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1、7.3 有理函数的不定积分,一、有理函数的部分分式分解,有理函数的定义,有理函数：是指两个多项式的商表示的函数其一般形式为:其中 及 为常数，且，。,有理函数的分类（次数）,1、nm，时称为有理真分式 即：如果分子多项式的次数小于分母多项式的次数，称分式为有理真分式。2、nm，时称为有理假分式 即：如果分子多项式的次数大于或等于分母多项式的次数，称分式为有理假分式。,假分式=多项式+真分式,利用多项式除法可得，任一假分式可转化为多项式与真分式之和。即其中F(x)的次数低于Q(x)的次数.,（多项式）,例如,举例,例如：,求有理函数不定积分的关键,假分式=多项式+真分式 因为多项式的不定积分易求
2、，所以求有理数不定积分的函关键在于求有理真分式的不定积分.因此，我们仅讨论有理真分式的积分.,先介绍代数学中两个定理：,多项式的因式分解定理 分项分式定理（部分分式展开定理）,多项式的因式分解定理,任何次数大于0的实系数多项式都可以分解为实系数一次和二次不可约因式的乘积：其中 都是正整数,分项分式定理,有理真分式必定可以表示成若干个简单部分分式之和，即,例如,因此任意有理函数的积分问题就都归结为求以下两种类型不定积分,1、2、,求常数的方法-待定系数法,方法一:(比较系数法)把(*)式等号右端所有分式通分相加,得 由于(*)式等号两端的分母都是Q(x)，所以通分后所得分式的分子与原分子F(x)
3、应该相等，即或F(x)H(x),F(x)H(x)F(x)与 H(x)同次幂系数相等 根据两个多项式相等时同次项系数必定相等的原则,得到待定系数所满足的一次线性方程组,由此求解方程组,就求出了这些待定常数方法二：使用“赋值法”简化对待定系数的求解.,部分分式分解具体步骤简述如下:,1.对分母 Q(x)在实数系内作标准分解:,第二步,2.根据分母各个因式结构分别写出与之相应的待定部分分式.,第三步：待定系数的确定：,（1）解线性方程组法(比较系数法)；把所有部分分式加起来,通分，根据两个多项式相等时同次项系数必定相等的原则,得到待定系数所满足的线性方程组,求解方程，由此确定上述部分分式中的待定系数
4、（2）特殊值法(赋值法)；,例题讲解,例1 将 分成分项分式例2 将 分成分项分式,例3,将 分成分项分式,解 设,于是,练习,将下列真分式分解为部分分式:并将A、B 值代入,取,取,取,有理函数的不定积分,根据分项分式定理，任何有理真分式的不定积分都可化为如下两种形式的不定积分之和：,下面分别求这两类不定积分：,有理真分式的递推公式,由此可知这两类积分均可积出,且原函数都是初等函数.,结论,有理函数的原函数都是初等函数.,例题,例4 求,解：,例5 求,例6 求,例7 求,随堂练习,小结：,1、有理函数的原函数一定是初等函数 有理函数的不定积分总能“积”出来，即有理函数的不定积分总能用初等函数表示出来，有理函数存在初等函数的原函数(不定积分).这是有理函数的 一个理想的性质.如果求一个函数的不定积分，只要选择适当的换元，将被积函数转化为有理函数，那么这个不定积分总能“积”出来，这种方法也叫“有理化法”,2、求有理函数不定积分的步骤：,(1)、若被积函数是有理假分式，则通过多项式除法，把它化成 多项式+有理真分式；(2)、用部分分式展开定理把有理真分式化成若干个简单分式之和，用比较系数法或赋值法求出各待定系数;(3)、求出各个简单分式的不定积分，则有理函数的不定积分=多项式的不定积分（若是有理假分式，则必 有此项积分）+各个简单分式的不定积分。,
