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1、不定积分的例题分析及解法这一章的基本概念是原函数、不定积分、主要的积分法是利用基本积分公式，换元积分法和分部积分 法。对于第一换元积分法，要求熟练掌握凑微分法和设中间变量/ 二中3)，而第二换元积分法重点要求掌 握三角函数代换，分部积分法是通过“部分地”凑微分将Judu转化成Ju du，这种转化应是朝有利于求 积分的方向转化。对于不同的被积函数类型应该有针对性地、灵活地采用有效的积分方法，例如f3)为 有理函数时，通过多项式除法分解成最简分式来积分，f3)为无理函数时，常可用换元积分法。应该指出的是：积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且业已证明，有许多初等函数是“积 不出来”的，就是说
2、这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如Jdx ； J e-x2dx ； Ji1-dx ； J 】；.(其中。 k 0,且 a。1)；In a(5) sinxdx = -d(cosx),cosxdx = d(sinx);(6)sec2 xdx = d(tan x),csc2 xdx = d(-cot x)(7)1dx = d (arctan x)1 + x2(8)dx = d (arcsin x)v 1 x2在具体问题中，凑微分要根据被积函数的形式特点灵活运用，例如求J f （arctan x） - dx1 + x 2dx时，应将dx凑成d arctan x ；求1 + x2J f (arc
3、 cot x) -dx1 + x 212x .1时，应将dx凑成-darccotx ；而求Jdx时，就不能照搬上述两种凑法，应将2xdx1 + x21 + x21 + x2凑成dx 2，即 2xdx = dx2 = d(1 + x2)。（2）第二换元法积分法：令x = 9 （t），常用于被积函数含a2 土x2或vx2 a2等形式。代换名称被积函数含有换元式角代换pa2 + x2Jx2 a2x = a sin t, t g (,)x = a tan t, t g (, -) x = a sec t, t g (0, 无理代换了xn(ax + b) n1 ,(ax + b) n2Max + b =
4、 t,即 x = (tn - b) a11-=t,即 x =-xttn = (ax + b), n为n,n2的最小公倍数常见的元理函数积分所采用的换元式如表5-1所示：表5-1（3）同一个不定积分，往往可用多种换元方法求解，这时所得结果在形式上可能不一致，但实质上 仅相差一常数，这可能过对积分结果进行求导运算来验证。（三）关于积分形式不变性在讲第一换元积分法时，讲过这样一个定理：如果J f (x)dx = F (x) + C,那么有J f (u )du = F (u) + C，其中u =中(x)是x的可微函数。这个定理说明：(1) 积分变量x无论是自变量，还是中国变量，积分公式的形式不变，这一
5、特性叫做积分形式不变 性。(2) 根据这个定理，基本积分表中的x既可以看作是自变量，也可以看作是函数(可微函数)，因此 基本积分表中的公式应用范围就扩大了，例如基本积分公式1 ,J dx = ln |x| + C现在就可以看作是J 占d( )=ln|( )+ C其中括号内可填充任意一个可微函数，只要三个括号填充的内容保持一致即可，这也正是不定积分的 凑微分法的由来，即如果被积函数J f (x)dx能够写成J gLp(x)-r(x)dx的形式，且已知J g(u)du = F(u) + C，则有J f (x)dx = J g p (x)p，(x)dx=J g p (x)ip (x)=FIp (x)
6、+ C同学们在应用积分不变性时，一定要注意三个括号内的内容必须是一致的，否则将出现错误。(四)分部积分法设u = u(x),u=u(x)是可微函数，且u(x) 2 (x)或u(x) 2(x)有原函数，则有分部积分公式:Ju(x)u(x)dx = u(x)u (x) - Ju (x) - u(x)dxJ udu = uu - Judu当被积函数是两个函数的乘积形式时，如果用以前的方法都不易计算，则可考虑用分部积分法求解， 用分部积分法求积分时首先要将被积函数凑成Juudx或Judu的形式，这一步类似于凑微分，然后应用分 部积分公式uu-Judu，或uu-Juudx，再计算Juudx，即得到积分结
7、果。显然，用分部积分法计算 不定积分时，关键是如何恰当地选择谁做u和u的原则是：根据u容易求出u :Juudx要比原积分Juudx容易计算，实际中总结出一些常见的适用分部积分法求解的积分类型及其u和u的选择规律，一归纳如表5-2。分类不定积分类型u和u的选择IJ p (x) sin xdx nJ p (x) cos xdx nJ p (x)exdxnu = p (x),u = sin xu = p (x),u = cos xu = p (x),u = exIIJ p (x) In xdxnJ p (x) arcsin xdx nJ p (x) arccos xdx nJ p (x) arcta
8、n xdx nu = In x,u = p (x)u = arcsin x,u = p (x) u = arccos x,u = p (x) u = arctan x,u = p (x)IIIJ ex sin xdxJ ex cos xdxu = sinx,u = ex 或 u = ex,u = sin xu = cos x,u = ex 或 u = ex,u = cos x说明（1）表5-2中，Px（x）表示n次多项式。（2）表5-2中的sinx,cosx,ex,arcsinx等函数，不只局限于这些函数本身，而是指它们代表的函数 类型，例sinx，表示对所有正弦函数sin（ax + b）均适
9、用，而ex表示对所有eax+b均适用，其它几个函数也 如此。（3）III类积分中，也可选择u = ex,u = sinx （或cosx），无论怎么样选择，都得到递推循环形式， 再通过移项、整理才能得到积分结果。（五）有理函数的积分有理函数可分为如下三种类型：（1）多项式：它的积分根据积分公式表即可求得，是最易计算的类型。（2）有理真分式：从代数理论可知，任何有理真分式都可通过待定系数法分解或下列四种类型的最 简分式的代数和：A A Ax + B Ax + Bx - a （x - a） k x 2 + px + q （x 2 + px + q） k其中 p,q,k 为常数，p2 - 4q 0,k
10、。1。因此求得有理真分的积分归结为求上述四种最简分式的积分。（3）有理假分式（分子次数不低于分母次数）；任何有理假分式都可分解为一个多项式和一个有理真 分式之和，而这两部分的积分可分别归结为（1）和（2）综上所述，有理函数的积分实质上归结为求多项式的积分和最简化式的积分，而前者是易于求得的，后者可通过凑微分法求出的结果。二、例题分析例1 为下列各题选择正确答案：1 , 一一(1)()是函数f (X)=的原函数2 XA. F(x) = ln2xC. F(X) = ln(2 + X)1B. F(x)=2 X 21D. F(x) = ln3x2(2)若 f (x)满足 J f (x)dx = sin
11、2x + C,则 f r(x)=(A. 4sin2xb. 2cos2xC. 4sin2 xd. 2cos2x(3)下列等式中()是正确的J f ( x )dx = f ( x)A.B.J f (ex )dx = f (ex) + CC.J f(. X )dx = f (、.x ) + C1D.J xf (1 X 2) dx = 2 f (1 X 2) + C(4)若 J f (x)dx = F(x) + C，则 J sin xf (cos x)dx =(A. 一 F(cos x) + CB. F(cosx) + CC. f (sin x) + CD. F(sin x) + CB. 一cos2x
12、C.sin2 xD. 一cos2x(5)下列函数中，()不是sin2x的原函数。1A.cos 2 x21(1)根据原函数的概念，验证所给函数F (X)是否满足F(x)。由于2 X211A 中(ln2x) = =2 x X 2 x1,11B 中()=。-2x24x32xC 中 hn(2 + X)】=。2 + x 2 x1 , 1 31D 中(一ln3x) =-2 2 3x 2x故正确选项为D。(2)根据不定积分的性质可知f (x) = (f (x)dx)r = (sin 2x + C) = 2 cos 2x f（x） = （2 cos 2x） = -4 sin 2x于是故正确选择为C（3）根据不
13、定积分的性质可凑微分的原则知j f（u）du = /（w） + C其中“是变量或可微函数，据此可知：A中应为/公=/（尤）+。（缺C）B中应为广。）。0; =/（公）+ C （缺球）C中应为jf W dx = f+ C (不应没有2去)2 0),贝ij f ff(x)dx =K1通过点（1,了斜率为H的曲线方程为解(1)设u = l-2x ,则 dx = du ,于是Af -dx =1 2工1 i=-ln|w| +C = -lln -2x+C2 2i应填_m|i 2x| + c(2)设 = lnx,则J Inxd(Inx) =J udu - u + C = ln2x+ C22应填ln2 % +
14、 C2(3)由于广=1 +1 1 邙故fe)= i +云，因此1应填 i + lni + C注启、:f r(X2)dx 丰 /(X2)+ C1(4)设曲线方程为y = f3),则fx)= -，于是1 + X2f 1f(x) - J -_dx - arctanx+C1 + X2通过点(1，；)，贝ij有;= arctanl + C ,即C = Q,故所求曲线方程为y = arctanx.例3求下列不定积分：(1) sxedx ；(2) j (衣+ 4)2办r , x3 Xy X + X + 3- .、/r 1 + 2x2(3) J (+ 2smx)dx ；(4) Jdx .XX2(l + X2)
15、分析题目所给的不定积分，都不能直接利用基本积分表中的公式计算，但稍作变形后，再利用不 定各分的运算性质，便可得出结果。解 (1) 5-xexdx = f ()xdx根据积分公式J axdx = - a + CInae在此。=,故原积分=(9、+ C = - (|)a + CInf 51-ln5 55(2)由于yx + 4)2 = X + Syfx +16 ,根据不定积分的运算性质，有质 + 4)2 西=f (x + 8vx + 16)dx=J xdx + 8七 xdx + J16dx1 c 2 3=X 2 + 8 x X 2 +16 X + C2 3=1X 2 +16 X、X +16 X +
16、C23x 3 x5 + vX + 3(3) J (+ 2sinx)dx+ -L + 3 + 2sin x)dxvX X=J x2 dx 一 xdx + J 5= dx + 3 J L dx + 2 J sin xdxXx=!x3 - jx + 2% x + 31nx - 2cos X + C3 31 + 2 X 2(1 + X 2)+ X 211由于=X2(1 + X2)= X2 + M ,所以J(X *菖=J (X- + A )dx11,1八=dx +dx = 一一 + arctan x + CX 21 + X 2X小结：（1）从上面的例子中可以看出，许多不定积分往往不能直接得用基本积分表进
17、行计算，而要先 对被积函数作适当变形，使之化成积分表中所列形式的积分后，进而才能计算出结果，一般说来。所采用 的恒等变形手段主要有：分式拆项、三解公式恒等变形等，要求读者熟悉这些手段。（2）将一个不定积分拆成几个不定积分的代数和后，求每一项的不定积分时，不必将每项不定积分 中的积分常数一一写上，而只需在最后积分结果中统一加上一个积分常数C即可。（3）检验积分结果正确与否时，只需将所得结果求导（或微分）即可，若其导数（或微分）等于被 积函数（或被积表达式）时，则说明所得积分结果是正确的，否则是错误的。求下列不定积分(1)Jsin2 Xdx2(2)Jg2x 1 dxex +1(3)cos 2 x
18、7 Jdxcos2 sin2 x,. X 1 一 cos X(1)由于sin2 =22(4) J (3x -5x)2dx所以(2)e2x 一 1 _ (ex + 1)(ex 一 1) _由于 厂T = :一i= ex 一 1，所以ex + 1ex + 1j_1 = j (ex 一 1)dx = j exdx - j 1dxex +1=ex - x + C(3)由于 cos 2 x = cos2 一 sin2 x 所以cos 2 xcos2 sin2 xcos2 x 一 sin2 x 11= cos2 x sin2 xsin2 x cos2 x(4)11,八原积分=J -；dx - Jdx =
19、- cot x - tan x + Cj(3x -5x)2dx = j(32x 一 2 - 3x -5x + 52x)dx=j(9x 一 2 -15x + 25x )dx129 xln9-15 x + ln151 25 x + C ln25计算下列不定积分(1)j sin(兀 x +1) dx(2)j dx1 + e2 x1A dxx 2观察这些积分中的被积函数j dx发现它们都不符合基本积分表中的公式表式，即使进迁适当的 变形也化不成表中公式的形式，因此需采取新的方法一一换元积分法求解。解 （1）观察题目发现，此被积表达式与基本各分表中公式j sin xdx = 一 cos x + C(3)
20、(4)分析(*)类似，但又不完全一致，那么能否套用公式（*）直接得到j sin（Kx + 1）dx = - cos（Kx +1） + C呢？经检验积发结果知，这样做是错误的，原因是公式（*）中的被积函数sin x已换为sin(兀x +1)，而积分变量的微分依然是dx，没有相庆地换为d（兀x +1）。正确的做法是先设中间变量u =兀工+1，然后使被积表达式化成公式（*）的形式再求解。设 u =兀 x +1，则 x = U - ，dx = du，于是兀 兀兀J sin(nx +1)dx = J sin u du = L J sin udu n n1 _ “cos u + C兀再将 u =兀工+ 1
21、代回，得一1，、八原积分=一 cos(Kx + 1) + C兀1注：本题也可不与中间变量u，而用凑微分法来解：根据dx = d(nx +1)有 兀J sin(nx + 1)dx = J sin(nx +1) . L d (nx +1) n=J sin(nx + 1)d (nx +1) n1=cos(nx +1) + CnJ ex1 + e2 x(2)设u = ex，则 du = exdx，于是dudx = arctan u + C = arctan ex + C1 + u(4)设u = Inx，则 du = -dx，于是 x本题也可采用凑微分法求解：由于e2dx = dex，想到公式于是有ex
22、dex八1dx = J1_()- = arctan ex + C111(3 ) u =，贝x = ，du = du，于是.xuu21coscos u 1Jxdx = J ( )du = J cos udux 2u2(一)2u1=sin u + C = sin + Cx111 -如果熟悉凑微分式子一dx = d( ) = d(一),则可用凑微分法直接计算如下: x 2xxd (!)! = J cos1 d (!)=sin1 + Cxx x1J W = Jcos1 x 2x一般常见的符合凑微分形式的不定积分类型可参阅疑难解析中的（二）。 计算下列不定积分：(1)j 二dxx(2)j-dx4 + 9
23、 x 2(3)j X23 - X3dx(4)jxdx1 + x 2j- dx = j.-!- dx = jL du = ln| + Cx In xIn x x u 一.1 , 一或者用凑微分法计算：因为一dx = d ln x所以xj dx = j | d In x = ln|ln x| + C用第一换元积分法（凑微分法）计算不定积分时，要根据被积函数的形式来决定如何来设置中间变量 或凑微分例6(1)设t = x，则 x = 12,dx = 2tdt,于是dx = 2tdt = j 2edt = 2et + C = 2e x + Cvx t1 一 一一 或凑微分法计算：由一dx = d（2p
24、x） = 2d x，得 vxjZdx = 2，xd %, x = 2e x + CX：x（2）观察题目，不易直接看出如何进行换元，不妨将积函数先做变形4 + 9x2 - 22 + (3x)2 一 . ,3、22 1 + (2 x)2联想到积分公式j 1: 2 dx = arctan x + C，于是有f 11j 1 换元1j 12Jdx = _ Jdx =Jdu4 + 9 x 24 1+21=4 1 + u 2 32XU1 f 工厂还原1, ,3厂=arctan u + C =arctan( x) + C63 62u = x2熟练掌握凑微分形式后，可以省去换元步聚，直接求出结果。.1 . 二一
25、（3）由x2dx = 3dx3,：3 - x3可以看成是于关x3的函数，所以J X 2*3 一 X 3 dx = J t 3 - x 3 上 dx 33-J 气；3 - x3 d (3 - x3)31、 23 =(一 3) 3(3 一 启)2 + C2小、3八(3 - x 3)2 + C（4） -dx-J 艾-1J d （1 + x 2）- 1ln（1 + x 2） + C1 + x 21 + x 2 21 + x 22进行换元积分（或凑微分）运算时，有时由于中间变量设置的不同，所得的积分结果形式有可能不同， 但实质是等价的；有时被积函数不易看出如何换元，则应先做适当变形。请看下面例子。例7
26、计算下列不定积分（1）J1 + 21nxdx（2）J , 1 dxxY 2 x 一 x 2(4)J xe-3x2dx2x 3x（3）Jdx9 x 4 x（5）J dxex + e - x1(1)由于一 dx d In x,所以xJ1 + 2ln xdx J (1 + 2ln x) d In x 1J (1 + 2ln x)d (1 + 2ln x)x214。+ 2ln x )2 + C原积分J(1 + 2ln x)d In x J d In x + 2 J In xd In xln x + ln2 x + C想一想，这两个计算结果是否相同？为什么？（2）由于v2 x x 2 = .1 (1 2
27、 x + x 2) i，1 (x 1)21联想到 J1dx arcsin x + C, dx = d(x 1),故J . 1 = dx = J 1d (x 1)arcsin( x 1) + C（3）将分子、分母同除以9 x，得9x - 4x1 - (2)2x设t = (2)x，则lnt = xln2,dx 二-1 dt,于是3 3 ln2t31 u -dt ln2 t3. jL dt ln2 - ln3 1 -1211 j (上 + )dtln2-ln3 2 1 +1 1 -12(ln2-ln3)(ln1 + 顼 一)+ Cln 2(ln2 - ln3) 1 -1In 2(ln2 - ln3)
28、1-(9 x(4)(5)j dx = jexdx= jex + e-xex (ex + e-x)exdxdex=arctan ex + C e 2 x +1ln2(ln2 - ln3) 3x - 2x11由于xdx = dx2 =- d(-3x2)，所以2 6-3x2 d (-3 x 2)=- 6 e - 3 x2 + Cj xe - 3 x2 dx =计算下列不定积分(1)j sin 3 x sin 5 xdx(2)j cos6 xdx(3)j sin3 x cos2 xdx分析sin x cos x 成这些积分中的被积函数都是三角函数，一般说来，三角函数的积分比较复杂，(4)不易直接看出求
29、解方法，往往需先对被积函数作恒等变形，至于如何去变形，则需从实践中总结经验，变形过程中常用 到三角函数的基本关系式、积化和差公式、倍角或半角公式。(1)观察被积函数知，须先对被积函数作积化和差变形后，再凑微分去求解。j sin 3 x sin 5 xdx = j i(cos2 x - cos8 x)dx = ij cos 2 xdx - L j cos 8 xdx 222111111= sin 2 x 一 一 sin 8 x + C = sin 2 x 一sin 8 x + C2 22 84161 + cos 2x(2)利用公式cos2 x = 一-一，将被积函数降次，于是=8 j (1 +
30、3 cos 2 x + 3 cos2 2 x + cos3 2 x )dx=-x + sin 2 x +。j cos2 2 xdx + 上 j cos3 2 xdx 81688=-x + sin 2x + 邑 j(1 + cos 4x)dx +cos2 xd sin 2x81616=-x + sin 2x + x + sin 4x + -!-J (1 一 sin2 2x)d sin 2x81616641653311=x + sin 2 x + sin 4 x + sin 2 x 一 一 sin3 2 x + C16166416485131=x + sin 2 x + sin 4 x 一 sin
31、3 2 x + C1646448（3）j sin3 x cos2 xdx = j sin2 x cos2 x sin xdx=j (1 - cos2 x) cos2 x(d cos x)=-j cos2 xd cos x + j cos4 xd cos x（4）所以11一一cos3 x + cos5 x + C3511,而dx = d (tan x), tan x cos2 xcos2 x1（1）出工 1由于sin x cos xjdx = j - d (tan x) = ln|tan x| + Csin x cos xtan x计算下列不定积分dx ,dx3(1 - x 2)2（2）j dx
32、x 2% x 2 - 91 -(3) J x3(1 + x2)2dx要用三角分析这几个不定积分的被积表达式中都含有& a2 - x2,t x2 + a 2,tx2- a2类的式子，代换来求解。各自的代换式是于是(1)(2)(3)(1)含 a 2 x2 :设 x = a sin t，含x2 一 a2 :设 x = a sec t含 x2 + a 2 :设 x = a tan t因被积表达式含有t1M，则 dx = acostdt ；则 dx = a sect - tantdt ；贝g dx = a sec2 tdt ；故设 x = sin t( t )，则 dx = costdt，2233(1
33、一 x 2)2 = (1 一 sin21 )2 = cos31J dx3(1 一 x 2)2=J竺 dtdtcos3 tcos2 tsin t 由 x = sin t,可知 cost = i：1 x2，tan t = 一 cos t，所以于是J dx3 (1 一 x 2)2兀、(2)为了去掉根式 x2 -9 设x = 3sect(0 t )，则dx = 3sect tan tdtt x 2 9 = 3 板 sec2 一 1 = 3 tan tdx3sect -tant ,J = Jdtx21. x2 99 sec21 - 3tan t11,11 . 八=Jdt = 9J costdt = 9s
34、int + C3 ,.:由 x = 3sec t,得 cos t = ，sin t = 1 一 cos21 =x：x 2 9，所以xdxJ ,x 2(x2 99 x1(3)为了去掉(1 + x2)2，设 x = tan t(一： t ；)，则 dx = sec2 tdt11(1 + x 2)2 = (1 + tan 21 )2 = sec t于是jx3(1 + x2)2dx = jtan31 - sect - sec2 tdt = jtan31 - sec3 tdt_J sin311 dt = j(1 一 cos21)d(-cost)cos3 t cos3cos6 tr ,11 、7=j( 一
35、 H+E )dcos t11=cos-5 t 一 cos-3 t + C53由 x = tan t,可知 cos t = . 1,- = 11 + x 2,于是v1+x2 costr11-513j x3(1 + x2)2dx = 5(1 + x2)2 -3(1 + x2)2 + C小结 从上面例子看出，进行三角换元后，得到的积分结果一般都是关于t的三角函数式，用x还原t 时，虽然可以引进三角函数式或反三角函数的运算，但较麻烦，为了直观起见，往往用“三角形法”进行 还原计算，如图5-1的常用的三种三角代换类型简图，根据简图，则很容易计算出其它的三角函数式。 5*1例如图5-1(2)，设x = a
36、 tan t，则可设直角三角形角t的对边长为x，邻边长为a，故斜长为；a2 + x2，xa从图中看出sin t =,cos t =。r dx例10 计算j :16 x 2 + 8 x + 5分析 对于被积函数含有xax2 + bx+c的积分,一般不能做代换t = ,：ax2 + bx + C，而应将 ax2 + bx + C配平方，然后作变量代换，归结为含a2 士 x2、x2 - a2的积分后再用第二换元法求解。解 由于同6x 2 + 8 x + 5 = (4x +1)2 + 4设 t = 4x +1，则 x =上 t - -, dx = dt,于是4 4t 44J dx = J 4dt = 1J dtv16 x 2 + 8 x + 5t 2 + 44 it 2 + 4根据材料上的补充公式（8），再将t 4x +1代回，所以 1 一 :7 一 原积分=ln t + t2 + 4 + C41 - . 一I r 一ln 4 x +1 + ： 16 x 2 + 8 x + 5 + C4计算下列不定积分:J xx 2dx(1)(2)JX3(1 - 3X2)10dx对于被积函数含有根式或其它较为特殊的情形，也可以采用第二换元积分法计算。 例
