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用一阶导数的单调性来判断曲线的凹凸性,一般高等数学教材都是二阶导数的符号来判断曲线的凹凸性。但是，我们也可以用一阶导数的单调性来判断曲线的凹凸性，这种方法有很直观的几何解释，其证明也更简单。,凹弧的定义：,凸弧的定义：,如何判断曲线的凹凸？,设曲线弧上凹,单增,Concave upward,下凸,设曲线弧上凸,单减,Concave downward,下凹,反之，能否由一阶导数的单调性或二阶导数的符号来判断曲线的凹凸？答案是肯定的。先证明一个引理。,引理（利用一阶导数的单调性判断凹凸性）设函数 f(x)在 a,b 上连续，在(a,b)内可导，那么 若在(a,b)内 f(x)单调增加，则曲线 y=f(x)在 a,b 上是凹的。(2)若在(a,b)内 f(x)单调减少，则曲线 y=f(x)在 a,b 上是凸的。,设,欲证：,区间(x1,x2)的中点,或,或,欲证：,由Lagrange中值定理,（1）,不等式（1）成立。,欲证：,（1）,不等式（1）成立。,同理可证,定理 2(曲线凹凸性的判定定理）设函数 f(x)在 a,b 上连续，在(a,b)内二阶可导，那么 若在(a,b)内 f(x)0，则曲线 y=f(x)在 a,b 上是凹的。(2)若在(a,b)内 f(x)0，则曲线 y=f(x)在 a,b 上是凸的。,因为,由以上引理得到以下,华阳 南湖 18MAR12,
