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1、微分与积分,微分是导数的变型运算积分是 微分的 逆 运 算,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例,定义：,一、原函数与不定积分的概念,2022/11/30,不定积分 冯国臣,原函数存在定理：,简言之：连续函数必然有原函数.,问题：,(1) 原函数是否唯一？,(2) 若不唯一它们之间有什么联系？,2022/11/30,不定积分 冯国臣,关于原函数的说明：,（1）若 ，则对于任意常数 ，,（2）若 和 都是 的原函数,则,（ 为任意常数）,证,（ 为任意常数）,2022/11/30,不定积分 冯国臣,不定积分的定义： 不定积分就是原函数族,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例1 求,解
2、,解,例2 求,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.,解,设曲线方程为,根据题意知,由曲线通过点（1，2）,所求曲线方程为,2022/11/30,不定积分 冯国臣,显然，求不定积分得到一积分曲线族.,由不定积分的定义，可知,结论：,微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,2022/11/30,不定积分 冯国臣,实例,启示,能否根据求导公式得出积分公式？,结论,既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.,二、基本积分表,2022/11/30,不定积分 冯国臣,基本积分表,是常数);
3、,说明：,简写为,2022/11/30,不定积分 冯国臣,2022/11/30,不定积分 冯国臣,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例4 求积分,解,根据积分公式（2）,2022/11/30,不定积分 冯国臣,证,等式成立.,（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）,三、不定积分的性质,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例5 求积分,解,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例6 求积分,解,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例7 求积分,解,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例8 求积分,解,说明：,以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.,20
4、22/11/30,不定积分 冯国臣,解,所求曲线方程为,2022/11/30,不定积分 冯国臣,基本积分表(1),不定积分的性质,原函数的概念：,不定积分的概念：,求微分与求积分的互逆关系,四、小结,2022/11/30,不定积分 冯国臣,思考题,符号函数,在 内是否存在原函数？为什么？,2022/11/30,不定积分 冯国臣,思考题解答,不存在.,假设有原函数,故假设错误,所以 在 内不存在原函数.,结论,每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.,2022/11/30,不定积分 冯国臣,问题,？,解决方法,利用复合函数，设置中间变量.,过程,令,一、第一类换元法,2022/11/30,不定
5、积分 冯国臣,在一般情况下：,由此可得换元法定理,2022/11/30,不定积分 冯国臣,第一类换元公式（凑微分法）,说明,使用此公式的关键在于将,化为,观察重点不同，所得结论不同.,定理1,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例1 求,解（一）,解（二）,解（三）,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例2 求,解,一般地,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例3 求,解,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例4 求,解,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例5 求,解,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例6 求,解,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例7 求,
6、解,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例8 求,解,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例9 求,原式,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例10 求,解,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例11 求,解,说明,当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例12 求,解,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例13 求,解（一）,（使用了三角函数恒等变形）,2022/11/30,不定积分 冯国臣,解（二）,类似地可推出,2022/11/30,不定积分 冯国臣,解,例14 设 求 .,令,2022/11/30,不定积分 冯国臣,
7、例15 求,解,2022/11/30,不定积分 冯国臣,问题,解决方法,改变中间变量的设置方法.,过程,令,（应用“凑微分”即可求出结果）,2022/11/30,不定积分 冯国臣,证,设 为 的原函数,令,则,2022/11/30,不定积分 冯国臣,第二类积分换元公式,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例16 求,解,令,2022/11/30,不定积分 冯国臣,回顾：,第一类换元公式（凑微分法）,第二类积分换元公式,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例17 求,解,令,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例18 求,解,令,2022/11/30,不定积分 冯国臣,说明(1),以
8、上几例所使用的均为三角代换.,三角代换的目的是化掉根式.,一般规律如下：当被积函数中含有,可令,可令,可令,2022/11/30,不定积分 冯国臣,说明(2),积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换.,也可以化掉根式,例 中, 令,2022/11/30,不定积分 冯国臣,积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.,说明(3),（三角代换很繁琐）,令,解,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例20 求,解,令,2022/11/30,不定积分 冯国臣,说明(4),当分母的阶较高时, 可采用倒代换,令,解,2022/11/30,不定积分
9、 冯国臣,例22 求,解,令,（分母的阶较高）,2022/11/30,不定积分 冯国臣,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例23 求,解,令,2022/11/30,不定积分 冯国臣,2022/11/30,不定积分 冯国臣,基本积分表,2022/11/30,不定积分 冯国臣,2022/11/30,不定积分 冯国臣,三、小结,两类积分换元法：,（一）凑微分,（二）三角代换、倒代换、根式代换,基本积分表(2),2022/11/30,不定积分 冯国臣,思考题,求积分,2022/11/30,不定积分 冯国臣,思考题解答,2022/11/30,不定积分 冯国臣,问题,解决思路,利用两个函数乘积的求导
10、法则.,分部积分公式,一、基本内容,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例1 求积分,解（一）,令,显然， 选择不当，积分更难进行.,解（二）,令,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例2 求积分,解,（再次使用分部积分法）,总结,若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函数为 , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数),2022/11/30,不定积分 冯国臣,例3 求积分,解,令,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例4 求积分,解,总结,若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为 .,2022/11/30,
11、不定积分 冯国臣,例5 求积分,解,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例6 求积分,解,注意循环形式,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例7 求积分,解,2022/11/30,不定积分 冯国臣,令,2022/11/30,不定积分 冯国臣,解,两边同时对 求导, 得,2022/11/30,不定积分 冯国臣,合理选择 ，正确使用分部积分公式,二、小结,2022/11/30,不定积分 冯国臣,思考题,在接连几次应用分部积分公式时， 应注意什么？,2022/11/30,不定积分 冯国臣,思考题解答,注意前后几次所选的 应为同类型函数.,例,第一次时若选,第二次时仍应选,2022/11/30
12、,不定积分 冯国臣,有理函数的定义：,两个多项式的商表示的函数称之.,一、有理函数的积分,2022/11/30,不定积分 冯国臣,假定分子与分母之间没有公因式,这有理函数是真分式；,这有理函数是假分式；,利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.,例,难点,将有理函数化为部分分式之和.,2022/11/30,不定积分 冯国臣,（1）分母中若有因式 ，则分解后为,有理函数化为部分分式之和的一般规律：,特殊地：,分解后为,2022/11/30,不定积分 冯国臣,特殊地：,分解后为,2022/11/30,不定积分 冯国臣,真分式化为部分分式之和的待定系数法,例1,2022/11/3
13、0,不定积分 冯国臣,代入特殊值来确定系数,取,取,取,并将 值代入,例2,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例3,整理得,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例4 求积分,解,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例5 求积分,解,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例6 求积分,解,令,2022/11/30,不定积分 冯国臣,2022/11/30,不定积分 冯国臣,说明,将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：,多项式；,讨论积分,令,2022/11/30,不定积分 冯国臣,则,记,2022/11/30,不定积分 冯国臣,这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数.,
14、结论,有理函数的原函数都是初等函数.,2022/11/30,不定积分 冯国臣,三角有理式的定义：,由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为,二、三角函数有理式的积分,2022/11/30,不定积分 冯国臣,（万能置换公式）,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例7 求积分,解,由万能置换公式,2022/11/30,不定积分 冯国臣,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例8 求积分,解（一）,2022/11/30,不定积分 冯国臣,解（二）,修改万能置换公式,令,2022/11/30,不定积分 冯国臣,解（三）,可以不用万能置换公式.,结论,比较以上三种解法, 便知万能置
15、换不一定是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考虑其它手段, 不得已才用万能置换.,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例9 求积分,解,2022/11/30,不定积分 冯国臣,2022/11/30,不定积分 冯国臣,讨论类型,解决方法,作代换去掉根号.,例10 求积分,解 令,三、简单无理函数的积分,2022/11/30,不定积分 冯国臣,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例11 求积分,解 令,说明,无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例12 求积分,解,先对分母进行有理化,原式,2022/11/30,不定积分 冯国臣,简单无理式的积
16、分.,有理式分解成部分分式之和的积分.,（注意：必须化成真分式）,三角有理式的积分.（万能置换公式）,（注意：万能公式并不万能）,四、小结,2022/11/30,不定积分 冯国臣,思考题,将分式分解成部分分式之和时应注意什么？,2022/11/30,不定积分 冯国臣,思考题解答,分解后的部分分式必须是最简分式.,2022/11/30,不定积分 冯国臣,（1）常用积分公式汇集成的表称为积分表.,（2）积分表是按照被积函数的类型来排列的.,（4）积分表见高等数学（四版）上册（同济大学数学教研室主编）第452页,（3）求积分时，可根据被积函数的类型直接 或经过简单变形后，查得所需结果.,一、关于积分
17、表的说明,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例1 求,被积函数中含有,在积分表（一）中查得公式（7）,现在,于是,二、例题,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例2 求,被积函数中含有三角函数,在积分表（十一）中查得此类公式有两个,选公式（105）,将 代入得,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例3 求,表中不能直接查出, 需先进行变量代换.,令,被积函数中含有,2022/11/30,不定积分 冯国臣,在积分表（六）中查得公式（37）,将 代入得,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例4 求,在积分表（十一）中查得公式（95）,利用此公式可使正弦的幂次减少两次, 重复使用可
18、使正弦的幂次继续减少, 直到求出结果. 这个公式叫递推公式.,现在,于是,2022/11/30,不定积分 冯国臣,对积分 使用公式（93）,2022/11/30,不定积分 冯国臣,说明,初等函数在其定义域内原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数.,例,2022/11/30,不定积分 冯国臣,积分法,原 函 数,选择u有效方法,基本积分表,第一换元法 第二换元法,直接积分法,分部积分法,不 定 积 分,几种特殊类型函数的积分,一、主要内容,2022/11/30,不定积分 冯国臣,1、原函数,定义,原函数存在定理,即：连续函数一定有原函数,2022/11/30,不定积分 冯国臣,2、不定积分,
19、(1) 定义,2022/11/30,不定积分 冯国臣,(2) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,(3) 不定积分的性质,2022/11/30,不定积分 冯国臣,3、基本积分表,是常数),2022/11/30,不定积分 冯国臣,2022/11/30,不定积分 冯国臣,5、第一类换元法,4、直接积分法,第一类换元公式（凑微分法）,由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法.,2022/11/30,不定积分 冯国臣,常见类型:,2022/11/30,不定积分 冯国臣,6、第二类换元法,第二类换元公式,2022/11/30,不定积分 冯国臣,常用代换:,2022/11/30,不定积分 冯
20、国臣,7、分部积分法,分部积分公式,8.选择u的有效方法:LIATE选择法,L-对数函数；,I-反三角函数；,A-代数函数；,T-三角函数；,E-指数函数；,哪个在前哪个选作u.,2022/11/30,不定积分 冯国臣,9、几种特殊类型函数的积分,（1）有理函数的积分,定义,两个多项式的商表示的函数称之.,真分式化为部分分式之和的待定系数法,2022/11/30,不定积分 冯国臣,四种类型分式的不定积分,此两积分都可积,后者有递推公式,2022/11/30,不定积分 冯国臣,令,（2） 三角函数有理式的积分,定义,由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为,2022/11/30,
21、不定积分 冯国臣,（3） 简单无理函数的积分,讨论类型：,解决方法：,作代换去掉根号,2022/11/30,不定积分 冯国臣,二、典型例题,例1,解,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例2,解,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例3,解,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例4,解,(倒代换),2022/11/30,不定积分 冯国臣,例5,解,2022/11/30,不定积分 冯国臣,解得,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例6,解,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例7,解,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例8,解,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例
22、9,解,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例10,解,2022/11/30,不定积分 冯国臣,例11,解,2022/11/30,不定积分 冯国臣,2022/11/30,不定积分 冯国臣,2022/11/30,不定积分 冯国臣,测 验 题,2022/11/30,不定积分 冯国臣,2022/11/30,不定积分 冯国臣,2022/11/30,不定积分 冯国臣,2022/11/30,不定积分 冯国臣,2022/11/30,不定积分 冯国臣,2022/11/30,不定积分 冯国臣,2022/11/30,不定积分 冯国臣,测验题答案,2022/11/30,不定积分 冯国臣,2022/11/30,不定积分 冯国臣,
