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1、第1章 点和直线,第1章 点和直线,1.1 点的投影,1.2 两点的相对位置,1.3 直线的投影,1.4 线段的实长和对投影面的倾角,1.5 点、直线与直线的相对位置,本章小结,投影法及其分类,投影法及其分类,一、投影法的基本知识,P,投射线,投射中心,投影,A,S,a,投影法的分类：中心投影法和平行投影法,中心投影法,二、中心投影法,投射线都由一点出发的投影法叫,中心投影法，所得的投影叫中心投影。,投射线,物体,投影面,投影,投射中心,S,中心投影法,投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。,度量性较差。,投 影 特 性,物体位置改变，投影大小也改变。,中心投影法立体感强
2、，常用来绘制建筑物,或产品的立体图，也称之为透视图。,平行投影法,三、平行投影法,投射线都互相平行的投影法叫平行,投影法，所得的投影叫平行投影。,平行投影法：,正投影法,斜投影法,平行投影法,投 影 特 性,投影大小与物体和投影面之间的距离无关。,度量性较好。,工程图样多数采用正投影法绘制。以后将,“正投影”简称为“投影”。,投影法小结,投影法,中心投影法,平行投影法,正投影法,斜投影法,画透视图,画斜轴测图,画工程图样及正轴测图,1.1 点的投影,采用多面投影,过空间点A向投影面P作垂线，交点a唯一确定。,点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。,一、点在一个投影面上的投影,a,1.1
3、点的投影,反之，已知投影b，不能确定空间点B。,四个分角,两个互相垂直的平面将空间划分为四个分角：,第一分角、第二分角、第三分角和第四分角。,X,V,H,O,点的三面投影,二、点的三面投影,投影面,正立投影面（简称正面或V面）,水平投影面（简称水平面或H面）,侧立投影面（简称侧面或W面）,投影轴,OX轴 V面与H面的交线,OZ轴 V面与W面的交线,OY轴 H面与W面的交线,三个投影面互相垂直,点的三面投影,空间点A在三个投影面上的投影,a,a,a,注意,空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。,点的三面投影,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,组成了一个长方体,投影面的展开,不动
4、,向下翻,向右翻,投影面展开,aYW,aYH,投影面的展开,点的投影规律,aaOZ轴,aaOX 轴,Yw,Z,az,a,X,aYw,O,a,ax,aYH,a,YH,投影面和投影轴上点的投影,投影面上的点：空间点的坐标值有一个为零。,原点上的点（0、0、0）,投影轴上点：空间点的坐标值有两个为零。,X 轴上点（X、0、0）Y 轴上点（0、Y、0）Z 轴上点（0、0、Z）,一般位置点,空间点的三个坐标值X、Y、Z均不为零，称该点为一般位置点。,特殊位置点,投影面和投影轴上点的投影,X,Z,O,V,H,M,m,k,n,n,N,n,m,m,k,K,k,YW,Z,X,YH,O,投影面和投影轴上点的投影,
5、W,Y,例1：已知A点的坐标(20,15,10),B点的坐标(30,10,0)，C点的坐标(15,0,0),作出各 点的三面投影图。,B点在H面上，C点在X轴上,a,a,YH,Z,X,Y W,b,b,c,c,c,例2：已知点的两个投影，求第三投影。,通过作45辅助线使aaz=aax,a,b,YH,Z,X,Y W,O,两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。,1.2 两点的相对位置,上,右,下,左,上,下,后,前,左,前,右,后,一、两点的相对位置的确定,判断方法,x 坐标大的在左,y 坐标大的在前,z 坐标大的在上,B点在A点之前、之右、之下。,例如图，已知点A的三投影，另一点B
6、在点A上方8mm，左方12mm，前方10mm处，求点B的三个投影。,a,a,a,YH,Z,X,Y W,O,b,b,作图步骤：,1)在a上方8mm,左方12mm处确定b；,2)作bbOX,且在a 前方10mm处确定b；,3)按投影关系求得b,点A、B对H面的投影重合，,二、重影点的投影,a,(b),(d),点C、D对V面的投影重合。,重影点,空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。,对水平投影面，,对正面投影面，,对侧面投影面，,前遮后,上遮下,左遮右,a,b,两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的同面投影。,直线对一个投影面的投影特性,一、直
7、线的投影特性,直线投影面,重合为一点,积 聚 性,直线投影面,反映实长,ab=AB,直线投影面,投影长变短,ab=AB.cos,1.3 直线的投影,YH,Z,X,Y W,O,直线在三个投影面中的投影特性,投影面平行线,投影面垂直线,正平线(V,H,W),侧平线(W,H,V),水平线(H,V,W),正垂线(V,H,W),侧垂线(W,H,V),铅垂线(H,V,W),统称特殊位置直线,取决于直线与三个投影面的相对位置。,一般位置直线(H,V,W),直线与投影面夹角,与H面的夹角:倾角,与W面的夹角:倾角,与V面的夹角:倾角,一般位置直线(H,V,W),三个投影都倾斜于投影轴，且都小于实长。,投影特性
8、,各个投影与投影轴的夹角都不反映直线对投影面的倾角。,投影面平行线,水平线(H,V,W),实长,平行于投影面反映实长，并反映直线与另两投影面倾角。,另两个投影面上的投影，平行于相应的投影轴。,投影特性,侧平线,正平线,实长,实长,b,a,a,b,a,b,b,a,a,b,b,a,例 如图，已知直线 EF 为水平线,30,实长为20 mm，试完成直线 EF 的三面投影。,本题有几解？,f,e,e,f,X,O,f,e,YH,YW,Z,投影面平行线,投影面垂直线,铅垂线,正垂线,侧垂线,另外两个投影，反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。,垂直于投影面，投影积聚为一点。,投影特性,a,b,a,b,投影面
9、垂直线,特殊位置直线,水平线,O,a,b,a,X,b,铅垂线,c,cd,X,d,O,一般位置直线,O,e,e,X,f,f,1.4 直线段的实长和对投影面的倾角,一般位置直线的投影，既不能反映该线段的实长，又不能反映对投影面的倾角。本节介绍用直角三角形法求一般位置直线段的实长及其对投影面的倾角。,a,a,A,b,B,b,一、几何分析,B1,A1,(a)立体图,(b)投影图,YAYB,ZBZA,B,直角三角形法,在直角三角形AB1B中，AB1=ab,B1B=Bb-Aa,特殊位置直线,水平线,O,a,b,a,X,b,铅垂线,c,cd,X,d,O,一般位置直线,O,e,e,X,f,f,1.4 直线段的
10、实长和对投影面的倾角,一般位置直线的投影，既不能反映该线段的实长，又不能反映对投影面的倾角。本节介绍用直角三角形法求一般位置直线段的实长及其对投影面的倾角。,a,a,A,b,B,b,一、几何分析,B1,A1,(a)立体图,(b)投影图,YAYB,ZBZA,B,直角三角形法,在直角三角形AB1B中，AB1=ab,B1B=Bb-Aa,二、作图方法,有两种作图方式。(1)求直线AB的实长和倾角,B0,AB实长,(c),b0,AB实长,A0,bB0=bb0,b0A0=ab,(2)求直线AB的实长和倾角,AB实长,B0,(d),a0,A0,AB实长,aA0=aa0,a0B0=ab,三、三个直角三角形的含
11、义,X,a,b,b,a,Yw,O,YH,b,a,Z,在直角三角形中，一直角边为直线在某投影面上的投影长度，另一直角边为直线两端点到某投影面的距离差，斜边为该直线的实长，距离差所对应的角是直线对投影面的倾角。这种利用直角三角形求一般位置直线实长和倾角的方法叫直角三角形法。（对应于求、有三个不同的三角形）,例1：已知线段 AB 的实长L和 ab 及端点 A 的水平投影a，求线段AB 的水平投影ab。,a,a,X,b,O,b2,b1,A0,有两解,利用Z和ABL，确定ab的长度，求出b。,例1：已知线段 AB 的实长L和 ab 及端点 A 的水平投影a，求线段AB 的水平投影ab。,a,a,X,b,
12、O,b2,b0,b1,A0,利用ab 和ABL，确定A、B两点的Y 坐标差，从而求出b；,有两解,利用ef 和实长，确定E、F两点的Y坐标差，从而求出f。,或利用Z和实长，确定ef的长度，求出f。,例2：已知线段 EF 的投影ef及e，实长35mm，完成它的投影。,X,O,YH,YW,f,e,e,f,e,Z,f,点在直线上,则点的投影必在直线的同面投影上。,点分割线段成定比。即：,AC:CB=ac:cb=ac:cb=ac:cb,定比定理,1.5 点、直线与直线的相对位置,一、直线上的点,H,c,V,W,例1：判断点C是否在线段AB上。,在,不在,c,不在,利用定比定理,a,b,ac:cb=ac
13、:cb,例2：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。,解法一：,（利用第三投影）,解法二：,（利用定比定理）,a,a,b,b,k,a,b,a,a,b,b,k,例3：如图，已知线段AB的投影（ab,ab),试在线段AB上取一点C，使AC之长等于给定长度L，求点C的投影（c和c）。,a,b,X,a,b,O,B0,C0,c,c,（1）先用直角三角形法求出线段AB的实长aB0；,作图步骤：,（2）在aB0上自a点起截取长度为L得C0点；,（3）自C0点作bB0的平行线，与a b 交于点c；,（4）自c点引投影连线，与a b 交于c 点，c和c 即为所求。,L,分析：accbaccb12，可用比例作图法
14、作图。,作图步骤：1）过a(或b)任作一直线aB1（或bB1)；2）在aB1上取C1，使aC1C1B112；3）连接B1、b；4）过C1作C1cB1b，与ab交于c；5）过c作X轴的垂线与ab交于c。则c、c即所求分点C的投影。,例3：在AB线段上取一点C，使ACCB12，求点C的投影。,例2 已知直线EF及点K的二投影，是判断点K是否在直线EF线上。,作图步骤：,1）在H投影上，过f（或e）任作一条直线fE1;2)在fE1上取fK1=f k,K1E1=ke;3)连接E1e，过K1作直线平行于E1e，与fe交于k1；因已知投影k与k1不重合，所以点K不在直线EF上。,二、两直线的相对位置,平行
15、、相交、交叉（异面）,两直线平行,空间两直线平行，则其三面投影必相互平行，反之亦然。,abcd，a b c d，a b c d,ABCD,两直线相交,若空间两直线相交，则其三面投影必相交，且交点的投影符合点的投影特性。,交点是两直线的共有点,V,X,H,k,k,K,O,d,k,k,d,例1：过C点作水平线CD与AB相交。,先作正面投影,c,d,a,b,c,d,例2：判断直线AB、CD的相对位置。,相交吗？,不相交！,为什么？,交点不符合点的投影特性。,判断方法？,应用定比定理,利用侧面投影,b,a,两直线交叉,不相交！,交点不符合点的投影规律！,1(2),投影特性：,同面投影可能相交，但“交点
16、”不符合点的投影规律。,“交点”是两直线上的一对重影点的投影。,3,4,1,2,例：判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线，只要有两组同面投影互相平行，空间两直线就平行。,AB与CD平行。,AB与CD不平行。,对于特殊位置直线，只有两组同面投影互相平行，空间直线不一定平行。,三、垂直两直线的投影（直角投影定理）,若直角的两边同时平行于某个投影面，则此直角在该投影面上的投影仍为直角。,1.垂直相交两直线,ABH面,c,AB BC，且AB H，则有ab bc,三、垂直两直线的投影（直角投影定理）,直角投影定理,当相交两直线互相垂直（即成直角），且其中一条直线平行于某投影面，则两直线在该投影面
17、上的投影仍互相垂直。,相交两直线在某一投影面上的投影互相垂直（即成直角）,且其中有一条直线平行于该投影面，则这两直线在空间必互相垂直。,注：该定理也适合空间垂直交叉两直线。,逆定理,直角投影定理,一、垂直相交的两直线的投影定理一垂直相交的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。定理二 相交两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。二、交叉垂直的两直线的投影定理三相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。定理四两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投
18、影面，则空间两直线的夹角必是直角。,二、交叉垂直的两直线的投影,AB MN,且AB H，则有ab mn,c,X,O,a,b,a,c,d,d,例1 判断两直线是否垂直,X,O,b,a,a,a,b,b,b,a,a,a,b,b,b,c,c,c,d,c,d,c,c,相交垂直,相交垂直,交叉垂直,交叉垂直,ab b cAB V,ab b cAB H,ab b cAB H,ab b cAB V,O,例2试求A点至水平线BC的距离。,k,k,相交垂直,AK BC BC H,c,a,b,a,c,X,b,ZAK,ak b c,分析：,1.作投影2.求实长,例 过点A作线段EF的垂线AB，并使AB平行于V 面。,
19、b,b,a,a,f,e,e,f,X,O,分析：,AB EF，AB V则有a b e f,AB V则有a b OX,例 过点E作线段AB、CD的公垂线EF。,c,b,b,a,c,d,d,f,e,e,f,X,O,a,c,X,O,ab,b,a,c,d,d,例 求 AB、CD 两直线的公垂线 EF。,f,e,e,f,分析：,1、AB是铅垂线，水平投影具有积聚性。又EF AB，所以EF H,2、EF CD，EF H，则有ef cd,例 已知菱形ABCD的一条对角线AC为一正平线，菱形的一边AB 位于直线AM上，求该菱形的投影。,X,O,a,c,m,c,b,a,k,m,d,k,b,d,分析：,AC BD，AC V,则有ac bd,小结,A,B,D,C,AB CDAD BC,菱形,正方形,等腰三角形,C,A,B,A,B,D,C,M,AB CDAD BC,例题10 作三角形ABC，ABC为直角，使BC在MN上，且BCAB=23。,习P5(3)在EF 上求一点P，使P点与H、V面的距 离之比为3：2。,p,f,e,e,f,X,O,f,e,p,p,YH,YW,习P8(3)以正平线 AC 为对角线作一正方形ABCD，B点距离V面为45mm。,a,a,X,O,c,b,d,b,c,d,k,k,b,BK=AK=ak,
