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1、第三章 向量与向量空间,第一节 维向量,一 维向量,三 应用举例,二 向量的运算,五 向量空间,四 向量组与矩阵,确定小鸟的飞行状态，需要以下若干个参数：,小鸟重心在空间的位置参数,小鸟身体的水平转角,小鸟身体的仰角,鸟翼的转角,所以，为确定小鸟的飞行状态，会产生一组有序数组,、引入,一、维向量（Vector）,小鸟身体的质量,鸟翼的振动频率,还有,、定义,个数组成的有序数组,称为一个维向量，其中称为第个分量（坐标）.,一般记作,如：,维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，,如：,一般记作,.,维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，,（Row Vector）,（Column Vecto
2、r）,注意,、行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；,、行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；,、当没有明确说明时，都当作实的列向量.,2、元素全为零的向量称为零向量（Null Vector）.,3、长度为的向量称为单位向量（Identity Vector）.,4、维数相同的列（行）向量称为向量同型.,元素是复数的向量称为复向量（Complex Vector）.,、几种特殊向量,1、元素是实数的向量称为实向量（Real Vector）.,5、对应分量相等的向量称为向量相等.,、向量与矩阵的关系,其第个列向量记作,个维行向量.,按行分块,按列分块,个维列向量.,其第个行向量记作,矩阵与向
3、量的关系中注意什么是向量的个数、什么是向量的维数，二者必须分清.,二、向量的运算,1、加法,规定,2、数乘,规定,称为数与向量的数量积.,向量的加法与数乘合称为向量的线性运算.,称为与的和向量.,称为与的差向量.,4、乘法,对于维行向量,为一阶方阵，即一个数.,为阶方阵；,3、转置,5、运算规律,（1） （交换律）,（2） （结合律）,（3）,（4）,（5） （减法）,(设,均是维向量,，为实数),（6）,（7）,（8）,（9）,特别,三、应用举例,例,设维向量，矩阵,，其中为设阶单位阵，,证明：,证明：,例,设,求,解,若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组,例如,四
4、、向量组、矩阵、线性方程组,向量组称为矩阵的列向量组.,对于一个 矩阵有个维列向量.,记作：,向量组为矩阵的行向量组,类似的，矩阵有个维行向量.,反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.,个维列向量.所组成的向量组,构成一个矩阵.,个维行向量.所组成的向量组,也构成一个矩阵.,矩阵与向量组之间一一对应,线性方程组的向量表示,方程组与增广矩阵(A b)的列向量组之间一一对应,即,或,例,全体维向量的集合是一个向量空间,记作 .,五、向量空间,1、定义,设为维非空向量组，且满足,对加法封闭,对数乘封闭,那么就称向量组为向量空间（Vector Space）,解,任意两个维向量的和仍是一个维
5、向量；,任意维向量乘以一个数仍是一个维向量,所以，所有维向量的集合构成一个向量空间.,易知该集合对加法封闭，对数乘也封闭，,例 判别下列集合是否为向量空间.,解,有,所以是一个向量空间.,解,所以不是一个向量空间.,例 判别下列集合是否为向量空间.,解,有,所以是一个向量空间.,解,所以不是一个向量空间.,例 设, 为两个已知的维向量试判断集合,是否为向量空间.,解,所以是一个向量空间.,称为由生成的向量空间，记为：,注等价向量组生成相同的向量空间.,向量,几何形象：可 随 意平行移动的有向线段,代数形象：向 量 的坐标表示式,2、结构,空间,第二节 向量的线性相关性,一 线性相关性,三 应用
6、举例,二 判别准则,四 小结,课前复习,、定义,个数组成的有序数组,称为一个维向量，其中称为第个分量（坐标）.,记作,维向量写成一行称为行向量，一般,记作,维向量写成一列称为列向量，一般,、几种特殊向量,实向量，复向量，零向量，单位向量，向量同型，向量相等.,注意什么是向量的个数、什么是向量的维数，二者必须分清.,、矩阵与向量的关系,若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组,、向量组,、向量空间,设为维非空向量组，且满足,对加法封闭,对数乘封闭,那么就称集合为向量空间.,、向量的运算,向量的运算可采用矩阵的运算规律.,一、向量的线性相关性,1、基本概念,定义给定向量组,，
7、对于任何一组数,称向量,为向量组A的,一个线性组合（Linear Combination）.,为组合的组合系数（Combination Coefficient）.,定义设向量组,及向量有关系,则称为向量组A的一个线性组合，或称可由向量组,线性表示（Linear Expression）.,称为在该线性组合下的组合系数.,若k，则称向量与成比例,零向量是任一向量组的线性组合,任一维向量,都是单位向量组,的一个线性组合,向量可由,线性表示，,即方程组,事实上，有,向量组中每一向量都可由该向量组线性表示,有解.,定义设两向量组,若向量组中每一个向量皆可由向量组线性表示，,则称向量组可以由向量组线性表示
8、.,若两个向量组可以互相线性表示，则称这两向量组等价.,向量组之间的等价关系具有反身性、对称性、传递性.,定义设维向量组,为零的数,，使得,则称向量组,，如果存在不全,线性相关（Linear Dependent）.,反之，若当且仅当,，才有,则称向量组,线性无关（Linear Independent）.,即存在矩阵,进一步来理解向量组的线性相关与线性无关,考虑等式,单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量,单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量,一向量组中存在一个向量，则一定线性相关,一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关；一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组都线性无关,
9、对于一个向量组，不是线性相关就是线性无关,几何上：两向量线性相关两向量共线；,两向量线性相关两向量对应成比例,三向量线性相关三向量共面.,两向量线性无关两向量不对应成比例,二、线性相关性的判断准则,定理向量组线性无关齐次线性方程组只有零解；,定理向量组线性相关齐次线性方程组有非零解.,推论个维向量线性相关.,推论个维向量线性无关.,向量组线性无关其中任何一个向量都不能由其余向量线性表示,定理,向量组线性相关其中至少有一个向量可由其余向量线性表示,定理,证,得证,不妨设,定理,如果向量组,线性相关，则可由唯一线性表示.,线性无关，而向量组,证,设,线性无关，, k，（否则与线性无关矛盾）,可由线
10、性表示.,下证唯一性：,两式相减有,线性无关，,即表达式唯一.,即有,设,定理,设向量组,若线性相关,则向量组也线性相关；反之，若,向量组线性无关，则向量组也线性无关.,定理,设向量组,若线性无关，则向量组也线性无关；反之，若,向量组线性相关，则向量组也线性相关.,其中,注意：以上两个定理完全不同，千万不要混淆，第一个定理中是向量的个数变，在方程组中体现在未知数的个数变；第二个定理中是向量的维数变，在方程组中体现在方程的个数变.,1、设向量组,线性相关，则 .,2、设向量组,三、应用举例,则（ ）,A、必可由线性表示；,B、必可由线性表示；,C、必可由线性表示；,D、必不可由线性表示.,第三节
11、 向量组的秩,一 向量组的秩,三 向量组与矩阵秩的关系,二 判别准则,四 应用,五 向量空间的基与维数,1、基本概念,线性表示LE,课前复习,线性组合LC,组合系数CC,线性相关LD,线性无关LID,向量组LD其中至少有一个向量可由其余向量LE ,定理,向量组LID其中任何向量都不能由其余向量LE ,定理,定理向量组线性无关齐次线性方程组只有零解；,定理向量组线性相关齐次线性方程组有非零解.,2、基本结论,推论个维向量线性相关.,推论个维向量线性无关.,定理,如果向量组,线性相关，则可由唯一线性表示.,线性无关，而向量组,定理,设向量组,若线性相关,则向量组也线性相关；反之，若,向量组线性无关
12、，则向量组也线性无关.,定理,设向量组,若线性无关，则向量组也线性无关；反之，若,向量组线性相关，则向量组也线性相关.,其中,一、向量组的秩,、极大线性无关组,线性相关.,若满足：,设A: 是一个向量组，它的某一个部分组,、向量组的秩,向量组的极大无关组所含向量个数称为向量组的秩,记作：()或, 线性无关；,则称为的一个极大线性无关组.,一个向量组的任两个极大无关组所含向量个数相同.,一个向量组的极大无关组不是唯一的.,一个线性无关的向量组的极大无关组就是其自身.,一个向量组的任意两个极大无关组都等价.,零向量组构成的向量组不存在极大无关组.,任何非零向量组必存在极大无关组.,任何维向量组如果
13、线性无关，那么它,就是中的极大无关组.,显然维向量组就是中的极大无关组.,向量组与它的任一极大无关组等价.,一个线性相关的向量组的极大无关组是其真子集.,二、线性相关性的判断准则,定理向量组线性相关(),向量组中向量的个数m向量的维数，则向量组线性相关.,推论,定理向量组可由线性表示，则,若，则线性相关.,线性无关，则.,() () .,等价向量组必有同秩（反之则不然）,存在矩阵,定理向量组线性无关()=,证：设,即,记,又可由线性表示，则,仅考虑,由于，,所以构成的列向量线性相关.,故有非零解.,亦即,所以线性相关.,证：,的极大无关组.,因为可由线性表示，则线性表示，,定理向量组与均线性无
14、关,且与等价,则,推论,设矩阵和用其列向量表示为,证明：,而线性无关，则,易知矩阵的列向量组能由的列向量组线性表示，,设向量组是向量组的部分组，若向量组线性,推论,无关，且向量组能由向量组线性表示，则向量组,是向量组的一个极大无关组.,设向量组含个向量，则它的秩为，,证明：,因向量组能由向量组线性表示，故组的秩，,从而组中任意+个向量线性相关，所以向量组,满足定义中极大无关组的条件.,所以向量组是向量组的一个极大无关组.,三、向量组的秩与矩阵的秩的关系,定义,矩阵,的列向量组的秩称为列秩，记为：,的行向量组的秩称为行秩，记为：,定理,结论,，则所在行（列）向量组线性无关.,，则的任 r 行（列
15、）向量组线性相关.,，且含有的，则.,定理,有相同的线性关系.,相同的线性关系是指：,已知维列向量组,向量组,线性表示，且表达式的系数对应相同.,证明,则相应的,具有相同的线性关系.,四、应用举例,1、向量组线性无关，证明：,线性无关.,证明,也可以从齐次线性方程组的系数行列式不等于零,方程组只有零解推出(此方法更具一般性),2、向量组线性无关，证明：,线性无关.,中线性相关的是（ ）,A、,B、,C、,D、,四、应用举例,证明,例设,所以,线性无关,试讨论及秩及线性相关性.,线性相关,例已知,设,解,且,ERT,证明,求矩阵的列向量组的秩及一个极大线性无关组，,例 设矩阵,并将其余向量用该极
16、大线性无关组线性表示.,所以的列向量组的秩为.,故极大线性无关组所含向量的个数为个.,解,显然极大线性无关组为,所以可得,例设,当为何值时，线性无关,当为何值时，线性相关,当线性相关时，将用线性表示.,五、向量空间的基与维数,定义,线性相关.,若满足：,设是一个向量空间，它的某个向量,中的任一向量均可以表示成基向量的线性组合，,记作：dim.,线性无关；,则称为的一个基.称为的维数.,且表达式唯一，其组合系数称为向量在该基下的坐标.,第三章小结与练习,一、维向量,、定义,个数组成的有序数组,称为一个维向量，其中称为第个分量（坐标）.,记作,维向量写成一行称为行向量，,记作,维向量写成一列称为列
17、向量，,、几种特殊向量,实向量，复向量，零向量，单位向量，向量同型，向量相等.,注意什么是向量的个数、什么是向量的维数，二者必须分清.,、矩阵与向量的关系,若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组,、向量组,、向量空间,设为维非空向量组，且满足,对加法封闭,对数乘封闭,那么就称集合为向量空间.,、向量的运算,向量的运算与采用矩阵的运算规律.,二、向量的线性相关性,1、基本概念,定义给定向量组,，对于任何一组数,，称向量,为向量组的,一个线性组合（Linear Combination）.,为组合的组合系数（Combination Coefficient）.,定义设向量组,及
18、向量有关系,则称为向量组的一个线性组合，或称可由向量组,线性表示（Linear Expression）.,称为在该线性组合下的组合系数.,定义设两向量组,若向量组中每一个向量皆可由向量组线性表示，,则称向量组可以由向量组线性表示.,若两个向量组可以互相线性表示，则称这两向量组等价.,向量组之间的等价关系具有反身性、对称性、传递性.,定义设维向量组,为零的数,，使得,则称向量组,，如果存在不全,线性相关（Linear Dependent）.,反之，若当且仅当,，才有,则称向量组,线性无关（Linear Independent）.,即存在矩阵,三、向量组的秩,、极大线性无关组,线性相关.,若满足：
19、,设是一个向量组，它的某一个部分组,、向量组的秩,向量组的极大无关组所含向量个数称为向量组的秩,记作：()或,线性无关；,则称为的一个极大线性无关组.,、向量组的秩与矩阵的秩的关系,定义,矩阵,的列向量组的秩称为列秩，记为：,的行向量组的秩称为行秩，记为：,定理,结论,，则所在行（列）向量组线性无关.,，则的任行（列）向量组线性相关.,，且含有的，则.,定理,有相同的线性关系.,相同的线性关系是指：,已知维列向量组,向量组,线性表示，且表达式的系数对应相同.,四、向量空间,定义,线性相关.,若满足：,设是一个向量空间，它的某个向量,中的任一向量均可以表示成基向量所的线性组合，,记作：dim.,
20、线性无关；,则称为的一个基.称为的维数.,且表达式唯一，其组合系数称为向量在该基下的坐标.,非奇次线性方程b 有解.,的极大线性无关组.,向量组可由线性表示，则,若，则线性相关.,线性无关，则.,() () .,等价向量组必有同秩（反之则不然）,存在矩阵,定理,如果向量组,线性相关，则可由唯一线性表示.,线性无关，而向量组,定理,设向量组,若线性相关,则向量组也线性相关；反之，若,向量组线性无关，则向量组也线性无关.,定理,设向量组,若线性无关，则向量组也线性无关；反之，若,向量组线性相关，则向量组也线性相关.,其中,1、设有矩阵及，且则,、设是一组维向量，证明它们线性无关的充要条件是任一维向量能由它们线性表示.,3、设可由线性表示，证明：表达方法唯一线性无关.,4、设向量组能由向量组线性表示为，其中K为矩阵，且组线性无关.证明组线性无关的充分必要条件是(K）.,
