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1、,-向量空间的基,-线性相关与线性无关,定义-基,例3,例4,5.1 向量空间,-向量空间,-子空间,例1,例2,例5,-维数,例6,例7,例8,例9,例10,定义5.1.1 非空集合 称为域 上的向量空间,(vector space)或线性空间(linear space),如果 关于,加法（记作“+”）运算构成一个交换群，并且对每个,在 中可惟一地确定一个元素(称为,与 的标量乘法)，使得对所有的，,以,下四个条件都满足：,(M1);,(M2);,(M3);,(M4).,向量空间中的元素称为向量(vector).域中的元素,称为标量或者纯量(scalar).,注在高等代数课程中,我们涉及到的
2、向量空,间（或线性空间）的基域都是数域,是无限域,且是,特征为零的域,但我们这里的基域可以是一般的域,它可以是有限域,且域的特征也可以是素数.,例1 集合 是域 上的,向量空间,其加法运算和标量乘法运算分别为,例2设 是素数,则 是一个域.系数在,上的一元多项式环 是 上的向量空间.,例3复数域 是实数域 上的向量空间,运算,是通常的复数的加法和乘法运算.,例4域 上的所有 矩阵的集合 关于,如下矩阵的加法和标量乘法运算构成 上的向量空,间,例5（这个例子是例3的推广.虽然它看上去,很平常,但却是域论中最重要的例子之一）设 是域，,是 的子域,那么 是 上的向量空间.向量空间,的运算就是域 中
3、的运算.因此,根据第三章定理,3.6.5,每个域都可看成是某个素域上的向量空间.,定义5.1.2 设 是域 上的向量空间，是 的,非空子集.如果 关于 的运算也构成 上的向量空,间,则称 为 的子空间,例6集合 是 上,的由所有系数在域 上的多项式组成的向量空间,的子空间.,例7设 是域 上的向量空间，是,中的向量(它们不必互不相同),那么子集,称为 的由 张成的子空间.形如,的元素称为 的线性组,合,如果，那么我们称 张成,一般地,设 是 的任一非空子集.如果 中任一,元素都是 中有限多个元素的线性组合,则称 张,成,定义5.1.3 向量组 称为在 上线性,相关(linearly depen
4、dent),如果存在不全为零的元,使得.如果,向量组在 上不是线性相关的,则称为在 上线性无,关(linearly independent).,例8设,则 中的向量组,，在 上是线性无关的.因为假,设存在,使得,那么,于是.,定义5.1.4 设 是 上的向量空间.是 的,一个非空子集.如果 中任一有限子集都在 线性无,关,且 张成,则称 为 的基.,例9集合,是 上的向量空间.则我们可以证明,是 的基.,首先我们来证明 是线性无关的.,假设有,使得,那么有,所以,从而 线性无关.其次,中任何,元素都具有形式,因此,生成,即 是 的基.,定理5.1.1 如果 和 都,是域 上向量空间 的基,那么
5、,证假设.不妨设.,由于,张成,所以可设,且这些,不全为零,对 的顺序适当重排后可,设,则 张成.,设,则 中至少有,一个不为零,设,则 张成 继续,这样下去,有 张成.,但此时 是,的线性组合,矛盾!,定义5.1.5如果一个向量空间 具有一个含,个元素的基,则称 的维数(dimension)是.零空,间 称为是由空集张成的,并规定它的维数是0.,可以用集合论的方法证明每个向量空间都有基.,以有限多个元素为基的向量空间(包括零空间)称为,有限维向量空间(finite dimensional vector space),否,则称为无限维向量空间(infinite dimensional vector,space).,例10例1中的域 上的向量空间 是 维的,是 的自然基而例3中的向量空间 是 上的,无限维向量空间,是 的一个基.,
