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1、第四章不定积分知识结构图： 教学目的要求：1理解原函数与不定积分的概念，理解两者的关系，理解不定积分与导数的关系；掌握不定积分的几何意义与基本性质。2理解与掌握积分的基本公式，掌握不定积分的基本运算，会熟练地用直接积分法、第一类换元积分法、第二换元积分法（代数换元）、分部积分法求不定积分。3了解不定积分在经济问题中的应用。教学重点：1原函数与不定积分的概念2不定积分的性质与基本积分公式3直接积分法4换元积分法5分部积分法教学难点：1不定积分的几何意义2凑微分法、分部积分法求不定积分第一节不定积分的概念与基本公式【教学内容】原函数与不定积分的概念、不定积分的几何意义、不定积分的基本性质、不定积分
2、的基本公式。直接积分法求函数的不定积分。【教学目的】理解原函数与不定积分的概念，理解不定积分的几何意义；理解并掌握不定积分的基本性质；熟练掌握用直接积分法计算一些简单函数的不定积分。【教学重点】1原函的概念；2.不定积分的概念；3.不定积分的几何意义；4.不定积分的基本性质；5.不定积分的基本公式；6.直接积分法计算不定积分。【教学难点】1理解不定积分的几何意义；2记忆不定积分公式。【教学时数】2学时【教学进程】一、原函数与不定积分的概念(一)原函数的概念前面我们所学的知识是：已知一个函数，求这个函数的导数；在现实生活中往往有：已知一个函数的导数，求原来这个函数的问题，如：已知曲线上任意一点p
3、(x,y)处的切线斜率为,求此曲线的方程。 已知某产品的边际成本，要求该产品总成本的变化规律原函数定义定义41 设是定义在区间内的已知函数如果存在可导函数，使对于任意的，都有或 则称函数是函数的一个原函数。例1 指出下列函数的原函数: 教师将举例分析：如，则是在R上的一个原函数。，则 是的一个原函数。教师再问：（1）是否所有的函数都有原函数？什么样的函数才有原函数存在呢？在此，我们不作讨论我们只给出一个重要的结论结论：如果函数在某区间上连续，则其原函数一定存在（2）是不是在R上的一个原函数呢？学生回答：是 （3）提出一个函数若存在原函数，则有几个呢？引入2.原函数个数定理41如果函数是的一个原
4、函数，则也是的原函数，且的所有原函数都具有的形式（为任意常数）(二)不定积分的概念教师指出：在以上的分析中我们看到一个函数有原函数存在，则有无数多个，它们都可以表示为的形式，我们把它叫做的不定积分。不定积分定义定义42 如果函数是的一个原函数，则称的全体原函数（为任意常数）为的不定积分，记作其中称为积分号，称为被积函数，称为积分表达式，称为积分变量，称为积分常数例2 求下列函数的不定积分: 2不定积分几何意义提问：不定积分是否像导数那样具有某种几何意义呢？观察图4-1，根据不定积分的定义，具有这样的性质：结论：表示的是一族曲线，其中任意一条曲线都可以由曲线沿轴上、下平移得到这积分曲线上横坐标相
5、同的点处所作曲线的切线都是互相平行的（如图4-1所示）。例3 已知某曲线上一点（1，2），且过曲线上任意一点的切线斜率等于该点横坐标的两倍，求此曲线的方程课堂练习(一)：求下列函数的一个原函数与不定积分: 3不定积分的性质提问：若对于任意的,，那么， 性质1（积分运算与微分运算互为逆运算） 或 或 性质2 （不定积分的运算法则）两个函数代数和的不定积分，等于这两个函数不定积分的代数和，即推广：有限个函数的代数和的积分等于各个函数积分的代数和，即性质3 （不定积分的运算法则）被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，即 ()4不定积分的基本公式设想：导数运算与积分运算是互为逆运算，那么我们
6、是否可以通过导数基本公式得到相应的不定积分公式？结论是肯定的，师生配合，根据导数基本公式，以及例1、2和课堂练习（一）得如下不定积分公式：1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 利用基本积分表和不定积分的性质，可以直接计算一些简单的不定积分,或将被积函数经过适当的恒等变形，再利用积分的基本性质和基本积分公式求出结果，这样的积分方法，叫做直接积分法例4求 解 例5 求 解 例6 求解 例7 求解 例8 求解 例9 求解 例10 求解课堂练习（二）：求下列不定积分 本堂课小结：主要内容：原函数、不定积分的概念；不定积分的性质与运算法则；直接积分法。重点：不定积
7、分性质与基本公式，直接积分法。难点：经恒等变形后使用直接积分法计算不定积分。第二节换元积分法【教学内容】第一类换元积分法、第二类换元积分法求函数的不定积分。【教学目的】理解第一类换元、第二类换元积分法的思想方法，熟练掌握第一换元积分法（凑微分法），知道常用第二换元积分计算不定积分的被积函数类型，掌握第二换元积分法步骤。【教学重点】1.第一类换元积分法；2.第二类换元积分法。【教学难点】1.积分方法的合理选取；2.凑微分法【教学时数】3学时【教学进程】导入新课：1. 不定积分与导数运算是互逆运算；2. 不定积分基本公式及其性质只能解决一些较简单函数的不定积分；3. 复习复合函数的导数法则，引入新
8、课。一、第一类换元积分法教师举例分析不定积分： 的计算过程，导入第一类换元积分法。（一）第一类换元积分公式如果都是连续函数，并且容易求得的一个原函数，则有如下公式：利用复合函数的求导法则，可以验证上式的正确性用这种方法的计算程序是先“凑”微分式，再作变量置换，因此我们将这类求不定积分的方法称为第一类换元积分法，也称凑微分法例1 求下列不定积分（第一小题写出中间变量，以后逐步脱离中间变量的设置）（1） （2）（3）（4）常见类型一：通常形如：令进行换元积分。课堂练习（一）求；除了用上述方法以外还可以怎样做呢？若, 求 。例2 求下列不定积分 （1） （2）（3）教师小结：1. 例2所出现的常见类
9、型小结常见类型（二）通常形如：令进行换元积分；一般，则令进行换元积分；2.积分方法的选取应该根据什么？应该根据经过换元后便于利用积分公式；课堂练习（二） 例3 求下列不定积分教学方法：指出这三个题分别是属于常见类型，为常见凑微分类型小结作准备 （1） （2）（3）（二）常用凑微分法公式的被积函数类型1. （） 特别2. 3. 4. 5. 6. 7. 或8. 或9. 或10. 或例4 求下列不定积分 通常形如：例5求下列不定积分指出被积函数为三角函数时方法的选取（1）解题后，指出其相关类型积分方法的选取；（2）解题后，指出相关类型积分方法的选取；（3）指出此题的多种解法课堂练习（三）小结第一换元
10、积分法，提出新的一种被积函数的类型含有根号如：如何计算呢？如何计算？给出其求解的一般方法（第二换元积分法）。二、第二类换元积分法（一）第二换元积分公式当某些函数的积分不易被积出，则我们可以通过设（单调且可导，），其反函数为，且，则便可求出的原函数表达式这种换元的积分方法被称为第二类换元积分法.例6计算注重解题方法分析、解题步骤书写（答案：）例7计算分析此题与上题的共同点与不同点，然后导出方法（答案：）（二）三角代换类型小结1. 被积函数中含有一般令（或），则2. 被积函数中含有一般令（或），则3. 被积函数中含有一般令（或），则 例8计算分析此题与上两题的共同点与不同点，然后导出方法例9计算分
11、析、解题三、不定积分基本公式补充本节例题中出现的几种积分的类型是经常会遇到的，它们通常也被当作公式使用我们将其也列于基本积分公式表中，具体总结添加如下：本堂课小结：主要内容：第一类、第二类换元积分法重点：第一、第二换元积分法的思想方法与解题步骤难点：积分方法的正确选取、凑微分作业1.习题4教材P982单号题；3双号题2. 补充题：（1）已知是的一个原函数，求（2）已知，求第三节分部积分法【教学内容】分部积分法。【教学目的】理解分部积分法的思想方法，能针对两种不同类型函数之积的被积函数，正确选取，熟练掌握分部积分法步骤。【教学重点】分部积分法【教学难点】的正确选取【教学时数】1学时【教学进程】导
12、入新课：1. 复习第一换元积分、第二换元积分法，并指出其适合于哪一类被积函数；2. 提出当被积函数的形式为两类不同类型函数（如：；等）之积的情形，如何求其不定积分问题，导入新课一、分部积分法教师举例分析不定积分： 的计算过程，导入分部积分公式与分部积分法。（一）分部积分公式设函数具有连续的导数，则由乘积的微分运算法则可得两边积分，得这个公式叫做分部积分公式，它的作用在于：把比较难求的（或）化为比较容易求的来计算，化难为易根据分部积分公式，分析引例计算中关于的选取原则，得出：(1) 要容易求得(通常要用凑微分法求得)，且由求时，一般不加积分常数；(2)要比容易积出（二）分部积分公式应用例1求 .
13、 (答案：)常见类型一：或；通常是将（或）凑成（或）（）（其中）常见类型二： ；通常是将凑成（）。课堂练习（一）例2 求下列不定积分 （1） （答案：）（2）（答案：）常见类型三：或或；通常是将幂函数凑入微分号内。课堂练习（二） 例3 求 （答案：）此题注意事项：（1）需分部积分两次，通过解积分方程来完成；（2）的选取不影响积分的难易程度，但是两次分部积分中关于的选取应相同。常见类型四：或。二、不定积分法综合我们已经学习了直接套用积分公式的直接积分法、换元积分法、分部积分法，这些基本的积分方法应灵活运用，切忌死套公式有些问题往往需要同时运用换元法与分部积分法才能求得最终结果例4 求（答案：）此
14、题解法比较灵活，可以先凑成后直接使用分部积分法；或者先令，然后求出代入。再一次说明做题方法的灵活性，不能死套公式。本堂课小结：主要内容：分部积分公式及其应用重点：分部积分法难点：分部积分公式中的的合理选取第四节不定积分在经济问题中的应用举例【教学内容】不定积分的经济应用。【教学目的】理解不定积分在经济问题中的应用，知道已知某经济函数的边际函数，求原经济函数的方法求不定积分，并能在初始条件下，确定积分常数值。【教学重点】不定积分经济应用【教学难点】变化率模型的经济涵义【教学时数】1学时【教学进程】导入新课：1. 求导数求函数的瞬时变化率2. 边际成本、边际收入、边际利润函数的经济意义及其求法；3
15、. 若已知某边际函数，如何去求原来那个经济函数？这类问题的求解思路：1.对边际函数求不定积分；2.由给出的初始条件，确定积分常数C；3.写出这个满足初始条件的经济函数。例1 已知某厂生产某产品总产量的变化率是时间的函数，当时，求该产品的总产量函数分析：（1）总产量的变化率即总产量的导数；（2）时，即初始条件（答案：）例2 某工厂生产某种产品，已知每月生产的产品的边际成本是，且固定成本是5000元，求总成本与月产量的函数关系分析：（1）边际成本即总成本的导数；（2）固定成本是5000元即初始条件：产量0时的成本为5000元（答案：）例3已知某产品生产个单位时总收入的变化率（边际收入）为（）求生产
16、了50个单位产品时的总收入分析：（1）总收入R的变化率即总收入的导数；（2）时，即初始条件，此条件为默认。（答案：）例4已知某种商品的最大需求量为（即价格为0时的需求量），有关部门给出这种商品的需求量的变化率模型为（也称边际需求），其中表示商品的价格，求这种商品的需求函数,分析：（1）需求量的变化率即需求函数的导数；（2）最大需求量为（即价格为0时的需求量）。（答案：）例5 已知某种商品的需求函数，其中为需求量(单位：件)，为单价（单位：元/件）.又已知此种商品的边际成本为，且C(0)=10，试确定当销售单价为多少时，总利润为最大，并求出最大总利润分析：（1）边际成本即成本函数的导数；（2）C
17、(0)=10初始条件；（3）需求量产量是一种模型简化条件；（4）需求函数需求与价格p的关系。（答案：销售单价元时（此时销售量件），总利润为最大，最大利润为240元）本堂课小结：主要内容：不定积分在经济问题中的应用重点：不定积分难点：函数的变化率、边际函数的意义。第四章不定积分习题课【教学内容】不定积分的计算及其应用。【教学目的】综合理解并掌握不定积分的计算方法，掌握不定积分在经济问题中的应用。【教学重点】计算不定积分【教学难点】原函数与不定积分的区别与联系【教学时数】1学时【教学进程】一、基本概念基本性质1.基本概念原函数、不定积分2.不定积分基本性质性质4.1不定积分与导数运算的互逆性质；性
18、质4.2,4.3不定积分的线性运算性质二、基本公式与方法1. 基本积分公式P82（1）（12）补充：，类似方法推出：，（a0），根据练习，我们还可推出：2基本积分方法直接积分法被积函数经过恒等变形后利用基本积分公式、运算性质进行积分第一换元积分法（凑微分法）被积函数为两部分的积，其中一部分是复合函数，另一部分则是中间变量的导数要熟悉常见凑微分的形式！第二换无积分法被积函数往往是含有根式，不易被“积出”时要熟悉根式的几种不同形式下的代换函数！分部积分被积函数通常是两种不同类型函数的积要熟记几种常见被积函数类型！三、综合举例例1（1）已知是的一个原函数，求（答：）（2）设，求（答：）例2计算下列各不定积分（被积函数均为有理分式的情形）（1）（答：）（2）（答：）（3）（答：）例3计算下列各不定积分（被积函数中均含有因子）（1）（答：）（2）（此题可分别采用第一、二换元积分法和分部积分法）（答：）例4计算下列各不定积分（被积函数中均含有三角函数）（1）（答：）（2）（答：）本堂课小结：主要内容：不定积分的计算方法重点：不定积分方法综合难点：不定积分方法的取舍作业补充题：（1）已知是的一个原函数，求（2）已知，求（3）计算下列不定积分（1）（2）（3）（4）
