线长度可以认为是半径RA相应的圆弧长。,简化后：,7.8 椭球面上三角形的解算（重点）,1、用勒让德尔定理解算球面三角形,假设：半径为140KM范围内的椭球面可当作球面上的一部分看待。计算表明：当三角形边长小于240KM时，就可把它当作球面三角形解算，两者对应的边长相等，对
17、应角之差小于0.001。,勒让德尔定理：如果平面三角形和球面三角形对应边相等，则平面角等于对应球面角减去三分之一球面角超。,定理表明：如果球面三角形的各角减去三分之一球面角超，就可得到一个对应边相等的平面三角形，因此就可按平面三角形的解法解算此三角形，所得到的边长即为球面边长（同时也是椭球面边长），从而达到解算球面三角形的目的。,F为平面三角形的面积。,2、球面角超的计算：,f值可以以纬度为引数，在专门的数表中查取。,化算平面角需要用球面角超，而球面角超的计算又需要用平面角，因此可直接用球面角代替平面角计算球面角超，虽然带有误差，但研究表明：当边长不大于90km时，这种误差小于0.0005，可
18、忽略。,7.9 大地主题解算的高斯平均引数公式（了解）,如图所示，已知P1点的大地坐标（），P1至P2点的大地线长S及其大地方位角A12，计算P2点的大地坐标（）和大地线S在P2点的反方位角A21，这类问题叫做大地主题正解。如果已知P1和P2点的大地坐标（）和（），计算P1至P2点的大地线长S及其正、反大地方位角，这类问题叫做大地主题反解。,地球椭球的基本几何参数及相互关系椭球面上的常用坐标系及其相互关系椭球面上的几种曲率半径椭球面上的弧长计算大地线将地面观测的方向值归算到椭球面将地面观测的长度归算到椭球面）椭球面上三角形的解算大地主题解算的高斯平均引数公式,（了解）,（掌握四种常用坐标系的建立）,（掌握子午圈，卯酉圈的概念及其曲率半径的特点）,（了解两种基本弧长的计算与纬度的关系）,（掌握相对法截线的概念及产生原因，大地线的性质）,（掌握三差改正产生的原因）,（了解计算公式，掌握与归算有关的元素等）,（掌握解算原理）,（了解概念）,本章小结：,
