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1、第四章向量组的线性相关性,1 向量组及其线性组合,定义：n 个有次序的数 a1,a2,an 所组成的数组称为n 维向量，这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 ai 称为第 i 个分量分量全为实数的向量称为实向量分量全为复数的向量称为复向量备注：本书一般只讨论实向量（特别说明的除外）行向量和列向量总被看作是两个不同的向量所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量本书中，列向量用黑色小写字母 a,b,a,b 等表示，行向量则用 aT,bT,aT,bT 表示,定义：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为向量组当R(A)n 时，齐次线性方程组 Ax=0 的全体解组成
2、的向量组含有无穷多个向量,结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应,有限向量组,定义：给定向量组 A：a1,a2,am，对于任何一组实数 k1,k2,km，表达式k1a1+k2a2+kmam称为向量组 A 的一个线性组合k1,k2,km 称为这个线性组合的系数定义：给定向量组 A：a1,a2,am 和向量 b，如果存在一组实数 l1,l2,lm，使得b=l1a1+l2a2+lmam则向量 b 是向量组 A 的线性组合，这时称向量 b 能由向量组 A 的线性表示,例：设,那么,线性组合的系数,e1,e2,e3的线性组合,一般地，对于任意的 n 维向量b，必有,n 阶单位矩阵 En 的列向量叫
3、做 n 维单位坐标向量,回顾：线性方程组的表达式,一般形式 向量方程的形式,增广矩阵的形式向量组线性组合的形式,方程组有解？,向量 是否能用 线性表示？,结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应,向量b 能由向量组 A线性表示,线性方程组 Ax=b 有解,P.83 定理1 的结论：,定义：设有向量组 A：a1,a2,am 及 B：b1,b2,bl，若向量组 B 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示若向量组 A 与向量组 B 能互相线性表示，则称这两个向量组等价,设有向量组 A：a1,a2,am 及 B：b1,b2,bl，若向量组 B 能由向量组
4、A 线性表示，即,线性表示的系数矩阵,设有向量组 A：a1,a2,am 及 B：b1,b2,bl，若向量组 B 能由向量组 A 线性表示，即对于 b1，存在一组实数 k11,k21,km1，使得b1=k11a1+k21 a2+km1 am；对于 b2，存在一组实数 k12,k22,km2，使得b2=k12a1+k22 a2+km2 am；对于 bl，存在一组实数 k1l,k2l,kml，使得bl=k1l a1+k2l a2+kml am,若 Cmn=Aml Bln，即,则,结论：矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示，B 为这一线性表示的系数矩阵,若 Cmn=Aml Bln，即,
5、则,结论：矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组线性表示，A 为这一线性表示的系数矩阵,口诀：左行右列,定理：设A是一个 mn 矩阵，对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.结论：若 C=AB，那么矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组线性表示，A为这一线性表示的系数矩阵（A 在左边）矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示，B为这一线性表示的系数矩阵（B 在右边）,A 经过有限次初等列变换变成 B存在有限个初等矩阵P1,P2,Pl，使 AP1 P2,Pl=B
6、存在 m 阶可逆矩阵 P，使得 AP=B矩阵 B 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价,矩阵 B 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价,同理可得,口诀：左行右列.,把 P 看成是线性表示的系数矩阵,向量组 B：b1,b2,bl 能由向量组 A：a1,a2,am 线性表示存在矩阵 K，使得 AK=B 矩阵方程 AX=B 有解 R(A)=R(A,B)（P.84 定理2）R(B)R(A)（P.85 定理3）,推论：向量组 A：a1,a2,am 及 B：b1,b2,bl 等价的充分必要条件是 R(A)=R(B)=R(A,B)证明：向量组 A 和 B 等价 向量组 B 能由向量组 A 线性表示 向量组
7、A 能由向量组 B 线性表示从而有R(A)=R(B)=R(A,B),因为 R(B)R(A,B),R(A)=R(A,B),R(B)=R(A,B),例：设证明向量 b 能由向量组 a1,a2,a3 线性表示，并求出表示式,解：向量 b 能由 a1,a2,a3 线性表示当且仅当R(A)=R(A,b),因为R(A)=R(A,b)=2，所以向量 b 能由 a1,a2,a3 线性表示,行最简形矩阵对应的方程组为通解为所以 b=(3c+2)a1+(2c1)a2+c a3,n 阶单位矩阵的列向量叫做 n 维单位坐标向量设有nm 矩阵 A=(a1,a2,am)，试证：n 维单位坐标向量组能由矩阵 A 的列向量组
8、线性表示的充分必要条件是R(A)=n,分析：n 维单位坐标向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示R(A)=R(A,E)R(A)=n,（注意到：R(A,E)=n 一定成立）,小结,向量 b 能由向量组 A线性表示,线性方程组 Ax=b 有解,向量组 B 能由向量组 A线性表示,矩阵方程组AX=B 有解,向量组 A 与向量组 B等价,知识结构图,n维向量,向量组,向量组与矩阵的对应,向量组的线性组合,向量组的线性表示,向量组的等价,判定定理及必要条件,判定定理,2 向量组的线性相关性,回顾：向量组的线性组合,定义：给定向量组 A：a1,a2,am，对于任何一组实数 k1,k2,km，表达式k1a1
9、+k2a2+kmam称为向量组 A 的一个线性组合k1,k2,km 称为这个线性组合的系数定义：给定向量组 A：a1,a2,am 和向量 b，如果存在一组实数 l1,l2,lm，使得b=l1a1+l2a2+lmam则称向量 b 能由向量组 A 的线性表示,引言,问题1：给定向量组 A，零向量是否可以由向量组 A 线性表 示？问题2：如果零向量可以由向量组 A 线性表示，线性组合的 系数是否不全为零？,向量b 能由向量组 A线性表示,线性方程组 Ax=b 有解,P.83 定理1 的结论：,问题1：给定向量组 A，零向量是否可以由向量组 A 线性表示？问题1：齐次线性方程组 Ax=0 是否存在解？
10、回答：齐次线性方程组 Ax=0 一定存在解事实上，可令k1=k2=km=0，则k1a1+k2a2+kmam=0（零向量）,问题2：如果零向量可以由向量组 A 线性表示，线性组合的系数 是否不全为零？问题2：齐次线性方程组 Ax=0 是否存在非零解？回答：齐次线性方程组不一定有非零解，从而线性组合的系数 不一定全等于零,例：设,若,则 k1=k2=k3=0,向量组的线性相关性,定义：给定向量组 A：a1,a2,am，如果存在不全为零的实数 k1,k2,km，使得k1a1+k2a2+kmam=0（零向量）则称向量组 A 是线性相关的，否则称它是线性无关的,向量组A：a1,a2,am线性相关,m 元
11、齐次线性方程组Ax=0有非零解,R(A)m,备注：给定向量组 A，不是线性相关，就是线性无关，两者必居其一向量组 A：a1,a2,am 线性相关，通常是指 m 2 的情形.若向量组只包含一个向量：当 a 是零向量时，线性相关；当 a 不是零向量时，线性无关向量组 A：a1,a2,am(m 2)线性相关，也就是向量组 A 中，至少有一个向量能由其余 m1 个向量线性表示特别地，a1,a2 线性相关当且仅当 a1,a2 的分量对应成比例，其几何意义是两向量共线a1,a2,a3 线性相关的几何意义是三个向量共面,向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组 A：a1,a2,am 线性相关存在不全为零的
12、实数 k1,k2,km，使得k1a1+k2a2+kmam=0（零向量）m 元齐次线性方程组 Ax=0 有非零解矩阵A=(a1,a2,am)的秩小于向量的个数 m 向量组 A 中至少有一个向量能由其余 m1 个向量线性表示,向量组线性无关性的判定（重点、难点）向量组 A：a1,a2,am 线性无关如果 k1a1+k2a2+kmam=0（零向量），则必有k1=k2=km=0 m 元齐次线性方程组 Ax=0 只有零解矩阵A=(a1,a2,am)的秩等于向量的个数 m 向量组 A 中任何一个向量都不能由其余 m1 个向量线性表示,向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组 A：a1,a2,am 线性相
13、关存在不全为零的实数 k1,k2,km，使得k1a1+k2a2+kmam=0（零向量）m 元齐次线性方程组 Ax=0 有非零解矩阵A=(a1,a2,am)的秩小于向量的个数 m 向量组 A 中至少有一个向量能由其余 m1 个向量线性表示,向量组线性无关性的判定（重点、难点）向量组 A：a1,a2,am 线性无关如果 k1a1+k2a2+kmam=0（零向量），则必有k1=k2=km=0 m 元齐次线性方程组 Ax=0 只有零解矩阵A=(a1,a2,am)的秩等于向量的个数 m 向量组 A 中任何一个向量都不能由其余 m1 个向量线性表示,例：试讨论 n 维单位坐标向量组的线性相关性,例：已知试
14、讨论向量组 a1,a2,a3 及向量组a1,a2 的线性相关性解：可见 R(a1,a2,a3)=2，故向量组 a1,a2,a3 线性相关；同时，R(a1,a2)=2，故向量组 a1,a2 线性无关,例：已知向量组 a1,a2,a3 线性无关，且b1=a1+a2，b2=a2+a3，b3=a3+a1，试证明向量组 b1,b2,b3 线性无关解题思路：转化为齐次线性方程组的问题；转化为矩阵的秩的问题,例：已知向量组 a1,a2,a3 线性无关，且b1=a1+a2，b2=a2+a3，b3=a3+a1，试证明向量组 b1,b2,b3 线性无关解法1：转化为齐次线性方程组的问题已知，记作 B=AK 设 B
15、x=0，则(AK)x=A(Kx)=0 因为向量组 a1,a2,a3 线性无关，所以Kx=0 又|K|=2 0，那么Kx=0 只有零解 x=0，从而向量组 b1,b2,b3 线性无关,例：已知向量组 a1,a2,a3 线性无关，且b1=a1+a2，b2=a2+a3，b3=a3+a1，试证明向量组 b1,b2,b3 线性无关解法2：转化为矩阵的秩的问题已知，记作 B=AK 因为|K|=2 0，所以K 可逆，R(A)=R(B)，又向量组 a1,a2,a3 线性无关，R(A)=3，从而R(B)=3，向量组 b1,b2,b3 线性无关,定理（P.89定理5）若向量组 A：a1,a2,am 线性相关，则向
16、量组 B：a1,a2,am,am+1 也线性相关其逆否命题也成立，即若向量组 B 线性无关，则向量组 A 也线性无关m 个 n 维向量组成的向量组，当维数 n 小于向量个数 m 时，一定线性相关特别地，n+1个 n 维向量一定线性相关设向量组 A：a1,a2,am 线性无关，而向量组 B：a1,a2,am,b 线性相关，则向量 b 必能由向量组 A 线性表示，且表示式是唯一的,3 向量组的秩,矩阵,线性方程组,有限向量组,系数矩阵增广矩阵,有限向量组与矩阵一一对应,Ax=b 有解当且仅当向量 b 可由矩阵 A的列向量组线性表示,课本P.88定理4：向量组 A：a1,a2,am 线性相关的充要条
17、件是矩阵 A=(a1,a2,am)的秩小于向量的个数 m；向量组 A：a1,a2,am 线性无关的充要条件是矩阵 A=(a1,a2,am)的秩等于向量的个数 m,矩阵,线性方程组,有限向量组,无限向量组,系数矩阵增广矩阵,有限向量组与矩阵一一对应矩阵的秩等于列（行）向量组的秩,Ax=b 有解当且仅当向量 b 能否由向量组 A 线性表示,向量组与自己的最大无关组等价,回顾：矩阵的秩,定义：在 mn 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列(k m，kn)，位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它们在 A中所处的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式规定：零矩阵的秩等于零,定义：
18、设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有r+1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A),结论：矩阵的秩=矩阵中最高阶非零子式的阶数=矩阵对应的行阶梯形矩阵的非零行的行数,向量组的秩的概念,定义：设有向量组 A，如果在 A 中能选出 r 个向量a1,a2,ar，满足向量组 A0：a1,a2,ar 线性无关；向量组 A 中任意 r+1个向量（如果 A 中有r+1个向量的话）都线性相关；那么称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大线性无关向量组，简称最大无关组最大无关组所含向量个数 r 称为向量组 A 的秩，记
19、作RA,例：求矩阵 的秩，并求 A 的一个最高阶非零子式,第二步求 A 的最高阶非零子式选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列,，与之对应的是选取矩阵 A 的第一、二、四列,解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵,行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故R(A)=3,R(A0)=3，计算 A0的前 3 行构成的子式,因此这就是 A 的一个最高阶非零子式结论：矩阵的最高阶非零子式一般不是唯一的，但矩阵的秩是唯一的,事实上，根据 R(A0)=3 可知：A0的 3 个列向量就是矩阵 A 的列向量组的一个线性无关的部分组在矩阵 A 任取 4 个列向量，根据 R(A)=3 可知：A中所有4 阶子
20、式都等于零，从而这 4 个列向量所对应的矩阵的秩小于 4，即这 4 个列向量线性相关A0的 3 个列向量就是矩阵 A 的列向量组的一个最大线性无关组矩阵 A 的列向量组的秩等于 3同理可证，矩阵 A 的行向量组的秩也等于 3,矩阵,线性方程组,有限向量组,系数矩阵增广矩阵,有限向量组与矩阵一一对应矩阵的秩等于列（行）向量组的秩,Ax=b 有解当且仅当向量 b 能否由向量组 A 线性表示,一般地，矩阵的秩等于它的列向量组的秩矩阵的秩等于它的行向量组的秩（P.90 定理6）,一般地，矩阵的秩等于它的列向量组的秩矩阵的秩等于它的行向量组的秩（P.90 定理6）今后，向量组 a1,a2,am 的秩也记
21、作 R(a1,a2,am)若Dr 是矩阵 A 的一个最高阶非零子式，则Dr 所在的 r 列是 A 的列向量组的一个最大无关组，Dr 所在的 r 行是 A 的行向量组的一个最大无关组向量组的最大无关组一般是不唯一的,例：已知试讨论向量组 a1,a2,a3 及向量组a1,a2 的线性相关性解：可见 R(a1,a2)=2，故向量组 a1,a2 线性无关，同时，R(a1,a2,a3)=2，故向量组 a1,a2,a3 线性相关，从而 a1,a2 是向量组 a1,a2,a3 的一个最大无关组事实上，a1,a3 和 a2,a3 也是最大无关组,最大无关组的等价定义,结论：向量组 A 和它自己的最大无关组 A
22、0 是等价的定义：设有向量组 A，如果在 A 中能选出 r 个向量a1,a2,ar，满足向量组 A0：a1,a2,ar 线性无关；向量组 A 中任意 r+1个向量（如果 A 中有 r+1个向量的话）都线性相关；向量组 A 中任意一个向量都能由向量组 A0 线性表示；那么称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大无关组,矩阵,线性方程组,有限向量组,无限向量组,系数矩阵增广矩阵,有限向量组与矩阵一一对应矩阵的秩等于列（行）向量组的秩,Ax=b 有解当且仅当向量 b 能否由向量组 A 线性表示,向量组与自己的最大无关组等价,最大无关组的意义,结论：向量组 A 和它自己的最大无关组 A0 是等价的用
23、A0 来代表 A，掌握了最大无关组，就掌握了向量组的全体特别，当向量组 A 为无限向量组，就能用有限向量组来代表凡是对有限向量组成立的结论，用最大无关组作过渡，立即可推广到无限向量组的情形中去,例：全体 n 维向量构成的向量组记作 Rn，求 Rn 的一个最大无关组及 Rn 的秩,解：n 阶单位矩阵 的列向量组是 Rn 的一个最大无关组，Rn 的秩等于n 思考：上三角形矩阵 的列向量组是 Rn 的一个最大无关组吗？,例：设齐次线性方程组 的通解是试求全体解向量构成的向量组 S 的秩,例：求矩阵 的秩，并求 A 的一个最高阶非零子式,例：设矩阵求矩阵 A 的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大
24、无关组的列向量用最大无关组线性表示,第二步求 A 的最高阶非零子式选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列,，与之对应的是选取矩阵 A 的第一、二、四列,解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵,行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故R(A)=3,R(A0)=3，计算 A0的前 3 行构成的子式,因此这就是 A 的一个最高阶非零子式A0的 3 个列向量就是矩阵 A 的列向量组的一个最大无关组,思考：如何把 a3,a5 表示成a1,a2,a4 的线性组合？思路1：利用P.83 定理1 的结论思路2：利用矩阵 A 的行最简形矩阵,向量 b 能由向量组 A线性表示,线性方程组 Ax=b 有解,
25、令 A0=(a1,a2,a4)求解 A0 x=a3 A0 x=a5,解（续）：为把 a3,a5 表示成a1,a2,a4 的线性组合，把矩阵 A 再变成行最简形矩阵,于是 Ax=0 与 Bx=0，即x1a1+x2a2+x3a3+x4a4+x5a5=0 x1b1+x2b2+x3b3+x4b4+x5b5=0 同解即矩阵 A 的列向量组与矩阵 B 的列向量组有相同的线性关系.,可以看出：b3=b1 b2 b5=4b1+3b2 3b4所以a3=a1 a2 a5=4a1+3a2 3a4,4 线性方程组解的结构,回顾：线性方程组的解的判定,包含 n 个未知数的齐次线性方程组 Ax=0 有非零解的充分必要条件
26、是系数矩阵的秩 R(A)n 包含 n 个未知数的非齐次线性方程组 Ax=b 有解的充分必要条件是系数矩阵的秩 R(A)=R(A,b)，并且当R(A)=R(A,b)=n时，方程组有唯一解；当R(A)=R(A,b)n时，方程组有无限多个解,引言,问题：什么是线性方程组的解的结构？答：所谓线性方程组的解的结构，就是当线性方程组有无限 多个解时，解与解之间的相互关系备注：当方程组存在唯一解时，无须讨论解的结构下面的讨论都是假设线性方程组有解,解向量的定义,定义：设有齐次线性方程组 Ax=0，如果x1=x11，x2=x21，.，xn=xn1为该方程组的解，则称为方程组的解向量,齐次线性方程组的解的性质,
27、性质1：若 x=x1，x=x2 是齐次线性方程组 Ax=0 的解，则 x=x1+x2 还是 Ax=0 的解证明：A(x1+x2)=Ax1+Ax2=0+0=0 性质2：若 x=x 是齐次线性方程组 Ax=0 的解，k 为实数，则 x=kx 还是 Ax=0 的解证明：A(kx)=k(Ax)=k 0=0 结论：若 x=x1,x=x2,.,x=xt 是齐次线性方程组 Ax=0 的解，则 x=k1x1+k2x2+ktxt 还是 Ax=0 的解.,结论：若 x=x1,x=x2,.,x=xt 是齐次线性方程组 Ax=0 的解，则 x=k1x1+k2x2+ktxt 还是 Ax=0 的解.已知齐次方程组 Ax=
28、0 的几个解向量，可以通过这些解向量的线性组合给出更多的解能否通过有限个解向量的线性组合把 Ax=0 的解全部表示出来？把 Ax=0 的全体解组成的集合记作 S，若求得 S 的一个最大无关组S0：x=x1,x=x2,.,x=xt，那么Ax=0 的通解可表示为 x=k1x1+k2x2+ktxt 齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系（不唯一）,回顾：向量组的秩的概念,定义：设有向量组 A，如果在 A 中能选出 r 个向量a1,a2,ar，满足 向量组 A0：a1,a2,ar 线性无关；向量组 A 中任意 r+1个向量（如果 A 中有r+1个向量的 话）都线性相关；向量组
29、A 中任意一个向量都能由向量组 A0 线性表示；那么称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大无关组向量组的最大无关组一般是不唯一的,返回,基础解系的概念,定义：齐次线性方程组 Ax=0 的一组解向量：x1,x2,.,xr如果满足 x1，x2，.，xr 线性无关；方程组中任意一个解都可以表示x1,x2,.,xr 的线性组合，那么称这组解是齐次线性方程组的一个基础解系,后 n-r 列,前 r 列,设 R(A)=r，为叙述方便，不妨设 A 行最简形矩阵为,对应的齐次线性方程组令 xr+1,xn 作自由变量，则,令 xr+1=c1,xr+2=c2,xn=cn-r，则,齐次线性方程组的通解,记作 x=c
30、1x1+c2x2+cn-rxn-r（满足基础解系）,n r 列,前 r 行,后 n r 行,故 R(x1,x2,xn-r)=n r，即 x1,x2,xn-r 线性无关（满足基础解系）于是 x1,x2,xn-r 就是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系,令 xr+1=c1,xr+2=c2,xn=cn-r，则,线性方程组的通解,记作 x=c1x1+c2x2+cn-rxn-r（满足基础解系）,此即为 Ax=0 的基础解系通解为 x=c1x1+c2x2+cn-rxn-r,，则,令,定理：设 mn 矩阵的秩 R(A)=r，则 n 元齐次线性方程组Ax=0 的解集 S 的秩 RS=n r,基础解系的求解,
31、例：求齐次线性方程组 的基础解系方法1：先求出通解，再从通解求得基础解系,即,令x3=c1，x4=c2，得通解表达式,因为方程组的任意一个解都可以表示为x1,x2 的线性组合x1,x2 的四个分量不成比例，所以 x1,x2 线性无关所以x1,x2 是原方程组的基础解系,方法2：先求出基础解系，再写出通解,即,令,合起来便得到基础解系,，得,还能找出其它基础解系吗？,问题：是否可以把 x1 选作自由变量？答：可以，因为是否把系数矩阵化为行最简形矩阵，其实并不影响方程组的求解当两个矩阵行等价时，以这两个矩阵为系数矩阵的齐次线性方程组同解,令 x1=c1，x2=c2，得通解表达式,即,从而可得另一个
32、基础解系：h1和 h2,定理：设 mn 矩阵的秩 R(A)=r，则 n 元齐次线性方程组Ax=0 的解集 S 的秩 RS=n r,例：设AmnBnl=O（零矩阵），证明R(A)+R(B)n,例：证明 R(ATA)=R(A),例：设 n 元齐次线性方程组 Ax=0 与Bx=0 同解，证明R(A)=R(B),非齐次线性方程组的解的性质,性质3：若 x=h1，x=h2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的解，则 x=h1 h2 是对应的齐次线性方程组 Ax=0（导出组）的解证明：A(h1 h2)=Ah1 Ah2=b b=0 性质4：若 x=h 是非齐次线性方程组 Ax=b 的解，x=x 是导出组 Ax=
33、0 的解，则 x=x+h 还是 Ax=b 的解证明：A(x+h)=Ax+Ah=0+b=b,根据性质3 和性质4 可知若 x=h*是 Ax=b 的解，x=x 是 Ax=0 的解，那么 x=x+h*也是 Ax=b 的解设 Ax=0 的通解为 x=c1x1+c2x2+cn-rxn-r 于是 Ax=b 的通解为h=c1x1+c2x2+cn-rxn-r+h*,例：求线性方程组 的通解,解：容易看出 是方程组的一个特解 其对应的齐次线性方程组为根据前面的结论，导出组的基础解系为,于是，原方程组的通解为,小结：关于线性方程组,求解线性方程组（第三章，利用矩阵的初等行变换）线性方程组的几何意义（第四章，四种等
34、价形式）齐次线性方程组的通解能由它的基础解系来构造基础解系是解集 S 的最大无关组解集 S 是基础解系的所有可能的线性组合非齐次线性方程组的通解与其导出组的基础解系的关系.,5 向量空间,封闭的概念,定义：所谓封闭，是指集合中任意两个元素作某一运算得到的结果仍属于该集合例：试讨论下列数集对四则运算是否封闭？整数集 Z有理数集 Q实数集 R,向量空间的概念,定义：设 V 是 n 维向量的集合，如果 集合 V 非空，集合 V 对于向量的加法和乘数两种运算封闭，具体地说，就是：若 a V，b V，则a+b V（对加法封闭）若 a V，l R，则 l a V（对乘数封闭）那么就称集合 V 为向量空间,
35、例：下列哪些向量组构成向量空间？n 维向量的全体Rn集合 V1=(0,x2,xn)T|x2,xnR 集合 V2=(1,x2,xn)T|x2,xnR 齐次线性方程组的解集 S1=x|Ax=0 非齐次线性方程组的解集 S2=x|Ax=b 解：集合 Rn，V1，S1 是向量空间，集合 V2，S2 不是向量空间定义：齐次线性方程组的解集称为齐次线性方程组的解空间.,例：设 a,b 为两个已知的 n 维向量，集合L=l a+m b|l,m R 是一个向量空间吗？解：设 x1,x2 L，kR，因为x1+x2=(l1a+m1b)+(l2a+m2b)=(l1+l2)a+(m1+m2)b Lk x1=k(l1a
36、+m1b)=(kl1)a+(km1)b L 所以，L 是一个向量空间,定义：把集合L=l a+m b|l,m R 称为由向量 a,b 所生成的向量空间一般地，把集合 L=l1a1+l2a2+lmam|l1,l2,.,lm R 称为由向量a1,a2,.,am 所生成的向量空间例：设向量组a1,a2,.,am 和 b1,b2,.,bs 等价，记L1=l1a1+l2a2+lmam|l1,l2,.,lmR，L2=m1b1+m2b2+ms bs|m1,m2,.,msR，试证 L1=L2 结论：等价的向量组所生成的空间相等,a,l a,L=l a|lR,L=l a+m b|l,mR,a,b,c,L=l a
37、+m b+g c|l,m,g R,l a,m b,g c,a,b,l a,m b,a1,a2,L1=l1a1+l2a2|l1,l2R L2=m1b1+m2b2|m1,m2R 则 L1=L2L3=m1b1+m2b2+m3b3|m1,m2,m3R 问题：L1=L2=L3?,b1,b2,b3,返回,子空间的概念,定义：如果向量空间 V 的非空子集合 V1 对于 V 中所定义的加法及乘数两种运算是封闭的，则称 V1 是 V 的子空间 例：n 维向量的全体Rn集合 V1=(0,x2,xn)T|x2,xnR 集合 V2=(1,x2,xn)T|x2,xnR 解：V1 是 Rn 的子空间，V2 不是 Rn 的
38、子空间,向量空间的基的概念,定义：设有向量空间 V，如果在 V 中能选出 r 个向量a1,a2,ar，满足 a1,a2,ar 线性无关；V 中任意一个向量都能由 a1,a2,ar 线性表示；那么称向量组 a1,a2,ar 是向量空间 V 的一个基r 称为向量空间 V 的维数，并称 V 为 r 维向量空间,向量空间向量空间的基向量空间的维数,向量组向量组的最大无关组向量组的秩,n 维向量的全体 Rn解：En 的列向量组是 Rn 的一个基，故Rn 的维数等于 n.集合 V1=(0,x2,xn)T|x2,xnR 解：En 的后 n1个列向量是V1 的一个基，故 V1 的维数等于 n1 n 元齐次线性
39、方程组的解集 S1=x|Ax=0 解：齐次线性方程组的基础解系是 S1 的一个基，故 S1 的维数等于 nR(A),n 维向量的全体 Rn解：En 的列向量组是 Rn 的一个基，故Rn 的维数等于 n.集合 V1=(0,x2,xn)T|x2,xnR 解：En 的后 n1个列向量是V1 的一个基，故 V1 的维数等于 n1 结论：若V1 是V 的子空间，则V1 的维数不超过V 的维数 n 元齐次线性方程组的解集 S1=x|Ax=0 解：齐次线性方程组的基础解系是 S1 的一个基，故 S1 的维数等于 nR(A),由a1,a2,.,am 所生成的向量空间L=l1a1+l2a2+lmam|l1,l2
40、,.,lmR 若 a1,a2,.,am 线性无关，则 a1,a2,.,am 是向量空间 L 的一个基若 a1,a2,.,am 线性相关，则 向量组 A：a1,a2,.,am 等价于向量组 A 的最大无关组 A0：a1,a2,.,ar 从而 L=L1=l1a1+l2a2+lr ar|l1,l2,.,lrR 故向量组 A0 就是 L 的一个基，A0中向量的个数就是 L 的维数.,由a1,a2,.,am 所生成的向量空间L=l1a1+l2a2+lmam|l1,l2,.,lmR 解：L=l1a1+l2a2+lmam|l1,l2,.,lmR 向量组 A：a1,a2,.,am 等价于向量组 A 的最大无关
41、组 A0：a1,a2,.,ar 故向量组 A0 就是 L 的一个基，A0中向量的个数就是 L 的维数.一般来说，若 a1,a2,.,am V，则 L 是 V 的子空间若向量组 a1,a2,.,am 是向量空间V 的一个基，那么V=l1a1+l2a2+lmam|l1,l2,.,lmR,L=l1a1+l2a2+l3a3|l1,l2,l3R 向量组 a1,a2,a3 等价于相应的最大无关组 a1,a2所以 L=m1a1+m2a2|m1,m2 R 从而 a1,a2 就是 L 的一个基，L 的维数等于2,a3,a1,a2,结论：等价的向量组所生成的空间相等,定义：如果在向量空间 V 中取定一个基 a1,
42、a2,.,ar，那么V中任意一个向量可唯一表示为x=l1a1+l2a2+lrar数组 l1,l2,.,lr 称为向量 x 在基 a1,a2,.,ar 中的坐标,例：的列向量组是 R3 的一个基，,那么,b 在基 e1,e2,e3 中的坐标,n 阶单位矩阵 En 的列向量叫做 n 维单位坐标向量n 阶单位矩阵 En 的列向量组称为 Rn 的自然基,上三角形矩阵 的列向量组也是 R3 的一个基，那么,结论：同一个向量在不同基中的坐标是不同的,例：设验证a1,a2,a3 是R3 的一个基，并求 b1,b2 在这个基中的坐标.,分析：a1,a2,a3 是 R3 的一个基 R(a1,a2,a3)=3b1
43、,b2 在这个基中的坐标 用 a1,a2,a3 表示 b1,b2当 时，A 的列向量组与B 的列向量组有相同的线性关系（P.93 例11）为此，考虑把(A,B)=(a1,a2,a3,b1,b2)化为行最简形矩阵,解：,于是,例：设验证a1,a2,a3 是R3 的一个基，并求 b1,b2 在这个基中的坐标.,例：在 R3中取定一个基 a1,a2,a3，再取一个新基 b1,b2,b3，设 A=(a1,a2,a3)，B=(b1,b2,b3)求用a1,a2,a3 表示 b1,b2,b3 的表示式（基变换公式）；求向量在两个基中的坐标之间的关系式（坐标变换公式）.,分析：求解矩阵方程 AX=B设 xR3，且，求解矩阵方程,
