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1、4.3 向量组的极大无关线性组和秩,（2）如何找出这一组线性无关向量组？,（3）其余向量与这一组向量有何关系？,问题,（1）一个向量组（含有限多个向量，或无限多 个向量）线性无关的向量最多有几个？,若向量组A和向量组B可相互线性表出，称向量组A与向量组B等价。,即,1.向量组的线性表出,定理,且,则向量组 必线性相关.,证明：给出 时的证明.,为说明 线性相关，需找到三个不全为零的数 使,代入上式，整理得,齐次线性方程组,所含方程个数小于未知量的个数，必有非零解.因此 线性相关.,由已知，可由生成集 线性表出：,定理4.3.3 两个等价的线性无关向量组，必包含相同个数的向量.,（逆否命题）,2
2、.极大线性无关组,注：,（1）只含零向量的向量组没有极大无关组.,（2）任意r1个向量（如果有）都线性相关.,（1）（II）线性无关，,则称（II）是（I）的一个极大线性无关组.,（2）一个线性无关向量组的极大无关组为其本身.,（2）（I）中的任意向量可由（II）线性表出，,在条件（1）下，（2）等价于,例：在向量组,注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。,中，,极大无关组的一个基本性质：,任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。,向量组的极大无关组不唯一，而每一个极大无关组都与向量组等价，所以：,向量组的任意两个极大无关组都是等价的。,由于等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量，可
3、得,一个向量组的任意两个极大无关组等价，且所含向量的个数相同。,定理,3.向量组的秩,定义4.3.3 向量组的极大无关组所含向量的个数，称为向量组的秩，记作,例：向量组,秩为2.,关于向量组的秩的一些结论：,（1）零向量组的秩为0.,线性表出，则,（4）等价的向量组必有相同的秩。,思考：两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个线性表出，则这两个向量组等价.,两个有相同的秩的向量组等价吗？,不一定,例：,求向量组的秩和一个极大无关组.并用该极大无关组线性表出向量组中的其余向量.,4.向量组的秩、极大无关组的求法,解：,B的1，2，4列是B的一个列极大无关组，,B有三个非零行，,思考：是否还有其他的极大无关组？,进一步化A为行最简形,是C的一个列极大无关组,且,相应地有,步骤：,r(A)=B的非零行的行数,（3）求出B的列向量组的极大无关组,（4）A中与B的列极大无关组相对应部分的列向量组即为A的极大无关组。,（主元列）,
