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1、,数学分析讲义汇总,聪明出于勤奋，天才在于积累,第七章不定积分71不定积分7.2分部积分法与换元积分法73有理函数的不定积分74简单无理函数与三角函数的不定积分,7.1不定积分n原函数定义:设函数f(x)定义在区间1上,若存在函数F(x)vx有F(x)=f(x)(d=f(x),)则称函数F(x)是f(x)在区间/上的原函数,或简称F(x)是f(x)的原函数。数学分析讲义,7.1不定积分例如:xR(sinx)=cosx即sinx是cosx的原函数若F(x)是f(x)的原函数,问:1)F(x)+1是f(x)的原函数2)F(x)+100是f(x)的原函数3)F(x)+c是f(x)的原函数个函数的原函
2、数如有的话,有唯一的还是无穷多个如果函数有原函数,对其任意一个原函数的形式你有何猜测。数学分析讲义,7.1不定积分定理1:若F(x)=f(x),则f(x)的所有原函数均可表示成形如F(x)+c(c为任意常数)形式的函数。注:定理指出,欲求函数的所有原函数,只须求出其中一个原函数,然后再加上一个任意常数即可函数y=cosx的所有原函数为snx+c函数y的所有原函数为 arcsin x+c函数y=sec2x的所有原函数为gx+c数学分析讲义,7.1不定积分不定积分定义:函数f(x)的所有原函数F(x)+c(c是任意常数)叫做函数f(x)的不定积分,记为(xkx。f(x叫做被积表达式,称为积分号,x
3、叫做积分变量,读作“积分f(xx例.4x=x+c;osh=sinx+csin xdxcos r+csec xdx=tgx+c数学分析讲义,7.1不定积分注:不定积分与原函数的关系:不定积分是由所以原函数组成的集合,而原函数是不定积分中的一个元素。积分运算:1(4=(减(x=(k2、F(x)=F(x)+C或F()=F(x)+c3、4(x)t=af()k,是常数。4、j()+8(0k-()数学分析讲义,7.1不定积分基本积分公式表:xdx(a-1)dx=Inx+Cjcos xdx=sin x+osin xdx=-cosx+Csec xdx=tgx+Cdx=-ctgx+Csec x.tgxdx se
4、c x+CcScx ctgxdu=-ccx+Carcsinx+Cdx=arctex+C这些积分公式是我们后面计算不定积分的基础,一定要把它记住。数学分析讲义,7.1不定积分利用不定积分基本公式计算不定积分例1P(x)=anx+a1x1+an1x+an求|P(x)dx例2=(x2-1+21+x例4(x+1)2x(1+x2)例5()j(04-10-)a22-e3x+ldxcOs2例fis.d数学分析讲义,7.2分部积分与换元积分分部积分法分部积分公式是从函数乘积的导数公式反转过来的。设u与v都是x的可导函数,由函数乘积的导数公式,有()=m或my2=(n)-w根据不定积分的法则,有mtx=(a)a
5、x-jvt即:ant=am-JNudrudv=uv-vdu称为分部积分公式数学分析讲义,7.2分部积分与换元积分注:根据公式不定积分y就可以通过已知函数n)与另一个不定积分vt表示出来,从形式上看anth并未求得,只不过一个积分转化为另一个积分,但有可能出现这样情况,计算不定积分wb比起计算uvx要容易得多用分部积分公式求积分f(x),首先应该把被积函数分解为一个函数乘以另一个函数的导函数,值得注意的是不能盲目地选择和般要按下列原则选择从可以马上求得其原函数p(并且最好p不比复杂)2要使wa容易积出或比原积分简单。数学分析讲义,51、天下之事常成于困约，而败于奢靡。陆游52、生命不等于是呼吸，生命是活动。卢梭53、伟大的事业，需要决心，能力，组织和责任感。易卜生54、唯书籍不朽。乔特55、为中华之崛起而读书。周恩来,谢谢！,
