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1、概率论与数理统计目录,第一章随机事件及其概率1.1 随机事件及其运算1.2 随机事件的概率1.3 条件概率与全概率公式1.4 随机事件的独立性第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布律,2.2 随机变量的分布函数2.3 连续型随机变量及其密度2.4 几种常见的连续型随机变量2.5 随机变量函数的分布2.6 二维随机变量及其联合分布函数2.7 二维离散型随机变量2.8 二维连续型随机变量,概率论与数理统计目录,2.9 随机变量的相互独立性2.10 两个随机变量函数的分布第三章 随机变量的数字特征3.1 数学期望3.2 方差3.3 协方差与相关系数第四章 大数定律与中心极限定理,概率论
2、与数理统计目录,4.1 大数定律4.2 中心极限定理第五章 统计量及其分布5.1 总体和随机样本5.2 统计量与抽样分布第六章 参数估计6.1 点估计,概率论与数理统计目录,6.2 估计量的评价标准6.3 区间估计6.4 正态总体参数的区间估计第七章 假设检验复 习,概率论与数理统计目录,6,1.1 随机事件及其运算,1 概率论中一般研究的是随机试验,以后简称试验,用字母E,E1,E2,表示。理解教材P3例子。2.基本事件和样本空间是集合，样本点是元素。3.样本空间可能会随着试验目的的不同而不同(如例2，考虑正面出现的次数).,Definition 1.1现象(确定性现象,随机现象)统计规律性
3、试验随机试验：1.可以在相同的条件下重复进行；每次实验的可能结果不止一个，并且能事先明确实验的所有可能结果；3.进行一次实验之前不能确定哪一个结果会出现。,一、基本概念,Definition 1.2将随机试验 E 的每一种结果称为该试验的基本事件,其所有可能结果组成的集合称为 E 的样本空间,记为 或U.样本空间的元素,即 E 的每个结果,称为样本点,记为 或e.,7,1 事件中的样本点一般是满足某种条件的人们常关心的某些样本点。2.理解事件发生与否的意义：随机事件发生当且仅当它所包含的一个样本点在试验中出现。3.注意应用事件发生与否来理解事件间的关系和运算结果。4.A B C?5.牢记差事件
4、的几种等价形式。,Definition 1.3 样本空间的子集称为随机事件(简称事件).常用大写字母A,B,C,D表示。注意理解下述概念的区别：随机事件:样本空间的子集；基本事件:由一个样本点组成的单点集；必然事件:样本空间 本身；不可能事件:空集。,1.包含：AB(B发生则A发生)2.相等：A=B(B发生当且仅当A发生)3.和(并)事件：AB(A、B至少发生一个)4.积(交)事件：AB(A、B都发生)5.差事件：A-B=A-AB=AB6.互斥事件：AB=7.对立事件：AB=,AB=,此时A=B,B=A.8.完备事件组：样本空间的一个划分。,二、随机事件间的关系,8,1 运算律的作用是化为需要
5、的形式。2.对偶律的作用是交并互转。,1.交换律：AB=BA,AB=BA2.结合律：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C3.分配律：A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC),三、随机事件间的运算,4.对偶律：,Example 1.1有一个问题,甲先答,若甲答错,由乙答,若记事件A=甲答对,事件B=乙答对,求此问题最终由乙答出的表示法.,Example 1.2教材P10例6.,Example 1.3教材P10例7.,9,1.2 随机事件的概率,频率性质：非负性、规范性、可加性。2.频率具有“稳定性”，即第一节所讲的“统计规律性”，见教材P15。3.概率的统计定义可以帮助
6、理解概率，但利用这个定义求解具体问题的概率比较困难。4.概率也有相应的3条性质。,一、概率的统计定义,Definition 1.4 在相同的条件下,进行了n 次试验,在这 n 次试验中,事件A发生的次数 nA称为事件 A 发生的频数.比值 nA/n 称为事件A 发生的频率,并记成 fn(A).,Definition 1.5 设随机事件E的重复次数n充分大时,事件A发生的频率fn(A)总在区间0，1上的一个确定的常数p附近作微小摆动,并逐渐稳定于p,则称常数p是事件A 发生的概率,记为P(A).,10,1.计算时一定要认清试验结果(基本事件)是等可能性的本质.例：掷二枚骰子,求事件A为出现点数之
7、和等于3的概率。2.一般来说求分母相对简单,但分子在特定要求下较繁琐.3.为了以后计算的方便我们首先复习：排列与组合的基本概念。,Definition 1.6 若试验具有下列两个特征：样本空间的元素只有有限个；每个样本点发生的可能性相同.则称此试验为古典概型试验(等可能概型)。,二、概率的古典定义,乘法原理:设完成一件事需分两步,第一步有n1种方法,第二步有n2种方法,则完成这件事共有n1n2种方法.,Definition 1.7设古典概型试验E的样本空间中包含n个样本点，随机事件A中包含m个样本点，则事件A发生的概率 P(A)=m/n.,从n个中抽取k个的排列组合公式:排列:Pkn=Akn(
8、无重复),nk(有重复);组合:Ckn,11,1.牵涉到排列组合的概率问题一般都是古典概型，可按定义求解概率。2.抽签原理：抽到签与抽签的次序无关。3.此模型称为超几何分布。,Example 1.5一口袋装有 a 只白球,b 只红球,求无放回取球中第k次取出的是白球的概率.,模型一：随机取球模型,Example 1.4一口袋有外型相同的10个球，4个白球，6个红球,现从中任取3个，试求：取出的3个球都是红球的概率；取出的3个球中恰有一个是白球的概率。,Example 1.6设有 N 件产品,其中有 M 件次品,今从中任取 n 件,问其中恰有 k(k M)件次品的概率是多少(不放回抽样)?,12
9、,Example 1.7 将 n 只球随机的放入 N(N n)个盒子中去,求每个盒子至多有一球的概率(设盒子容量不限）(P22，例6).,Example 1.8 将 15 名新生随机地平均分配到 3 个班中去,这15 名新生中有 3 名是优秀生.问:(1)每个班各分配到一 名优秀生的概率是多少?(2)3 名优秀生分配到同一个班级的概率是多少?,模型二：分房问题,1.生日问题：n个人的班级里没有两人生日相同的概率是多少？,13,1.测度可能是长度、面积、体积，甚至是质量。,Definition 1.8 若试验具有下列两个特征：样本空间的元素有无限个；每个样本点的发生具有某种等可能性.则称此试验为
10、几何概型试验。,三、概率的几何定义,Definition 1.9 设试验的每个样本点是等可能落入区域上的随机点M，且D()，则M点落入子区域D(事件A)上的概率为:P(A)=m(D)/m().其中m()为自然测度.,14,Example 1.10(会面问题)甲、乙二人约定在点到点之间在某地会面,先到者等30分钟后即离去，设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的,且二人互不影响.求二人能会面的概率.,Example 1.9(对表问题).小明的表停了，他打开收音机，想听电台定点报时，求等待时间不超过10分钟的概率.,1.一维情形：测度是长度。2.二维情形：测度是面积。,15,1.这3条公理是基础，
11、应用最多的是由此推出的性质。,四、概率的公理化定义,Definition 1.10 设 是给定试验E的样本空间,对于任一事件 A 赋予一个实数P(A),若P(A)满足非负性：0 P(A)1；规范性：P()=1；可列可加性：当事件A1,A2,An两两互斥时 P(A1+A2+An+)=P(An)则称P(A)为事件A的概率。,16,2.还可以考虑n个事件的情形，见教材P30。,概率的性质：,1.P()=0;2.若A1,A2,An两两互斥，则 P(A1+A2+An)=P(An)3.P(A)=1P(A)4.若AB,则P(A B)=P(A)P(B)5.P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)推广:P(AB
12、C)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AB)P(AB)+P(ABC),17,Example 1.11 设在12件产品中有3件次品，现 从中随机抽取5件，试求：取出的5件产品中至少有一件次品的概率；取出的5件产品中至多有一件次品的概率。,Example 1.12 在 1099 的整数中随机的取一个数，问取到的整数能被 2 或 3 整除的概率是多少？,18,1.3 条件概率与全概率公式,1.条件概率等同于样本空间缩小后求解的概率。,一、条件概率,Example 1.12 设箱内有100件电子元件，其中有甲厂生产的正品30件，次品5件，乙厂生产的正品50件，次品15件。现从箱内任取一件产品
13、，设A=取到甲厂的产品，B=取到次品，试求：取到甲厂的产品且为次品的概率；已知取到甲厂的产品下，取到次品的概率。,19,2.条件概率仍是一种概率，具有概率的一般结论(3条公理,5条性质)。3.求条件概率的典型语句形式：将条件语句(若,且,已知)删去,仍然是一个完整的概率问题.,一、条件概率,Definition 1.11 在E的样本空间上有两事件A,B,且P(A)0,则称P(B|A)=P(AB)/P(A)为已知事件A 发生条件下,事件B发生的条件概率.,Example 1.13 某灯泡按设计要求使用寿命超过10年的概率为0.8，超过15年的概率为0.5，试求该灯泡在使用10年之后，将在5年内损
14、坏的概率是多少？,20,乘法公式不仅仅是条件概率定义的简单变形,它还给出了求交集概率的另一种求法。2.注意Example 1.14 将并集转交集的方法：对偶公式。,若P(A)0，则P(AB)=P(A)P(B|A)若P(B)0，则P(AB)=P(B)P(A|B)称上式为概率的乘法公式。,推广到多个事件：当P(A1A2An-1)0时，P(A1A2 An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An-1),二、乘法公式,Example 1.14 小明忘记电话号码的最后一个数字，因而任意地按最后一个数，试求：不超过三次能打通电话的概率；若已知最后一个是偶数，则不超过三次能打通
15、电话的概率。,21,运用全概公式的关键：找到样本空间的一个恰当划分。2.当已知试验结果并且要推测“原因”时，一般使用逆概公式。,三、全概率公式与贝叶斯公式,Theorem 1.1 设E的样本空间为，事件A1A2 An为的一个划分，且P(Ai)0,(i=1,2,n)，则对任一事件B，有：,全概率公式:,贝叶斯公式:（逆概公式）,Example 1.15 一商店销售的某公司三个分厂生产的同型号空调，而这三个分厂的空调比例为3:1:2，它们的不合格率依次为0.01，0.12，0.05。某人从这批空调中任选一台，试求：此人购得不合格空调的概率；若已知购到不合格空调，则这空调是哪个分厂生产的可能性较大？
16、,22,Example 1.16（肺结核确诊率问题）假设患肺结核的人通过接受胸部透视，被诊断出的概率为0.95；而未患肺结核的人通过接受胸部透视，被诊断出的概率为0.002.又设某城市成年居民患肺结核的概率为0.1%，若从中任选一人，通过透视被诊断为肺结核，则此人确实患有肺结核的概率为多少？,23,1.4 随机事件的独立性,1.独立可直观解释为：A发生对B无影响.类似,A不发生对B也无影响,即若P(A)0,P(B|A)=P(B)。2.注意独立、互斥、对立概念的区别。,一、事件的相互独立性,Definition 1.13 对于事件A,B,若P(AB)=P(A)P(B)则称事件A,B相互独立.,T
17、heorem 1.2 设P(A)0,则A、B相互独立的充要条件是 P(B|A)=P(B).,两个事件相互独立的定义,问题：设袋中有外型相同的6个红球，4个白球，现有放回地抽取两次，每次抽取一个。A=第一次取到白球，B=第二次取到白球，求P(A)，P(B)，P(AB)，P(B|A)。,24,3.用定义判断独立性常用在理论推导和证明，而在实际问题中，往往根据问题的实际意义来判断独立性。,Theorem 1.3 下列命题等价(独立性性质)(1)A与B相互独立;(2)A与B相互独立；(3)A与B相互独立;(4)A与B相互独立。,Example 1.17设甲乙两个射手，他们每次射击命中目标的概率分别为0
18、.8，0.7。现两人同时向一目标射击一次，试求：(1)目标被命中的概率；(2)若已知目标被命中，则它是甲命中的概率是多少？,25,Definition 1.14 对于事件A,B,C，若下面四个式子都成立 P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(AC)=P(A)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C)则称事件A,B,C相互独立.,三个事件相互独立的定义,n个事件相互独立的定义,Definition 1.15 设有n个事件A1,A2,An,k为任意整数,且1k n,若恒有 P(Ai1Ai2 Aik)=P(Ai1)P(Ai2)P(Aik)成立,则称n个事件A1,A2,
19、An相互独立.,1.独立条件下,能把积事件的概率化为概率的积。2.一共有2n-n-1个表达式,必须同时成立,思考P53.4。3.n个事件两两独立与n个事件相互独立的区别。,26,1.对 n个事件，Th 1.3仍成立，只需将其中任意s个事件换成它们的对立事件即可。,Theorem 1.4 设n个事件A1,A2,An相互独立，k,s为任意整数,且1k s n,则 P(Ai1AikAi(k+1)Ais)=P(Ai1)P(Aik)P(Ai(k+1)P(Ais),Example 1.20设三门高炮一齐向一架敌机各发一炮,其命中率分别为15,20,25.试求：(1)恰有一门炮命中敌机的概率；(2)至少有一
20、门炮命中敌机的概率.,Example 1.21（系统的可靠性问题）P48.例4.,27,1.这里“重复”是指每次试验中事件 A 发生的概率(即每次试验中“成功”的概率)不变。2.对伯努利概型，关心的是n次试验中，A发生的次数。,二、伯努利概型(Bernoulli)与二项概率公式,Def 1.15 如果随机试验E只有两个结果A 与A,则称E为Bernoulli试验.若独立、重复地进行n次Bernoulli试验,则称该试验为n重Bernoulli 试验.,Theorem 1.6（二项概率公式）在n重Bernoulli 试验中,设事件A发生的概率为p,则事件A 恰好发生k次的概率为 Pn(k)=Ck
21、npk(1-p)n-k,k=0,1,2,n.,Example 1.23 某射手每射一发子弹的命中率均为p，现对同一目标重复射击3发子弹，求：恰有2发命中的概率。,28,Example 1.24 某车间有5台同型号的缝纫机，每台机由于种种原因时常需停机，设各机停车或开车相互独立，且停车概率为0.3，求任何时刻：恰有一台机处于停机状态的概率；至少有一台机处于停机状态的概率；至多有一台机处于停机状态的概率。,Example 1.25设有批量很大的一批产品，次品率为0.005，现抽取100件。试求取出的100件产品中至少有10件次品的概率。,1.当产品数很大，抽样数相对较小时，无放回抽样近似可看作有放
22、回抽样。,29,2.1 离散型随机变量及其分布律,1.随机变量的取值伴随一定的概率.是随机变量与普通函数的本质区别。2.随机变量常用大写英文字母X,Y,Z或希腊字母表示。随机变量的具体取值用小写字母x,y,z表示。3.随机变量的取值可以是有限的,可列的,或不可列的。,一、随机变量的定义,Example 2.1袋中有3只黑球,2只白球,从中任意取出3只球,观察取出的3只球中的黑球的个数.将黑球的个数记为X,则X是变量,且取值是随机的.,Definition 2.1 设随机试验E 的样本空间=,若对于每一个样本点，都由唯一确定的实数 X()与之相对应，则称X()是一个随机变量，简记为X。,无论随机
23、试验的结果是否直接表现为数量，我们总是可以使其数量化，使随机试验的结果对应于一个数，从而引入随机变量的概念。如掷一枚硬币，规定正面对应于1，反面对应于0。,引入随机变量后，随机试验中出现的各个事件，就可通过随机变量的关系式表达出来了。,30,1.离散型随机变量的概率问题由其取值及其每个取值对应的概率决定。2.分布律也可以表现为表格形式。,二、离散型随机变量及其分布律,Definition 2.2 如果随机变量的取值为有限个或可列个,则称它是离散型随机变量.,Definition 2.3设离散型随机变量 X 的所有可能取值为x1,x2,xi,，对应的概率为 pi=P(X=xi)(i=1,2,)则
24、称其为离散型随机变量X的概率分布律,简称为分布律。,分布律的性质：(1)pi0,(i=1,2,),(2)pi=1.,31,3.注意这个题型,涉及性质的应用.,Example 2.2袋中有4个红球，1个白球。从中随机抽取两次，每次取一个，令X=取出的白球数。试求 X 的分布律：(1)有放回；(2)无放回。,Example 2.3设随机变量 X 的分布律为：P(X=n)=c/4n(n=1,2,),求常数c.,32,1.两点分布的背景:伯努利试验。2.二项分布的背景：n重伯努利试验。3.超几何分布的背景：无放回抽样检查。4.当N10n时：超几何分布二项分布。5.当试验次数n很大时，稀有事件A发生的次
25、数可以近似用泊松分布来描述，而=np为n次中A发生的平均次数。,1.两点分布:,三、常用的离散型随机变量,Example 2.4一张考卷上有5道选择题,每道题列出4个可能答案,其中只有一个答案是正确的。某学生靠猜测至少能答对4道题的概率是多少?,3.超几何分布:,4.泊松分布：,Example 2.5设随机变量 X 服从参数为的泊松分布,且已知P(X=1)=P(X=2),试求P(X=4).,P(X=k)=ke-/k!,(k=0,1,),记作P(),P(X=k)=CkMCn-kN-M/CnN,(k=0,1,n),P(X=k)=Cknpk(1-p)n-k,(k=0,1,n)记作B(n,p),P(X
26、=k)=pk(1-p)1-k,(k=0,1),记作B(1,p),2.二项分布:,33,1.当n10,p0.1,np5时：二项分布泊松分布。,Example 2.6设有若干台同型车床，各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是 0.01。在通常情况下,一台设备的故障可由一人维修，若由3人负责维修80台车床，求出当车床发生故障时，需要等待维修的概率。,Example 2.7（寿命保险问题）在某保险公司，有2500个同一年龄，同一阶层的人参加了人寿保险。设在一年里每人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日付12元保险费，而在死亡时家属可从公司领2000元。问：(1)保险公司亏本的概率是多少
27、？(2)5年中有2年亏本的概率是多少？(3)保险公司获利不少于10000元的概率是多少？,34,2.2 随机变量的分布函数,1.取值为不可列个情形的随机变量的统计规律无法用第一节概念表达,需引进新的概念。2.注意分布律和分布函数的互转方法.,一、分布函数的概念,Definition 2.4 设 X 是一个随机变量，x 是任意实数,函数 F(x)=P(Xx)称为 X 的分布函数，也记作FX(x).,Example 2.8设随机变量 X 的分布律为：,-1 2 3,(1)求 X 的分布函数并画图；,(2)求 p(X0)，p(-1X3/2),35,1.分布函数能表达所有类型随机变量的概率问题.2.注
28、意这个题型,涉及性质的应用。,二、分布函数的性质,1.0F(x)1;,Example 2.10见教材P71.A.3,Example 2.9 见教材P70.A.1,2.F()=0,F(+)=1;,3.F(x)是单调不减的;,4.F(x)是右连续的.,36,2.3 连续型随机变量及其密度,1.从定义还可看出此时的分布函数是连续的。2.求解连续型随机变量的概率问题只需做到两步：明了密度形式，会求解积分。,一、连续型随机变量的概率密度,Definition 2.5 如果对于随机变量X 的分布函数F(x),存在非负的实值函数 f(x),使得对于任意实数 xR,有,则称X为连续型随机变量，f(x)为X的概
29、率分布密度函数,简称为概率密度或密度。,引例：设随机变量X在0,1上取值，且对于 任意a0,1，概率p(0Xa)与a2成 正比。试求X的分布函数F(x)。,37,1.对连续型随机变量：概率密度是分布函数的导数，分布函数是概率密度的一个原函数。2.概率P与f(x)成正比，但f(x)本身并不表示概率。3.性质5的后式在f(x)的连续点处一定成立,在不连续点处的取值因不影响积分值,故可以任意给定,见P76.例2.,二、密度函数的性质,f(x),1,38,1.求连续型随机变量在某区间上的概率,可不考虑区间的端点。2.考查分段函数积分的计算.,三、连续型随机变量的性质,若X为连续型随机变量,C为任意常数
30、,则 P(X=C)=F(C)F(C0)=0,Example 2.11设 X 是连续型随机变量,密度为,Example 2.12 设连续型随机变量X的密度为,试求X的分布函数。,39,四、离散型与连续型随机变量的比较,40,2.4 几种常见的连续型随机变量,1.若X服从(a，b)区间上的均匀分布，则X出现在(a，b)区间内的概率为1。2.均匀分布随机变量X落入(a，b)子区间上的概率和子区间的位置无关，仅与子区间长度成正比。3.应用：数值计算中，研究四舍五入引起的误差。,Definition 2.6 若随机变量 X 的密度函数为,则称随机变量 X 服从区间(a，b)上的均匀分布.记作 X U(a
31、，b)。,性质：(1)P(Xa)=P(Xb)=0.,41,1.可利用简捷的方式计算概率。,Example 2.14 设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班车,如果某乘客到达此站的时间是 7:00 到7:30之间的均匀随机变量试求该乘客候车时间不超过5分钟的概率。,Example 2.15 设随机变量服从区间(-3，6)上的均匀分布,试求方程 4x2+4x+2=0有实根的概率,42,1.指数分布又称为“永远青年”的分布。2.性质4称为“无记忆性”。3.应用：描述衰老作用不明显的寿命分布；1/为寿命X的平均值。,Definition 2.7 若随机变量 X 的密度函数为,则称随机变量 X 服从
32、参数为的指数分布(0).记作 X E().,性质：,43,Example 2.15 某电子元件的寿命X(小时)满足 X E(1/100)。求5个同类型的元件在使用的前150小时内恰有2个需要更换的概率。,44,1.密度函数的特征：关于x=对称;的大小反映峰值的大小,愈小峰值愈大,随机变量的取值就愈集中.,定义2.8 若随机变量 X 的密度函数为,则称 X 服从参数为(，2)的正态分布,记作 X N(,2).,若=0，2=1,则称N(0，1)为标准正态分布：,45,1.应用标准正态分布密度函数的图形特征容易说明相关结论。2.定理的证明思想和下一节内容息息相关,要掌握。,正态分布的概率计算：,(4
33、)P(|X|a)=2(1(a).,定理 2.1(一般正态分布的标准化),(2)P(X a)=(a)=1(a)；,(3)P(|X|a)=2(a)1；,设XN(0，1)，a0，则：(1)P(X a)=(a)；,46,1.企业管理中，经常应用3-规则进行质量检查。2.这个定义将在第六章经常用到。,设XN(，2)，则,设XN(,2),则 P(-3X+3)=,3-规则：,0.9973,47,例 2.17 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的。设男子身高XN(170,62),问车门高度应如何确定?,1.正态分布的重要性：大量的随机现象服从或近似服从正态分布；当一个量可以看成由
34、许多微小的独立的随机因素作用的总后果，这个量都服从或近似服从正态分布。,48,2.5 随机变量函数的分布,1.离散型随机变量的函数仍然为离散型随机变量，其分布常表现为分布律形式。,一、离散型随机变量函数的分布,例 2.18 设随机变量 X 具有以下的分布律，,试求:(1)Y1=2X+1，(2)Y2=X2 的分布律.,若X的分布律为：,则,49,1.若X连续，则一般Y=g(X)也连续.2.分布函数法：先求Y的分布函数,然后求导。3.掌握变上下限积分求导公式。,二、连续型随机变量函数的分布,分布函数法：,特别：,50,公式法：,1.要注意公式法的条件。,51,例 2.21 P95 A.4,定理 2
35、.2 设 XN(,2)，Y=aX+b(a0)，则：YN(a+b,a22)。,52,2.6 二维随机变量及其联合分布函数,1.(X,Y)应看成一个整体,它的二个分量是有内在联系的。2.从几何上可以将(X,Y)看成二维平面上的一个随机点。,一、二维随机变量的概念,定义 2.10 设=是某一个随机试验E的样本空间，X=X()和Y=Y()是定义在上的随机变量。称有序二元总体(X,Y)为一个二维随机变量(或二维随机向量)，并称X和Y是二维随机变量(X,Y)的两个分量。,举例:(1)某地区学龄儿童的身体发育状况：需采集身高X和体重Y的分布组成二维随机变量(X,Y);,(2)向一平面靶射箭：击中点需用二维随
36、机变量(X,Y)来刻画。,53,1.F(x,y)在点(x,y)处的函数值就是随机点(X,Y)落在以(x,y)为顶点,位于该点左下方的无穷矩形域内的概率。,定义 2.11 设(X,Y)是一个二维随机变量,对于任意一对实数(x,y),称F(x,y)=P(Xx,Yy)=P(Xx)(Yy)为(X,Y)的联合分布函数,简称为分布函数.,一个重要的公式：,二、联合分布函数的定义与意义,54,1.若某二元函数具有这四条性质,则它必是某二维随机变量的分布函数，并且这四条性质缺一不可.2.性质4还给出了由联合分布求分量分布的表达式。3.联合分布包含更多的信息,由联合分布可以求出边缘分布,由边缘分布一般无法求出联
37、合分布.,三、联合分布函数的性质,(2)F(x,y)是变量 x或y 的单调不减右连续函数；,-X的边缘分布函数,-Y的边缘分布函数,55,例 2.23 P99.1,例2.22问二元函数是否可作为某二维随机变量的联合分布函数？,56,2.7 二维离散型随机变量,一、二维离散型随机变量及联合分布律,定义 2.12 如果二维随机变量(X,Y)可能取的值只有有限个或可列个，则称(X,Y)为二维离散型随机变量。,定义 2.13 设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取的值为(xi,yj)，(i=1,2,j=1,2,)则称 PX=xi,Y=yj=pij,(i,j=1,2,)为(X,Y)的联合分布律，或称为
38、(X,Y)的分布律。,57,二维离散型随机变量(X,Y)分布律也可表为：,联合分布律的性质：,58,例 2.23 一个口袋中有外型相同的2红、4白6个球,从袋中不放回地抽取两次球，每次取一个.设X=第一次取得白球的个数,Y=第二次取得白球的个数,试求：(X,Y)的分布律；F(0.5，1)；P(XY).,59,1.试求例2.23中X,Y 的边缘分布律.,二、边缘分布律,定义 2.14 设(X,Y)是二维离散型随机变量，X的分布律：,Y的分布律：,称为(X,Y)关于X的边缘分布律；,称为(X,Y)关于Y的边缘分布律。,60,1.条件分布律仍然是分布律,和一般分布律相比,在形式上多了一个条件.它满足
39、性质：,三、条件分布律,定义 2.15 设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的 j，若PY=yj0，则Y=yj已发生的条件下，X=xi发生的概率：PX=xi|Y=yj=pij/pj(i=1,2,),称为在Y=yj下X的条件分布律；,类似，若PX=xi0，则称 PY=yj|X=xi=pij/pi(j=1,2,)为在X=xi下Y的条件分布律。,例2.24 p104,A.1,61,2.8 二维连续型随机变量,1.和一维情形一样,要求：明了密度的形式会求解积分。2.从定义可看出此时的分布函数关于x或y均是连续的。3.几何上 z=f(x,y)表示空间的一个曲面,P(X,Y)G 表示以 G 为底,以
40、曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积。,一、联合概率密度,定义 2.16 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y),如果存在非负实值函数 f(x,y),使得对于任意实数 x,yR,有,则称(X,Y)为二维连续型随机变量，f(x,y)为(X,Y)的联合概率密度，简称为概率密度或密度。,62,1.性质给出了二维连续型随机变量问题一般和二重积分有关,要熟练求解二重积分.,二、密度函数的性质,63,例 2.25 设二维随机变量(X,Y)的密度为,例 2.26 设二维随机变量(X,Y)的密度为,1,64,1.联合分布包含更多的信息,由联合分布可以求出边缘分布,但由边缘分布一般无法求出联合分布
41、.2.注意求解积分,二维情形最好画出草图。,三、边缘概率密度,例 2.27 设二维随机变量(X,Y)的密度为,试求两个边缘概率密度。,65,1.条件密度仍然是密度,和一般密度函数相比,在形式上多了一个条件。,四、条件概率密度,定义 2.17 设(X,Y)是二维连续型随机变量,对于固定的 y,若fY(y)0,则称f(x|y)=fX|Y(x|y)=f(x,y)/fY(y)为在Y=y下X的条件概率密度；类似,对于固定的 x,若fX(x)0,则称f(y|x)=fY|X(y|x)=f(x,y)/fX(x)为在X=x下Y的条件概率密度.,条件概率密度的性质:,66,定义 2.18 设(X,Y)是二维连续型
42、随机变量,对于固定的 y,若fY(y)0,则称,为在Y=y下X的条件分布函数；类似,对于固定的 x,若fX(x)0,则称,为在X=x下Y的条件分布函数.,1.利用条件密度可以求解形如PXx|Y=y的概率,但要注意形如PXx|Yy的概率求解方法的不同.,67,例 2.28 设二维随机变量(X,Y)的密度为,68,1.若(X,Y)服从区域D上的均匀分布,(X,Y)出现在 D内的概率为1.2.若(X,Y)服从区域D上的均匀分布,则(X,Y)落入D内子区域D1上的概率与D1的位置及形状无关,仅与D1的面积呈正比,比例系数是1/A。3.虽然(X,Y)的联合分布是二维均匀分布,但其边缘分布却不是一维均匀分
43、布.,定义 2.19 设D是平面上的有界区域,面积为A,若随机变量(X,Y)的密度函数为,则称随机变量(X,Y)服从区域D上的均匀分布.,五、两种重要的二维连续型分布,例 2.29 设区域D由y=x2及y=x所围,随机变量(X,Y)服从区域D上的均匀分布,求(X,Y)的联合概率密度和各自的边缘概率密度.,y=x,y=x2,1,69,1.二维正态分布的密度不要求强记;但要理解5个参数范围及其顺序.2.通过定理要掌握：二维正态分布的边缘分布是一维正态分布,并且参数有相应的对应关系；两个边缘分布和第5个参数没有关系；联合分布能唯一确定边缘分布,反之不成立。,定义 2.20 若随机变量(X,Y)的密度
44、函数为,则称随机变量(X,Y)服从参数为(1,2,12,22,)的正态分布.记作(X,Y)N(1,2,12,22,).其中,0,20,|1.,定理 2.4 若(X,Y)N(1,2,12,22,)，则X N(1,12)，Y N(2,22).,70,2.9 随机变量的相互独立性,1.可以引申为：由X和Y分布构成的任意事件A与B相互独立。2.由定义易见:在相互独立条件下,联合分布与边缘分布相互决定。3.必须对所有的i，j都成立.,一、随机变量相互独立的定义,定义 2.21 设 X,Y是两个随机变量,若对任意实数x,y,都有 F(x,y)=P(Xx,Yy)=P(Xx)P(Yy)=FX(x)FY(y)则
45、称 X与Y 相互独立，简称X与Y 独立.,二、离散型随机变量独立的充要条件,定理 2.5 若(X,Y)是离散型随机变量，则X与Y相互独立的充分必要条件是：pij=pipj,(i,j=1,2,).,71,1.对于实际问题也可以由实际意义判断独立性。,例 2.30 一个袋中有外型相同的1红、4白5个球,从袋中连抽取两次球，每次取一个.令,现采取：(1)不放回抽取；(2)有放回抽取；试判断X与Y的独立性。,72,1.一般当联合分布函数或联合密度函数能分解成变量x与y各自无关的函数的积,随机变量X与Y相互独立。,三、连续型随机变量独立的充要条件,试判断随机变量X、Y是否相互独立,定理 2.6 若(X,
46、Y)是连续型随机变量，则X与Y相互独立的充分必要条件是：f(x,y)=fX(x)fY(y).在联合密度与边缘密度的所有公共连续点处成立.,例 2.31 设二维随机变量(X,Y)的密度为,定理 2.7 若(X,Y)N(1,2,12,22,)，则随机变量X、Y相互独立的充要条件是=0.,73,2.10 两个随机变量函数的分布,一、离散型情况,令Z=XY,求Z的分布.,例 2.32 设二维离散型随机变量(X,Y)的分布律,1.离散型随机变量的函数仍然为离散型随机变量，其分布常表现为分布律形式,故求出其取值及其对应概率即可。,例 2.33 P.126,3.,74,75,二、连续型情况,例2.34 设X
47、,Y相互独立,XN(0,1),YN(0,1)令Z=(X2+Y2)1/2,求Z的密度函数.,分布函数法：,76,Z=X+Y 的分布,当X,Y相互独立时,有卷积公式:,例 2.35 设X,Y相互独立，XN(0,1)，YN(0,1)令Z=X+Y，求Z的密度函数。,两种常用的分布：,y=z-x,y,x,o,u=z,u,x,o,u=y+x,77,定理 2.8（正态分布的可加性）设X N(1,12),Y N(2,22)，且X，Y相互独立,则XY N(1+2,12+22).,1.可将定理 2.8的结果推广到到n个相互独立随机变量情形。,78,M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布,1.可将该结果推
48、广到到n个相互独立随机变量情形。2.若X,Y不具有独立性也可处理,见P127.B.4.,设X,Y相互独立，分布函数分别为FX(x),FY(y)，求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布.,79,例 2.36 系统L是由两个相互独立的子系统L1,L2并联而成，Li的寿命为随机变量(i=1,2)，试求系统L的寿命Z的密度函数。若系统是串连而成的呢？,80,3.1 数学期望(Mathematical expectation),1.甲,乙两人射击的平均环数反映了两人射击水平的差异。2.定义3.1给出计算均值的条件、方式。,例 3.1 甲,乙进行射击，成绩如下：,一、离散型随机变量数学期望,甲
49、,乙,PX=xi=pi,i=1,2,定义 3.1 设离散型随机变量X的分布律为,EX=xipi,若|xi|pi+,则定义X的数学期望（或均值）为,问谁的枪法准？,81,1.两点分布：XB(1,p)，,几个常用的离散型随机变量的EX:,2.二项分布：XB(n,p)，,3.泊松分布：XP()，,EX=p,EX=np,EX=,82,1.方案好坏在于化验次数多少，可用概率论来解决：从平均次数着手，即化验次数的数学期望。2.当产品总数很大，抽样数相对较小时：无放回抽样有放回抽样。,例 3.2 某城市流行丝虫病，为开展防治工作，要对全城居民验血，现有两种方案：(1)逐个化验；(2)把4个人并为一组，混和化
50、验，若是阴性，则4个人只需化验一次；若是阳性，再对4个人逐个化验，共需5次.假定对每个人来说，化验是阳性的概率为p=0.1，而这些人的反应是相互独立的，问：哪种方案更好？,83,1.定义给出计算均值的前提和方式。2.考虑“绝对收敛”,二、连续型随机变量数学期望,定义 3.2 设连续型随机变量X的概率密度为f(x),84,1.随机变量的参数和数字特征之间有非常重要的关系。,EX=(a+b)/2,1.均匀分布：XU(a,b)，,几个常用的连续型随机变量的EX:,2.指数分布：XE()，,3.正态分布：XN(,2),EX=1/,EX=,85,1.求EY时，不必知道Y的分布,只需已知的X分布。,三、随
