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1、第二节,一、线性相关与线性无关的概念,向量的 线性相关性,二、向量组的线性相关性的判别,三、线性组合与线性表示,第三章,一、线性相关与线性无关的概念,一组不全为0的数,设,为n元向量组，如果存在,，,使,成立，,则称向量组,线性相关。,否则称,定义1,若,线性无关，,则对任意不全为0的数,，都有,即当且仅当,时，,线性相关。,例1,即,例2,当向量组含两个非零向量时，,设,，,对应分量成正比,与,证明,线性相关,或,与,或,例3,对应分量不成比例，,线性无关。,对应分量成比例，,线性相关。,几何上说向量,共线。,例4,求证含有零向量的向量组必线性相关。,则此向量组必定线性相关。,证明,设向量组
2、中,取数,必有,线性相关,线性相关.,即如果部分组线性相关，,则整体组也线性相关。,定理1,证明,线性相关，,因为,为0的数,使,成立，因此有,其中,不全为零。,线性相关。,则存在一组不全,线性无关,线性无关.,即：如果整体组线性无关，,则部分组也线性无关。,定理2,利用定理1，用反证法。,即：部分相关，整体相关！整体无关，部分无关！,二、向量组的线性相关性的判别,下面分别对数字表示的具体向量组的线性相关性,和用字母表示的抽象向量组的线性相关性进行判别。,1、用数字表示的向量组的线性相关性的判别,已知,解,设有数,使得,例5 判别下列向量组的线性相关性,即,有,得同解方程组,得同解方程组,方程
3、组的解,令,（k 为任意实数）,由,得,此向量组线性相关。,小结,首先设有数,使得,归结为判别齐次线性方程组是否有非零解的问题。,用数字表示的向量组的线性相关性的判别方法，,第二步将,代入,得齐次线性方程组。,方程组有非零解，,有,则称向量组,线性相关。,方程组只有零解，,则称向量组,线性无关。,下面介绍利用矩阵的秩来判别向量组的线性相关性,的方法。,这是判别向量组线性相关性的主要方法。,定理3,有非零解,例6,线性相关,秩,判断,，,，,，,，,的线性相关性.,（无关）,（只有零解）,此定理是证明向量组线性相关性的基本方法。,解,线性相关.,例7 判断下列向量组的线性相关性,解,线性无关.,
4、解,线性相关.,推论2,设m元向量组中含有n个向量,当nm时，,此向量组必定线性相关。,推论1,当m=n时，即向量维数=向量个数时,线性相关,（线性无关）,向量组构成行列式的值为零，即,（1）,例8 判别下列向量组的线性相关性,含有零向量的向量组必线性相关,（2）,4个3维向量必线性相关,（3）,4个4维向量，用行列式（或化阶梯型矩阵）判别。,二、向量组的线性相关性的判别（续）,2、对字母表示的抽象向量组的线性相关性的判别这种判别一般用定义法。,考虑,方程组只有零解，,试证向量组,整理得,即,证明一：,例9,也线性无关。,因为向量组 线性无关，所以必有,从而 线性无关。,设向量组,线性无关，,
5、证明二:,从而 R（B）=R（A），,而向量组 线性无关，,所以 R（A）=3,R（B）=3 可知向量组 也线性无关。,例10,证明,已知,证明,线性无关，,线性相关.,设存在数,已知,只有,线性无关，,使得,即,故向量组线性相关。,不全为零，,三、线性组合与线性表示,设有m维向量组,如果存在一组数,则称,是向量组,的线性组合,定义2,线性表示。,称,可由,若存在一组数,使得,例11,1、线性表示,因为,中每个向量都可由向量组本身,（2）向量组,线性表示，,（1）零向量可由任一组向量线性表示。,（3）任一m元向量,都可由m元单位向量组,+,线性表示，,2、线性组合,其中至少有一个向量是其余n1
6、个向量的线性组合。,线性相关,证明,=：,线性相关，,不全为0的数,则存在一组,使,则,即,是,的线性组合,定理4,组合，即存在一组数,使,线性相关.,不全为0，,由于,则,不妨设,是其余向量的线性,=,设,即,=,+,若,可由,线性表示，,即：,（1）,即非齐次线性方程组,有解。,定理5,设,是为 m 元（维）列向量组，,可由,线性表示,有解,其中,性质3,经过有限次的初等行变换为B,则A的列向量组与,B的列向量组有相同的线性关系。,例11,已知,线性表示？,如能线性表示,解,设有数,就写出表达式.,使,有唯一解,例12,已知,解,设有数,就写出表达式.,使,同解方程组为,令,得,k 为任一常数,例13 判断,是否为向量组,的线性组合？,解 设,对矩阵,线性无关，,线性相关，则,可由A线性表示且表法唯一。,定理6,线性无关。,证明,不可由,线性表示,假设,可由,线性表示，,使,即存在,，,线性无关相矛盾。,与,代入上式，,证明,例14,P168 1 2 6 7,
