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1、1,第五章 不定积分,5.1不定积分的概念与性质 5.2换元积分法 5.3分部积分法 5.4有理函数及三角函数有理式的积分,2,回顾: 微分学的基本问题是“已知一个函数, 如何求它的导数.”,积分学包括两个基本部分: 不定积分和定积分. 本章研究不定积分的概念、 性质和基本积分方法.,那么, 如果已知一个函数的导数, 要求原来的函数, 这类问题, 是微分法的逆问题. 这就产生了积分学.,3,问题: 若已知某一函数 F(x) 的导数为(x), 求这个函数.,则称F(x)是已知函数(x)在该区间I上的一个原函数.,一.原函数的定义,定义1 设(x)定义在区间I上, 若存在函数F(x), 使得对,5
2、.1 不定积分的概念和性质,有,例 因为,，所以,因为,所以,4,定理1 若函数(x)在区间I上连续, 则(x)在区间I上的原函数一定存在。 简言之：连续函数一定有原函数.,(证明略),原函数存在性定理:,定理2 设F(x)是函数(x)在区间I上的一个原函数, 则对任何常数C , F(x) + C也是函数(x)的原函数.,证 因为,问题：,(1) 原函数是否唯一？,(2) 若不唯一它们之间有什么联系？,所以,F(x) + C 也是函数 (x) 的原函数.,5,定理3 设F(x)和G(x)都是函数(x)的原函数, 则 F(x) G(x) C (常数),证,由拉格朗日定理知,由此可见: 若 F(x
3、)是(x)的一个原函数, 则表达式 F(x) + C 可表示 (x) 的所有原函数。,二.不定积分的定义,定义2 函数(x)的全体原函数称为(x)的不定积分. 记为,显然，若F(x)是函数(x)的一个原函数, 则,6,例如,7,例1 求,解,解,例2 求,8,例3 求下列不定积分,9,三.不定积分的几何意义,而 是(x)的原函数一般表达式, 所以它对应的图形是一族积分曲线，称它为积分曲线族, 其特点是:,(1)积分曲线族中任意一条曲线可由其中某一条(如y =F(x) 沿 y 轴平行移动 |c| 个单位而得到.,(如图)当c0时, 向上移动; 当c 0时,向下移动.,o,x,y,x,y=F(x)
4、,|c|,10,o,x,y,x,y=F(x),(2),即横坐标相同点处, 每条积分曲线上相应点的切线斜率相等, 都为(x) .,从而相应点的切线相互平行.,注:当需要从积分曲线族中求出过点 的一条积分曲线时,则只须把 代入 y = F(x) + C 中解出 C 即可.,11,例4 已知一条曲线在任意一点的切线斜率等于该点横坐标的倒数, 且过点 求此曲线方程.,解 设所求曲线为 y = (x) , 则,故所求曲线为 y = ln|x| + 2,12,四、 不定积分的性质,13,五、 基本积分表,14,15,导数公式表,积分公式表,以上基本积分公式是求不定积分的基础, 必须记牢！,16,例5 求下
5、列不定积分,17,直接积分法:,利用基本积分公式和性质求不定积分的方法称为直接积分法.用直接积分法可求出某些简单函数的不定积分.,例6 求下列不定积分,18,19,例8 一种流感病毒每天以 的速率增加, 其中t是首次爆发后的天数, 如果第一天有50个病人, 试问在第10天有多少个人被感染？,解 设在第t天有Q(t)个人被感染, 则,20,由题意知当 t = 1时, Q(t) = 50.,代入上式可解出 C = 69 , 则,即在第10天有10931个人被感染.,21,练习题,无穷多,常数,全体原函数,积分曲线,积分曲线族,平行,连续,22,23,能利用直接积分法求出的不定积分是很有限的.,一.
6、凑微分法(第一换元法),例 计算,分析:此不定积分在积分表中查不到.,5.2 换元积分法,为了求出更多函数的不定积分, 下面建立一些有效的积分法.,这是因为被积函数cos2x的变量是“2x” , 与积分变量“x”不同.,但如果能把被积表达式改变一下, 使得被积函数的变量与,积分变量变得相同, 那么就可用公式,求出此不定积分.,(u是x的函数),24,注: 这种方法的实质是当被积函数为复合函数时,可采用,恒等变形将原来的微分dx凑成新的微分d( ),使原积分变成可直接用积分公式来计算.,这种方法称为凑微分法.,其理论依据为,25,定理4,证 利用不定积分的定义及复合函数的求导法则即可.,注1.定
7、理4中,若u为自变量时,当然有,当u 换为(x)时, 就有,成立.,不定积分的这一性质称为积分形式的不变性.,注2. 凑微分法的关键是“凑”, 凑的目的是把被积函数的,中间变量变得与积分变量相同. 即,成立.,26,(1)根据被积函数是复合函数的特点和基本积分公式的形式,依据恒等变形的原则, 把 dx凑成d(x) . 如,(2)把被积函数中的某一因子与dx凑成一个新的微分d(x) .如,“凑微分”的方法有:,27,例1 求下列各不定积分,结论1:,28,29,30,以下常见的凑微分公式！,31,32,例2 求不定积分,结论2:,同理可得,33,例3 求下列各式的不定积分,34,结论3:,35,
8、或原式,同理可得,36,例4 求下列各式的不定积分,同理可得,结论4:,一般地, 对形如,这样的不定积分,当n为偶数时应先降次后再积分；当n为奇数时应先凑微分再积分；,37,一般地,对形如,这样的不定积分,若nm，且一奇一偶时，则应凑奇次幂的三角函数；,若同为偶，则化为,38,对形如这样的不定积分应先积化和差后再积分.,39,(5) 求,解,还有其他方法吗？,40,练习,两次凑微分,41,例5 求,解法1,解法2,解法3,注:对于同一个不定积分,采用的方法不同,有时得到的原函数的表达式就完全不同,但这些不同的表达式之间仅相差一个常数.如,42,解,例6 设 求 .,令,43,二.第二换元法（作
9、代换法）,注:用直接积分和凑微分法是不易计算此积分的.但作变换,从而,注:这种经过适当选择变量代换x=(t)将积分,求出此积分后回代t 的方法称为第二换元积分法.,化为积分,(较易积出),44,定理5 设函数(x)连续, x=(t)单调可微, 且 ,而,证明,在此方法中要注意两个问题:,1. 函数 的原函数存在.,2 .要求代换式x=(t)的反函数存在且唯一.,则,45,注1:第二换元积分法是先换元, 再积分, 最后回代. 这与凑微分法(先凑后换元)不一样.,注2: 第二换元积分法主要用来求解被积函数为无理函数的不定积分.,换元的目的是将无理函数的不定积分转换为有理函数的积分.,分两类讲:,1
10、.根号里是一次式的,即,2.根号里是二次式的,即 等。,1.被积函数含有 的因子时,可令,例1 求下列积分,化简函数后再积分.,46,47,解,48,但在具体求解时要根据被积函数所含二次根式的不同情况作不同的三角代换,作法如下：,2.被积函数含有 的因子时,可作三角变换,利用三角函数恒等式使二次根式有理化.,例2 求下列各积分,49,t,a,x,如图,50,51,t,a,x,如图,解 x=atant,t(-,)，,则dx =a,dt,=asect,因此有,52,t,a,x,则 dx=asecttantdt,=atant,故,思考：求,53,例3 求,解,令,54,令,解,3.倒代换 当被积函数
11、的分母的次数较高时，可采用倒代换,55,例5 求,56,解 由题意知,则,例6 (1) 设函数(x)的一个原函数是arctanx,求不定积分,57,(2) 若己知, 求：,通过上述几种积分方法的学习,将以下几个公式补充在积分表里：,58,59,定理5 设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续的导数,则,5.3 分部积分法 Integration by Parts,直接积分和换元积分法可以解决大量的不定积分的计算问,题;但对形如,等类型的不定积分,下面利用两个函数乘积的求导法则来推得,分部积分法.,证 由 d(uv)=vdu+udv, 得 udv= d(uv)vdu ,对此式两边同时求不定积分,
12、 得,采用这两种方法却无效.,60,而不定积分 易于计算,则可采用分部积分公式, 使计算大为简化.,注1:不定积分 不易计算,例1 求,解 (1) 设,由分部积分公式得,61,(2). 要比 容易积出.,注2:分部积分法是基本积分法之一,常用于被积函数是两种不同类型函数乘积的积分,这类积分在具体计算过程中,如何正确地选定u和v却显得非常重要.一般说来要考虑以下两点:,(1). v要容易求得;,后一积分更难求,62,例2 求,一般按“反对幂指三”的顺序, 后者先凑入的方法确定 u 和 v .,63,比原积分更难积出.,例3 求下列不定积分,否则若,64,65,练习：,66,参考答案：,67,例4
13、 求,这是一个关于 的方程,移项并两边同除以2,得,注:有些不定积分需要将积分的几种方法综合起来使用.,还有不同的解法吗？,68,例5 求,解 令,先换元再分部积分,先凑微分再分部积分,69,(3)设 f(x) 有连续的二阶导函数，求,70,是 f(x) 的一个原函数, 求,解,因为,(4)已知,是f(x)的一个原函数,所以,71,求不定积分,解,综合练习题,72,求不定积分,解,73,求不定积分,解,原式,74,求不定积分,解,令,则,还有解法吗？,先分部积分再换元,75,解法 1,求,先分部积分,设,则,于是,再设,则,于是,后换元.,76,代入上式,得,解法 1,求,77,解法 2,先换
14、元,求,后分部积分.,设,则,再设,则,78,解,求,已知 的一个原函数是,根据题意,再注意到,两边同时对 求导,得,79,解,求不定积分,令,则,于是,原式,其中,80,解,求不定积分,先折成两个不定积分,再利用分部积分法.,原式,81,解,求不定积分,82,解,求,其中 为正整数.,用分部积分法,当 时有,即,于是,83,解,求,其中 为正整数.,用分部积分法,当 时有,于是,以此作递推公式,即可得,并由,84,解,利用分部积分计算,选,于是,85,解,利用分部积分计算,选,于是,方便.,86,一、有理函数的积分,有理函数的定义:,两个多项式的商表示的函数.,及,都是实数,并且,假定分子与
15、分母之间没有公因式:,(1),这有理函数是真分式;,(2),这有理函数是假分式.,87,一、有理函数的积分,利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一,个真分式之和.,例,88,1.由代数学知, 任何多项式 在实数范围内总能分解成一次因式和二次质因式的乘积, 即,其中 为常数; k, s , 为正整数,且,2.任何一个真分式 均可唯一地分解为若干个最简分式之和.,注意,89,一、有理函数的积分,(1),分母中若有因式,则分解后为,若,分解后有,(2),分母中若有因式,其中,则分解后为,真分式化为最简分式之和的一般规律:,90,一、有理函数的积分,则分解后为,若,分解后有,注:,求有理函数积分
16、的关键是,分式化为最简分式之和.,利用待定系数法将真,91,分解有理分式,解,设,整理得,即,92,分解有理分式,解,设,代入特殊值来确定系数,(*),93,分解有理分式,解,两边同乘以 得:,再将上式两边求导:,94,分解有理分式,解,令,得,同理,两边同乘以,令,得,所以,95,一、有理函数的原函数,将有理函数化为部分分式之和后,只出现三类情况:,(1),多项式;,(2),(3),而,其中,96,有理函数的原函数,而,其中,时,97,一、有理函数的原函数,上述三类积分均可积出,且原函数都是初等函数.,绪论,有理函数的原函数都是初等函数.,时,98,求不定积分,解,根据例1的结果,原式,99
17、,求不定积分,解,根据例2的结果,原式,100,求不定积分,解,根据例5的结果,有,101,解,根据上述方法,有,102,解,103,求不定积分,解法1,104,求不定积分,解法2,比较 同次幂的系数得,解得,故,105,求不定积分,解法2,比较 同次幂的系数得,解得,故,106,三角函数有理式的积分,定义,由三角函数和常数经过有限次四则运算,成的函数称之.,构,记为,令,则,107,三角函数有理式的积分,令,则,完,108,求不定积分,解,由万能置换公式,原式,109,求不定积分,解,原式,110,求不定积分,解一,利用万能置换公式,原式,111,求不定积分,解二,修改万能置换公式 ,令,原
18、式,112,求不定积分,解三,不用万能置换公式,原式,结论,比较以上三种解法 ,最佳方法 ,不得已才用万能置换.,故三角有理式的计算中先考虑其他手,便知万能置换不一定是,段 ,113,例.,解,例.,解,114,在本章结束之前，我们还要指出：对初等函数来讲，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数，如,等，就都不是初等函数，这就是说，这些积分不能用初等函数明显表示出来，我们常称这样的积分为“积不出来”的积分,115,一、,116,练习,117,D,D,118,D,B,119,D,B,120,D,B,121,D,C,122,三.计算题,1.,3.,2.,( ),( ),( ),4.,( ),5.,( ),
