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1、第一章 绪 论,1.1 信号与系统 1.2 信号的描述、分类和典型示例 1.3 信号的运算 1.4 阶跃信号与冲激信号 1.5 信号的分解 1.6 系统模型及其分类 1.7 线性时不变系统 1.8 系统分析方法,1.1 信号与系统,信号是消息的表现形式，是某种变化的物理量，如电话铃声、交通红绿灯，收音机、电视机、手机收到的电磁波等，并称之为声信号、光信号、电信号。消息则是信号的具体内容。,1837年莫尔斯（）发明了电报1876年贝尔（）发明了电话19世纪末，人们又致力于研究用电磁波传送无线信号1901年马可尼（G.Marconi）成功地实现了横渡大西洋的无线电通信,信号处理：对信号进行某种加工
2、或变换。目的：削弱信号中的多余内容；滤除混杂的噪声和干扰；将信号变换成容易分析与识别的形式。信号传输、信号交换和信号处理相互密切联系，又各自形成了相对独立的学科体系。它们共同的理论基础之一是研究信号的基本性能、包括信号的描述、分解、变换、检测、特征提取以及为适应指定要求而进行信号设计,系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。,1.2 信号的描述、分类和典型示例,人们用来传递信息的信号主要是电信号。电信号有许多众所周知的优点，传播速度快、传播方式多(有线、无线、微波、卫星等)。日常许多非电的物理量如压力、流速、声音、图像等都可以利用转换器变换为电信号进行处理、传输。本书
3、讨论的电信号，一般是指随时间变化的电压或电流，有时也可以是电荷或磁通。,为了对信号进行处理或传输，要对信号的特性进行分析研究。这既可以从信号随时间变化的快、慢、延时来分析信号时间特性，也可以从信号所包含的主要频率分量的振幅大小、相位的多少来分析信号的频率特性。当然，不同的信号具有不同的时间特性与频率特性。,一、信号的描述 描述信号的基本方法是写出它的数学表达式。信号随时间变化的关系，可以用数学上的时间函数来表示，因此有时亦称信号为函数f(t)，离散信号为序列x(n)。在本书中信号与函数、序列这两个名词通用。信号的函数关系可以用数学表达式、波形图、数据表等表示，其中数学表达式、波形图是最常用的表
4、示形式。各种信号可以从不同角度进行分类，常用的有以下几种。,二、信号的分类 1.确定性信号与随机信号 信号可以用确定的时间函数来表示的，是确定性信号，也称规则信号。如正弦信号、单脉冲信号、直流信号等。信号不能用确定的时间函数来表示，只知其统计特性，如在某时刻取某值的概率的，则是随机信号。,从常识上讲，确定性信号不包括有用的或新的信息。但确定性信号作为理想化模型，其基本理论与分析方法是研究随机信号的基础，在此基础上根据统计特性可进一步研究随机信号。本书只涉及确定性信号。,2 周期信号与非周期信号 周期信号是依一定的时间间隔周而复始、无始无终的信号，一般表示为 f(t)=f(t+nT)n=0,1,
5、.其中T为最小重复时间间隔，也称周期。令周期T趋于无穷大，则成为非周期信号。,3 连续时间信号与离散时间信号 按照时间函数的连续性与离散性可将信号划分为连续时间信号与离散时间信号（简称连续信号与离散信号）。连续信号：如果在所讨论的时间间隔内，除若干不连续点之外，对于任意时间值都可给出确定的函数值。,连续时间信号,离散信号亦称序列，其自变量n是离散的，通常为整数。若是时间信号（可为非时间信号），它只在某些不连续的、规定的瞬时给出确定的函数值，其它时间没有定义，其幅值可以是连续的也可以是离散的，如图所示。,图 1-2 离散时间信号,图1-2中,x1(n)还可简写为,x1(n)=-1 1 2 1 2
6、-1,式中小箭头标明n=0的位置。,一维信号与多维信号 从数学表达式来看，信号可以表示为一个或多个变量的函数。语音信号：声压随时间变化的函数。一维黑白图像：二维平面坐标中两个变量的函数。二维,5 能量信号与功率信号 为了了解信号能量或功率特性，常常研究信号f(t)（电压或电流）在单位电阻上消耗的能量或功率。在(t1t2)区间信号的平均功率P为,在(-,)区间信号的能量E为,三、常用连续信号（一）指数信号 实指数信号如图所示，其函数表达式为 f(t)=Keat,指数信号,式中，a0时,f(t)随时间增长;a0时,f(t)随时间衰减;a=0时,f(t)不变。常数k表示t=0时的初始值;|a|的大小
7、反映信号随时间增、减的速率。通常还定义时间常数=1/|a|，越小，指数函数增长或衰减的速率越快。实际上遇到的多是单边指数信号，其表示式为,特别地，在f(0)=E时，,即经过时间后，信号衰减为初始值的36.8%。,单边指数信号,（二）正弦信号 正弦信号也包括余弦信号，因为两者只在相位上相差/2，一般正弦信号表示为 f(t)=Ksin(t+)其中，K是振幅、是角频率、是初相位。周期,正弦信号,实际工作中通常遇到的是衰减正弦信号，即包络按指数规率变化的振荡信号。,单边衰减振荡信号,（三）复指数信号 f(t)=Kest 其中,s=+j为复数，为实部系数，为虚部系数。借用欧拉公式：Kest=Ke(+j)
8、t=Ket e jt=Ket(cost+j sint)=Ket cost+jKet sint 复指数信号可分解为实部与虚部。实部为振幅随时间变化的余弦函数，虚部为振幅随时间变化的正弦函数。可分别用波形画出实部、虚部变化的情况。,表示了正、余弦信号振幅随时间变化的情况；是正、余弦信号的角频率。特别地,当0时，正、余弦信号是增幅振荡；当0时，正、余弦信号是减幅振荡；当=0时，正、余弦信号是等幅振荡。当=0时，f(t)为一般指数信号；当=0，=0时，f(t)为直流信号。虽然实际上没有复指数信号，但它概括了多种情况，因此也是一种重要的基本信号。,还可以借用欧拉公式将正、余弦信号表示为复指数形式，即,（
9、四）Sa(t)信号(抽样信号)Sa(t)信号定义为,不难证明，Sa(t)信号是偶函数，当t时，振幅衰减，且f(n)=0，其中n为整数。Sa(t)信号还有以下性质,实际遇到的多为sinc(at)信号，表达式为,（五）钟形信号（高斯函数）,令 代入函数式求得,1.3 信号的运算,（一）移位、反褶与 尺度1.移位 信号的移位也称信号的位移、时延。将信号f(t)的自变量t用t+t0替换，得到的信号f(t+t0)就是f(t)的移位，它是f(t)的波形在时间t轴上整体移位t0。若t00，f(t)的波形在时间t轴上整体左移t0；而t00，f(t)的波形在时间t轴上整体右移t0。,信号的移位,2.反褶 将f(
10、t)自变量t用-t替换，得到信号f(-t)是f(t)的反褶信号。f(-t)的波形是f(t)的波形以t=0为轴反折，所以也称时间轴反转。,信号的反褶,3.尺度 将f(t)的自变量t用at(a0)替换，得到f(at)称为f(t)的尺度变换，其波形是f(t)波形在时间t轴上的压缩或扩展。若|a|1，波形在时间t轴上压缩；|a|1，波形在时间t轴上扩展，故信号的尺度变换又称为信号的压缩与扩展。例如，假设f(t)=sin0t是正常语速的信号，则f(2t)=sin20t=f1(t)是两倍语速的信号，而f(t/2)=sin0(t/2)=f2(t)是降低一半语速的信号。f1(t)与f2(t)在时间轴上被压缩或
11、扩展，但幅度均没有变化。,信号的尺度变换,例1-1 已知f(t)的波形如图所示，试画出f(-3t-2)的波形。解：方法一 第一步：移位，求得f(t-2)波形。,-2,-1,1,1,f(t),f(t-2),第二步：尺度变换，求得f(3t-2)波形。第三步：反褶,求得f(-3t-2)波形。,t,f(t-2),f(-3t-2),f(3t-2),方法二 第一步：反褶，求得f(-t)波形。第二步：尺度变换，求得f(-3t)波形。第三步：移位,求得f(-3t-2)波形。,f(t),f(-t),f(-3t),f(-3t-2),1.4.2 微分与积分 微分是对f(t)求导数的运算，表示为,信号经过微分后突出了
12、变化部分。,信号的微分运算,0,1,4,5,积分是对f(t)在(-,t)区间内的定积分，表示式为,信号经过积分后平滑了变化部分。,信号的积分运算,1.4.3 信号的相加或相乘 信号的相加（减）或相乘（除）是信号瞬时值相加（减）或相乘（除）。f1(t)f2(t)是两个信号瞬时值相加（减）形成的新信号；f1(t)f2(t)或f1(t)/f2(t)=f1(t)1/f2(t)是两个信号瞬时值相乘形成的新信号。f1(t)=sin(t)f2(t)=sin(8t),两信号相加,两信号相乘,1.4 阶跃信号与冲激信号,（一）单位斜变函数单位斜变函数波形如图所示，定义为,任意时刻的斜变函数如图所示，表示为,单位
13、斜变信号,延迟的斜变信号,截平的斜变信号,三角形脉冲信号,0,（二）单位阶跃信号u(t)定义,单位阶跃信号u(t),单位阶跃信号与单位斜变信号的关系,矩形脉冲RT(t),门函数GT(t),单边正弦信号sin(t)u(t),截短的指数信号,符号函数,（三）单位冲激函数(t)定义1：利用矩形脉冲进行定义,矩形脉冲的极限为冲激函数,冲激函数,还有一些面积为1的偶函数，如三角形脉冲函数、双边指数脉冲函数、钟形脉冲函数等，当其宽度趋于0时的极限，也可以用来定义(t)函数。P17公式,P18图1-30,描述任一时刻t=t0时的冲激函数记为(t-t0)，表示式为,定义2：狄拉克（Dirac）定义,图 1-3
14、1 A(t-t0),冲激函数还具有如下运算性质:1)抽样特性（“筛选”特性）若f(t)是在t=0处连续的有界函数，则,以及,2)偶函数(t)=(-t)证,3)与单位阶跃函数u(t)互为积分、微分关系,假设电压为斜变信号,t,电路的电容电压为阶跃函数时，电流i c(t)可以用(t)函数描述为,电容：阶跃电压产生冲击电流电感：阶跃电流产生冲击电压,（四）单位冲激偶函数(t)对单位冲激函数求导得到单位冲激偶函数。因为单位冲激函数可表示为,单位冲激偶函数(t),s(t),t,0,1/,s(t),t,0,0,0,(t),t,0,(t),t,0,单位冲激偶函数具有如下特性：(1)对f(t)在0点连续的函数
15、，有,(2)由于单位冲激偶函数可见，(t)的正、负两个冲激的面积相等，互相抵消，冲激偶函数所包含的面积为零，即,1.5 信号的分解,（一）直流分量与交流分量,（二）奇分量与偶分量 这种分解方法是将实信号分解为偶分量与奇分量。其优点是可以利用偶函数与奇函数的对称性简化信号运算。偶分量定义 fe(t)=fe(-t)奇分量定义 fo(t)=-fo(-t)任意信号f(t)可分解为偶分量与奇分量之和，因为,f(t)=1/2 f(t)+f(t)+f(-t)-f(-t)=1/2 f(t)+f(-t)+1/2 f(t)-f(-t)所以 fe(t)=1/2 f(t)+f(-t)fo(t)=1/2 f(t)-f(
16、-t)如图所示信号分解为奇、偶分量的实例。,图 1-36 信号的奇偶分解,（三）脉冲分解 任意信号的脉冲分解方法，是将冲激信号或阶跃信号作为基本信号元，将任意信号分解为无穷多个冲激信号或阶跃信号。这类分解的优点是基本信号元的波形简单，响应好求，并且可以充分利用LTI系统的叠加、比例与时不变性，方便地求解复杂信号的响应。,将信号分解为脉冲之和,将信号分解为阶跃,信号分解为冲激函数,信号分解为阶跃函数,（四）实部分量与虚部分量,（五）正交函数分量,用正交函数集来表示一个信号,（六）利用分形理论描述信号,1.6 系统模型及其分类,1、对于同一物理系统，在不同条件之下，可以等到不同形式的数学模型 2、
17、对于不同的物理系统，经过抽象和近似，有可能得到形式上完全相同的数学模型。,系统的阶次：微分方程的阶次微分方程分类：1、输入输出方程2、状态方程,系统分析过程：1、建立数学模型2、确定激励瞬时系统内部的能量储存情况系统的起始条件3、求解系统的起始条件由若干独立条件给出，独立条件的数目与系统的阶次相同。,借助方框图表示系统：,e1(t),e2(t),r(t)=e1(t)+e2(t),a,e(t),r(t)=ae(t),r(t)=ae(t),e(t),e(t),a,或,e(t),(a)相加,(b)倍乘,(c)积分,e(t),-a0,b0,e(t),-a0,b1,e(t),-a0,b0,系统的分类：1
18、、连续时间系统与离散时间系统连续时间系统：系统的输入和输出都是连续时间信号，且其内部也未转换为离散时间信号。离散时间系统：系统的输入和输出都是离散时间信号。,2、即时系统与动态系统即时系统：系统的输出系统只决定于同时刻的激励信号，与它过去的工作状态（历史）无关。为无记忆系统。用代数方程描述。动态系统：系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。为记忆系统。用微分（差分）方程描述。,3、集总参数系统与分布参数系统集总参数系统：只由集总参数元件组成的系统。由常微分方程作为它的数学模型。分布参数系统：含有分布参数元件的系统（如传输线、波导等）。由偏微分方程作为它的数学模型。
19、,4、线性系统与非线性系统线性系统：具有叠加性与均匀性（齐次性，homogeneity）的系统。,非线性系统：不具有叠加性或均匀性的系统。,5、时变系统与时不变系统时不变系统：系统的参数不随时间而变化的系统。亦称非时变系统或定常系统。,时变系统：系统的参量随时间改变的系统。亦称为参变系统。,6、可逆系统与不可逆系统可逆系统：系统在不同的激励信号作用下产生不同的响应。每一个可逆系统都存在一个“逆系统”7、因果系统与非因果系统8、稳定系统与非稳定系统,1.7 线性时不变系统,线性时不变（linear time-invariant，缩写为LTI）系统（一）叠加性与均匀性,e1(t),r1(t),e2
20、(t),r2(t),C1e1(t)+C2e2(t),C1r1(t)+C2r2(t),线性系统的叠加性与均匀性,（二）时不变特性,时不变系统,e(t),r(t),e(t-t0),r(t-t0),（三）微分特性若e(t)r(t)，则,e(t),r(t),微分特性,（四）因果性因果系统：指系统在t0时刻的响应只与t=t0和tt0时刻的输入有关的系统。否则为非因果系统。因果性：激励是产生响应的原因，响应是激励引起的后果。因果信号：常把t=0时刻接入系统的信号称为因果信号（或有始信号）。特点：t0时函数值为零。对于因果系统，在因果信号的激励下，响应也为因果信号。,1.8 系统分析的方法,系统的数学描述方法：输入-输出描述法 状态方程描述法系统数学模型的求解方法：时间域方法 变换域方法,
