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1、第二章 信号及其描述方法,2.1、信号分类与描述 2.2、周期信号的频谱分析2.3、非周期信号的频谱分析2.4、信号的时域分析2.5、信号的幅值域分析,2.0 信号与信息的关系,交通信号灯,信息,信号,信息的载体是光信号,红灯亮,黄灯亮,绿灯亮,停止,通行,注意,信息：事物运动的状态和方式。不是物质，不具有能量，却是物质所固有的，是其客观存在或运动状态的特征。信息的传输却依靠物质和能量。,信号：具有能量，是某种具体的物理量。信号的变化则反映了所携带的信息的变化。,单自由度振动系统,信号信息Xo幅值，频率，0 初相位。,为深入了解信号的物理实质，研究信号的分类是非常必要的，从不同角度观察信号：,
2、4 从分析域上分类,时域信号与频域信号；,2.1 信号的分类与描述,1.确定性信号与非确定性信号,确定性信号：可用明确数学关系式描述的信号。非确定性信号：不能用数学关系式描述的信号。,信号,确定性信号,非确定性信号,周期信号,非周期信号,简单周期信号,一般周期信号,准周期信号,瞬态信号,平稳随机信号,非平稳随机信号,周期信号：按一定时间间隔周而复始出现的信号 x(t)=x(t+nT),谐波信号,频率单一的正弦或余弦信号。,简单周期信号：,信号的“波形”,信号波形：被测信号信号幅度随时间的变化历程称为信号的波形。,信号波形图：用被测物理量的强度作为纵坐标，用时间做横坐标，记录被测物理量随时间的变
3、化情况。,振动弦(声源),声级计,记录仪,+,=,x1(t)=A1Sin(1t+1)=A1Sin(21t+1)=10Sin(23t+/6),x2(t)=A2Sin(2t+2)=A2Sin(2 2t+2)=5Sin(22t+/3),x3(t)=10Sin(23t+/6)+5Sin(22t+/3),+,=,由多个乃至无穷多个频率成分叠加而成，叠加后存在公共周期的信号,一般周期信号:,周期性三角波,周期性方波,b)非周期信号：再不会重复出现的信号。,准周期信号:由多个周期信号合成，其中至少有一对频率比不是有理数。,瞬态信号:在有限时间段内存在，或随着时间的增加而幅值衰减至零的信号。,0,(a)锤击物
4、体的力信号,(b)T段为汽车加速过程信号,(c)半个正弦信号,(d)矩形窗信号,c)非确定性信号：不能用数学式描述，其幅值、相位变化不可预知，所描述物理现象是一种随机过程。,平稳与非平稳,(a)汽车速度连续信号,(b)开水房锅炉水温度的变化连续信号,2.连续信号与离散信号,(c)每日股市的指数变化（离散信号）,(d)某地每日的平均气温变化（离散信号）,(e)每隔5分钟测定开水房锅炉水的温度变化（离散信号）,(f)每隔2微妙对正弦信号采样获得的离散信号,3.能量信号与功率信号,a)能量信号 当信号x(t)在所分析的区间（-，），能量为有限值的信号称为能量信号，满足条件：,一般持续时间有限的瞬态信
5、号是能量信号。,b)功率信号 当信号x(t)在所分析的区间（-，），能量。此时，在有限区间(t1,t2)内的平均功率是有限的。,一般持续时间无限的信号都属于功率信号。,噪声信号,一般周期信号,信号“域”的不同，是指信号的独立变量不同，或描述信号的横坐标物理量不同。,信号的时域描述：以时间为独立变量，其强调信号的幅值随时间变化的特征。,信号的频域描述：以角频率或频率为独立变量，其强调信号的幅值和相位随频率变化的特征。,4.时域和频域信号,信号的“域”,时域,频域,时域描述：反映信号随时间变化,频域描述：反映信号的组成成分,幅值域描述：反映信号幅值大小的分布,时延域描述：反映信号间的相互关系,同一
6、信号无论选用哪种描述方法都含有同样的信息量,2.1信号的分类与描述,信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为频域信号X(f)，从另一个角度来了解信号的特征。,2.2 周期信号的频谱分析,信号的频谱X(f)代表了信号在不同频率分量处信号成分的大小，它能够提供比时域信号波形更直观，丰富的信息。,1.时域分析与频域分析的关系,谱线,2.周期信号的频谱分析傅立叶级数三角展开,推导,x(t)=x(t+nT)任何周期函数，都可以展开成正交函数线性组合的无穷级数，如三角函数集 的傅里叶级数。,T0周期，T0=2/0；0基波圆频率；f0=0/2,a)周期函数的奇偶特性,若周期函数x(t)为奇函数，
7、即x(t)=-x(-t),若周期函数x(t)偶函数，即x(t)=x(-t),推导,b)三角频谱,以角频率,(或频率,)为横坐标，幅值,或,为纵坐标,所作的图形称为三角频谱图,幅值频谱图,相位频谱图,x1(t)=10Sin(23t+/6).,x1(t)=10Sin(23t+/6).,x2(t)=5Sin(22t+/3).,x3(t)=10Sin(23t+/6)+5Sin(22t+/3),+,=,+,=,相邻频率的间隔：,基频成分：0对应的频率成分,x3(t)=10Sin(23t+/6)+5Sin(22t+/3).,n次谐波成分：n0对应的频率成分,单边谱：频率或f从0+，谱线在横坐标的一边,周期
8、性三角波x(t)的一周期中，可以表示为,周期性三角波,正弦分量幅值bn=0,例2-1:周期性三角波的三角频谱,当n=1，,n=2，a2=0,n=3，,n=4，a4=0,n=5，,三角波的A-幅频和-相频图,傅里叶级数的复数表达形式：,x(t)=x(t+nT),3.周期信号的频谱分析傅立叶级数复指数展开,傅里叶级数的三角函数展开式：,欧拉公式,推导,改为复指数函数表达式：,可得：,令,其中：,在一般情况下，Cn是复数,Cn与C-n共轭,把周期函数x(t)展开为傅立叶级数以后，作关系图 CnR0称为实频图 CnI0称为虚频图|Cn|0称为双边幅频图，n=-+，n=-+，n0称为双边相频图,例2-2
9、:画出正弦函数sin0t的频谱图。,一般周期函数实频谱总是偶对称的，虚频谱总是奇对称的。,实频图,虚频图,双边幅频图,双边相频图,单边幅频图,例2-3：画出 的频谱,幅值频谱图,相位频谱图,1.三角频谱,实频图,虚频图,双边幅频图,双边相频图,2.复指数频谱,例2-4：画出x3(t)=10Sin(23t+/6)+5Sin(22t+/3)的频谱,x3(t)=10Sin(23t+/6)+5Sin(22t+/3),在,处：,在,处：,在,处：,在,处：,1)周期信号频谱是离散的；,2)每条谱线只出现在基波频率的整倍数上，不存 在非整倍数的频率分量；,3)各频率分量的谱线高度与对应谐波的振幅成 正比。
10、工程中常见的周期信号，其谐波幅值 总的趋势是随谐波次数的增高而减小的。,结论：周期信号的频谱具有离散性、谐波性和收敛性,4.傅立叶级数复指数与三角函数展开的关系,=CnRan/2，CnI-bn/2,C0=a0,=,傅立叶级数的复指数与三角函数展开的关系,5.负频率的解释,双边幅频图,双边相频图,单边幅频图,例2-5：周期性方波信号的频谱展开,三角函数展开式：,幅值频谱图,相位频谱图,方波信号复指数展开式的实、虚频谱和幅、相频谱,实频谱,虚频谱,幅频谱,相频谱,6.波形合成,2.3 非周期信号的频谱分析,把非周期信号：周期T0 的周期信号周期信号x(t)，周期为T0，则其频谱是离散谱，而相邻谐波
11、之间的频率间隔为=0=2/T0。当T0，则0=0，信号频谱谱线间隔=00，无限缩小，相邻谐波分量无限接近，离散参数n0可用连续变量来代替，离散频谱变成了连续频谱，求和运算可用积分运算来取得，所以非周期信号的频谱是连续的。,周期信号x(t)，在-T0/2,T0/2区间内,式中，,当T0时，,积分区间由-T0/2,T0/2变为(-,)；,0=2/T0 0，离散频率n0连续变量。,1.傅立叶变换,X(j)为单位频宽上的谐波幅值，具有“密度”的含义，故把X(j)称为瞬态信号的“频谱密度函数”，或简称“频谱函数”。,一般为复数，用X(j)表示为：,X(j)称为信号x(t)的傅立叶变换。,2.傅立叶逆变换
12、,当T0时，0=2/T00，0=d，离散频率n0连续变量。求和积分。则：,x(t)为X(j)的傅立叶逆变换（反变换）,3.傅立叶变换对,由于=2,-f 连续幅值谱,-f 连续相位谱,矩形窗函数,矩形窗函数,例2-6:矩形窗函数WR(t)的频谱,例2-7：单边指数衰减函数的频谱,4.周期和非周期信号幅值谱的区别,|X(j)|为连续频谱，而|Cn|为离散频谱；|Cn|的量纲和信号幅值的量纲一致，即cm(振幅)，而|X(j)|的量纲相当于|Cn|/，为单位频宽上的幅值，即“频谱密度函数”，cm/Hz（振幅/频率）。,非周期信号幅值谱|X(j)|与周期信号幅值谱|Cn|之间的区别：,5.傅立叶变换的主
13、要性质,a.若x(t)是实函数，则X(j)是复函数；b.若x(t)为实偶函数，则ImX(j)=0，而X(j)是实偶函数，即X(j)=ReX(j)；c.若x(t)为实奇函数，则ReX(j)=0，而X(j)是虚奇函数，即X(j)-j ImX(j)；d.若x(t)为虚偶函数，则ReX(j)=0，而X(j)是虚偶函数；e.若x(t)为虚奇函数，则ImX(j)=0，而X(j)是实奇函数。,(1).奇偶虚实性,(2).对称互易性,若:(时域信号)x(t)X(j)(频域信号)，则,X(jt)x(-j),(3).尺度特性,若x(t)X(j)，则,x(kt)1/|k|X(j/k),信号持续时间压缩k倍(k1)，
14、则信号的频宽扩宽k倍，而幅值变为原来的1/k。,T为窗的宽度,k=1,k=3,(4).时移、频移特性,若x(t)X(j)，则在时域中信号沿时间轴平移一常值t0，则（时移）,如果信号在时域中延迟了时间t0，其频谱幅值不会改变，而相频谱中各次谐波的相移-2 t0，与频率成正比。,在频域中信号沿频率轴平移一常值0，则（频移）,(5).卷积特性,对于任意两个函数x1(t)和x2(t)，定义它们的卷积为：,若x1(t)X1()，x2(t)X2()，则,1.两个函数在时域中的卷积，对应于频域中的乘积2.两个函数在时域中的乘积，对应于频域中的卷积,x1(t)*x2(t)X1()X2()x1(t)x2(t)X
15、1()*X2(),推导,6.几种典型信号的频谱,在时间内激发矩形脉冲S(t)（或三角脉冲、双边指数脉冲，钟形脉冲）所包含的面积为1；,6.1 单位脉冲函数(t)及其频谱,各种单位面积为1的脉冲,矩形脉冲到函数,当0时，S(t)的极限就称为单位脉冲函数，记作(t)，即（单位脉冲函数）。,(1).(t)的定义,从极限角度:,(2).(t)的特性,从面积角度:,矩形脉冲到函数,(3).(t)乘积性和积分性,乘积性,积分性,(4).(t)的筛选性,(5).(t)与其它信号的卷积,结果：x(t)与(t)的卷积等于x(t)。,函数的卷积特性1,结果：(tt0)时卷积，就是将函数x(t)在发生脉冲函数的坐标
16、位置上重新作图,当脉冲函数为(tt0)时，与函数x(t)的卷积,函数的卷积特性2,(6).(t)的频谱,逆变换：,(t)1,即：,1(),函数的频谱,直流分量的频谱,(t-t0)ej20t,(t)1,1(),函数的频谱,复指数信号的频谱,根据时移和频移特性：,1e-j2to,(-0),sin2ot=j/2(e-j2ot-ej2ot)cos2ot=1/2(e-j2ot+ej2ot),sin2ot j/2(+0)-(-0)cos2ot 1/2(+0)+(-0),根据 ej20t(-0),正弦函数的频谱,6.2 正、余弦函数的频谱,6.3 周期单位脉冲序列的频谱,相等间隔的周期单位脉冲序列，常称为梳
17、状函数,式中，Ts周期，n整数，n=0,1,2,3,。,为周期函数，而s=1/Ts，用傅立叶级数的复指数形式表示：,时域中，序列的周期为Ts，频域中，序列的周期为1/Ts。时域中，幅值为1 频域中，幅值为1/Ts,进行傅立叶变换：,ej20t(-0),s=1/Ts，,时域表达式,例2-8:求被截取的余弦信号的频谱函数,7.频谱分析的应用,频谱分析主要用于识别信号中的周期分量，是信号分析中最常用的一种手段。,案例：在齿轮箱故障诊断通过齿轮箱振动信号频谱分析，确定各频率分量，然后根据机床转速和传动链，找出故障齿轮。,案例：螺旋浆设计可以通过频谱分析确定螺旋浆的固有频率和临界转速，确定螺旋浆转速工作
18、范围。,2.4 信号的时域波形分析,信号的时域波形分析是最常用的信号分析手段，用示波器、万用表等普通仪器直接显示信号波形，读取特征参数。,t,A,1.周期T，频率f=1/T,2.峰值P，峰-峰值Pp-p,A,3.均值与绝对均值,均值,0,t,均值：反映了信号变化的中心趋势，也称之为直流分量。,绝对均值,4.有效值与均方值,有效值(RMS),均方值（平均功率）,5.方差,方差：反映了信号绕均值的波动程度。,信号x(t)的方差定义为：,t,x(t),6.平均功率,平均功率：有效值的平方,正弦信号 的强度表示,7.波形分析的应用,超门限报警,案例：旅游索道钢缆检测,2.5 信号的幅值域分析,p(x)
19、的计算方法,1.概率密度函数,以幅值大小为横坐标，以每个幅值间隔内出现的概率为纵坐标进行统计分析的方法。它反映了信号落在不同幅值强度区域内的概率情况。,2.概率分布函数,概率分布函数是信号幅值小于或等于某值R的概率，其定义为：,概率分布函数又称之为累积概率，表示了落在某一区间的概率。,2.周期信号的三角函数展开,周期信号只要满足：.有限区间；.周期性；.狄里赫利(dilichlet)条件，都可以展开成傅立叶级数。,式中，常值分量：,余弦分量幅值：,正弦分量幅值：,n=1,2,3，T0周期，0=2/T0该周期信号的基频（圆频率）。,傅立叶级数的三角函数表达式为：,令,即,式中，,a)周期函数的奇偶特性,若周期函数x(t)为奇函数，即x(t)=-x(-t)这时，a0=0，an=0,若周期函数x(t)偶函数，即x(t)=x(-t)这时，bn=0,欧拉公式,则,那么,令,3.周期信号的频谱分析傅立叶级数复指数展开,即,由,所以,即,卷积特性,对于任意两个函数x1(t)和x2(t)，定义它们的卷积为：,若x1(t)X1()，x2(t)X2()，则x1(t)*x2(t)X1()X2()x1(t)x2(t)X1()*X2(),5.傅立叶变换的主要性质,令t-=t，则=t-t，d=-d t，代入则,(4).(t)与其它信号的卷积,结果：x(t)与(t)的卷积等于x(t)。,函数的卷积特性,
