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1、函数的最大值与最小值,高三数学选修（）第三章 导数与微分,函数的最大值与最小值,O,x,y,Y=f(x),a,b,x1,x2,x3,极小值f(x1),极大值f(x2),极小值f(x3),最大值f(b),最小值f(x3),1.函数最值的概念,定义：可导函数 在闭区间a,b上所有点处的函数值中最大（或最小）值，叫做函数 的最大（或最小）值。一般地，在闭区间上连续的函数 在a,b上必有最大值与最小值。,若改为(a,b)?,举例说明,函数 在(0,)内连续。,2.求可导 函数在a,b上最值的方法。,例1：求函数 在区间-2，2上的最大值与最小值。,解：,令,有,解得：,当x变化时，y的变化情况如下表：
2、,从上表可看出，最大值是13，最小值是4。,2.求可导 函数在a,b上最值的方法。,例1：求函数 在区间-2，2上的最大 值与最小值。图象,【解题回顾】,设函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)内,可导，求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤：,（1）求f(x)在(a,b)内的极值；,（2）将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的,一个是最大值，最小的一个是最小值。,【对应练习】,求下列函在所给的区间上的最大值与最小值。,（1）y=x-x3 x0,2,（2）y=x3+x2-x x-2,1,【解题回顾】在求函数f(x)在a,b最值过程中，判断极值比较麻烦，可改求可导函数在(a
3、,b)内导数为0点函数值，再把这些值与函数在端点的值比较即可。,几何画板,例2：在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起如下图，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时？箱子容积最大？最大容积是多少？,【解题回顾】,1.求最大（小）值应用问题的一般方法：,分析、联系、抽象、转化,数学方法,数学结果,实际结果,回答问题,实际问题,建立数学模型（列数学关系式）,解决应用性问题的关键是读题懂题建立数学关系式。,2.在实际问题中，有时会遇到在区间内只有一个点使导数为0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点的值比较，也可以知道这就是最大(小)值。这时所说的也适
4、用于开区间或无穷区间。,【对应练习】圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面径应样选取时，才能使所用的材料最省？,解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S=2Rh+2R2由V=R2h，得h=，则S(R)=2R+2R2=+2R2令S(R)=+4R=0 解得，R=从而h=2即h=2R因为只有一个极值，所以它是最小值。答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省。,【反馈练习】,1.函数 在-3，4上的最小值为（）A、-64 B、-51 C、-56 D、-612.函数 在上的最大值为（）A、2+2 B、4 C、D、5 3函数 在 时的最大、最小值分别是。4教材P139 练习1、2(课后完成)。,D,B,【课堂小结】,（1）利用导数求函数最值的关键是可导函数极值的判定；,（2）若连续函数在闭区间上只有一个导数为0的点，且在这一点有极值，则该极值就是函数在上的最值；,（3）导数应用的主要内容之一就是求实际问题的最值，其关键是分清各量间的关系，建立目标函数，在判断函数极值的基础一就可以确定出函数的最值情况。,
