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1、,第八节,一、空间曲线的切线与法平面,二、曲面的切平面与法线,多元函数微分学的几何应用,第十二章,复习:平面曲线的切线与法线,已知平面光滑曲线,切线方程,法线方程,若平面光滑曲线方程为,故在点,切线方程,法线方程,在点,有,有,因,一、空间曲线的切线与法平面,过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法,位置.,空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限,平面.,1.曲线方程为参数方程的情况,切线方程,此处要求,也是法平面的法向量,切线的方向向量:,称为曲线的切向量.,如个别为0,则理解为分子为 0.,不全为0,因此得法平面方程,说明:若引进向量函数,则,处的导向量,就是该点的切向量.,
2、例1.,求圆柱螺旋线,对应点处的切线方程和法平面方程.,切线方程,法平面方程,即,即,解:由于,对应的切向量为,在,故,2.曲线为一般式的情况,光滑曲线,当,曲线上一点,且有,时,可表示为,处的切向量为,空间两张曲面的交,则在点,切线方程,有,或,也可表为,法平面方程,例2.求曲线,在点,M(1,2,1)处的切线方程与法平面方程.,切线方程,解法1 令,则,即,切向量,法平面方程,即,解法2.方程组两边对 x 求导,得,曲线在点 M(1,2,1)处有:,切向量,解得,切线方程,即,法平面方程,即,点 M(1,2,1)处的切向量,1 设光滑曲面方程为,曲线在M处的切向量,在曲面上任取一条通过点M
3、的曲线,二 曲面的切平面与法线,(Tangent plane and normal line of surface),即通过其上定点,对应点 M,切线方程为,不全为0.,则 在,且,点 M 的切向量为,任意引一条光滑曲线,下面证明:,此平面称为 在该点的切平面.,上过点 M 的任何曲线在该点的切线都,在同一平面上.,证:,在 上,得,令,由于曲线 的任意性,表明这些切线都在以,为法向量,的平面上,从而切平面存在.,曲面 在点 M 的法向量,法线方程,切平面方程,曲面,时,则在点,故当函数,法线方程,令,特别,当光滑曲面 的方程为显式,在点,有连续偏导数时,切平面方程,法向量,用,将,法向量的方
4、向余弦：,表示法向量的方向角,并假定法向量方向,分别记为,则,向上,例3.求球面,在点(1,2,3)处的切,平面及法线方程.,解:,所以球面在点(1,2,3)处有:,切平面方程,即,法线方程,法向量,令,例4.确定正数 使曲面,在点,解:二曲面在 M 点的法向量分别为,二曲面在点 M 相切,故,又点 M 在球面上,于是有,相切.,与球面,因此有,1.空间曲线的切线与法平面,切线方程,法平面方程,1)参数式情况.,空间光滑曲线,切向量,内容小结,切线方程,法平面方程,空间光滑曲线,切向量,2)一般式情况.,空间光滑曲面,曲面 在点,法线方程,1)隐式情况.,的法向量,切平面方程,2.曲面的切平面
5、与法线,空间光滑曲面,切平面方程,法线方程,2)显式情况.,法线的方向余弦,法向量,切平面上点的竖坐标的增量,因为曲面在M处的切平面方程为,思考与练习,1.如果平面,与椭球面,相切,提示:设切点为,则,(二法向量平行),(切点在平面上),(切点在椭球面上),证明 曲面,上任一点处的,切平面都通过原点.,提示:在曲面上任意取一点,则通过此,作业 P200 1,2,3,4,5,6,7,8,2.设 f(u)可微,证明原点坐标满足上述方程.,点的切平面为,1.证明曲面,与定直线平行,证:曲面上任一点的法向量,取定直线的方向向量为,则,(定向量),故结论成立.,的所有切平面恒,备用题,2.求曲线,在点(
6、1,1,1)的切线,解:点(1,1,1)处两曲面的法向量为,因此切线的方向向量为,由此得切线:,法平面:,即,与法平面.,设光滑曲面的参数方程为,其中D为R2中的区域。,曲面方程也可以表示成参数形式,并设M(x0,y0,z0)(x0=x(u0,v0)，y0=y(u0,v0)，z0=z(u0,v0),为S上的一点，不失一般性，不妨假设,在某个邻域上,代入,得到曲面S在M 附近的显式表示,且成立,那么由例5知，可以由,唯一确定反函数,再由z=f(x,y)得到,于是曲面S在M点的切平面的法矢量为,或,从而,切平面的法矢量也可表为如下的行列式形式,对照,从而S的切平面方程为,即,法线方程为,例1.求曲面,在,所对应的点处的切平面方程和法线方程。,解：因为,所以在,因此曲面在这点的切平面方程为,于是在这点,处,与,对应的,法线方程为,即,作业 P201 11,13,14,15,
