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1、第四章 信号的波形检测复习及习题,匹配滤波器,匹配滤波器的定义匹配滤波器的设计匹配滤波器的主要性质,随机过程的正交级数展开(1),掌握随机过程的卡亨南-洛维展开理解白噪声条件下，正交函数集的任意性,随机过程的正交级数展开(2),1.完备的正交函数集及确知信号的正交级数展开,1.1 完备的正交函数集,若实函数集 在(0,T)时间内满足,不存在函数g(t)，满足,则称函数集 是完备正交函数集。,随机过程的正交级数展开(3),2.随机过程的正交级数展开,假设接收为信号,其中s(t)是确知信号，n(t)是零均值的平稳随机过程，则接收信号也是平稳随机过程。,由于随机过程是由很多样本函数构成的集合，而每个
2、样本函数是时间的函数，所以对给定的样本函数，可以进行正交级数展开,所有样本函数的展开系数，构成了一族随机变量。,随机过程的正交级数展开(4),3.随机过程的卡亨南-洛维展开,目的：给出一种正交函数集的选择方法，以保证展开系数之间是互不相关的随机变量。,正交函数集,随机过程的正交级数展开(5),4.白噪声条件下，正交函数集的任意性,在白噪声条件下，可任意选取正交函数集，均可保证展开系数之间是不相关的。,二元波形信号检测归纳(1),首先，利用随机过程的正交级数展开，将随机过程用一组随机变量来表示；然后，针对展开得到的随机变量，取前N个展开系数，利用第三章的统计检测方法，构建贝叶斯检测表达式(白高斯
3、噪声条件下，展开系数是不相关的，也是独立的)；最后，令N趋向于无穷大，求极限，得到波形信号的检测表达式。,基本检测方法(正交级数展开法)：,二元波形信号检测归纳(2),简单二元信号判决表达式及检测系统结构,二元波形信号检测归纳(3),一般二元信号判决表达式及检测系统结构,二元波形信号检测归纳(4),二元波形信号检测归纳(5),检测性能与偏移系数有关,简单二元信号,一般二元信号,二元波形信号检测归纳(6),在高斯白噪声条件下，对于确知一般二元信号的波形检测，当两个信号设计成互反信号时，可在信号能量给定的约束下获得最好的检测性能。,对简单二元信号，只要保持信号s(t)的能量不变，信号波形可以任意设
4、计，检测性能不发生变化。,课后习题,P245，4.13,解：根据题设，得到两个信号的能量分别为,由于两个假设先验等概，因此在最小平均错误概率准则下，判决门限,利用一般二元信号检测波形判决表达式，得,由于,所以,为求平均错误概率，首先需要计算偏移系数,在两种假设下，统计量 均是高斯随机变量，因此有,P246，4.18,其中,由题设，贝叶斯检测表达式为,课后习题,上述判决表达式可进一步改写为,为求平均错误概率，首先需要计算偏移系数,在两种假设下，统计量 均是高斯随机变量，因此有,偏移系数与信号 无关，因此不影响系统的检测性能。,第五章 信号的统计估计理论,课件下载地址：密码：111111,随机参量
5、的贝叶斯估计(1),1.最小均方误差估计,随机参量的贝叶斯估计(2),1.最小均方误差估计,注：,1）最小均方误差估计的估计量实际是条件均值,2）最小均方误差估计的条件平均代价实际是条件方差,3）最小均方误差估计量的另一种形式,随机参量的贝叶斯估计(3),2.最大后验估计,选定的代价函数为,使条件平均代价最小，应该使 取到最大值,随机参量的贝叶斯估计(4),根据上述分析，得到最大后验概率估计量为,两种等价形式,最大似然估计(1),或,根据最大似然估计原理，如果已知似然函数，则最大似然估计量可由,解得。,最大似然估计(2),最大似然估计量不变性归纳,则有以下两个结论,如果参量 的最大似然估计量为
6、，函数 的最大似然估计量为,(1)如果 是 的一对一变换，则有,单参量估计方法小结,最大似然估计适用于非随机参量和概率密度函数未知的随机参量估计,最小均方误差估计和最大后验估计适用于概率密度函数已知的随机参量估计。,但对于非高斯型的，不同的估计方法，可能会得到不同的估计量，如何来衡量一个估计量的好坏？,如果后验概率密度是高斯型的，则最小均方误差、最大后验和条件中值三种方法得到的估计量相同，都是具有最小均方误差的估计量。,估计量的性质(1),1.估计量的主要性质,1.1 估计量的无偏性,(1)对于随机参量，如果估计量 的均值满足,则称 是随机参量 的无偏估计。,估计量的性质(2),1.1 估计量
7、的无偏性,(2)对于非随机参量，如果估计量 的均值为,若 则称 是非随机参量 的无偏估计。,若 则称 是非随机参量 的有偏估计。,若 则称 是非随机参量 的已知偏差的有偏估计，,可从估计量 中减去常数b获得无偏估计。,估计量的性质(3),1.1 估计量的无偏性,(3)如果根据N次观测量构造的估计量 是有偏的，但满足,或,非随机参量,随机参量,则称 是 的渐近无偏估计。,估计量的性质(4),1.2 估计量的有效性,对于被估计量 的任意无偏估计 和，若估计的均方误差,则称估计量 比 更有效。,如果 的无偏估计量 小于其他任意无偏估计量的均方误差，则称该估计量为最小均方误差估计量。,问题：能否确定一
8、个均方误差的下界？,估计量的性质(5),1.3 估计量的一致性,假设根据N次观测量构造的估计量为,若,则称估计量 是一致收敛的估计量。,若,则称估计量 是均方一致收敛的估计量。,非随机参量的克拉美-罗不等式(1),设 是非随机参量 的无偏估计，则有,或,当且仅当 时，上述两式取等号。,克拉美-罗不等式,克拉美-罗不等式取等号的条件,非随机参量的克拉美-罗不等式(2),2.1 非随机参量情况下的克拉美-罗不等式的含义和用途,(1)非随机参量 的任意无偏估计量 的方差，即均方误差恒不小于,(2)若非随机参量 的无偏估计量 满足,则无偏估计量 是有效的，否则是无效的。,非随机参量的克拉美-罗不等式(
9、3),2.1 非随机参量情况下的克拉美-罗不等式的含义和用途,(3)若非随机参量 的无偏估计量 是有效的，则估计量的方差，即均方误差可由克拉美-罗界取得。,非随机参量的克拉美-罗不等式(4),2.1 非随机参量情况下的克拉美-罗不等式的含义和用途,(4)若非随机参量 的无偏有效估计量 存在，它必定是 的最大似然估计量，且可由最大似然方程解得。,(5)若非随机参量 的最大似然估计量 不一定是无偏有效的。,最大似然估计量为,由,非随机参量的克拉美-罗不等式(5),2.2 非随机参量情况下，无偏有效估计量的均方误差计算方法,若非随机参量 的无偏估计量 也是有效的，则其均方误差为,由,随机参量的克拉美
10、-罗不等式(1),设 是随机参量 的无偏估计，则有,或,当且仅当 时，上述两式取等号。,克拉美-罗不等式,克拉美-罗不等式取等号的条件,随机参量的克拉美-罗不等式(2),3.1 随机参量情况下的克拉美-罗不等式的含义和用途,(1)由于,所以,随机参量的克拉美-罗不等式(3),3.1 随机参量情况下的克拉美-罗不等式的含义和用途,(2)随机参量 的任意无偏估计量 的方差，即均方误差恒不小于,随机参量的克拉美-罗不等式(4),3.1 随机参量情况下的克拉美-罗不等式的含义和用途,(4)若随机参量 的无偏估计量 是有效的，则估计量的方差，即均方误差可由克拉美-罗界取得。,随机参量的克拉美-罗不等式(
11、5),3.1 随机参量情况下的克拉美-罗不等式的含义和用途,(6)若随机参量 的无偏有效估计量 存在，它必定是 的最大后验估计量，且可由最大后验方程解得。,最大后验估计量为,由,随机参量的克拉美-罗不等式(6),3.2 随机参量情况下，无偏有效估计量的均方误差计算方法,若随机参量 的无偏估计量 也是有效的，则其均方误差为,由,非随机参量函数的克拉美-罗不等式(1),或,当且仅当 时，上述两式取等号。,克拉美-罗不等式,克拉美-罗不等式取等号的条件,设 非随机参量 的函数，其估计量 是 的任意无偏估计，则有,随机矢量的贝叶斯估计,最小均方误差估计 第j个参量的最小均方误差估计为：用矢量表示为：最
12、大后验估计 式中,最大后验方程组,随机矢量的伪贝叶斯估计,应用范围：随机矢量的均值矢量和协方差矩阵已知，但概率密度函数未知时，可采用伪贝叶斯估计方法。,方法：根据随机矢量的均值矢量和协方差矩阵，将随机矢量的概率密度函数假设为某种分布，然后应用贝叶斯方法进行估计。,最常用的，是假设为随机矢量服从高斯分布。,采用伪贝叶斯估计方法得到的估计量，其均方误差阵不差于采用最大似然估计时的结果。,随机矢量的经验伪贝叶斯估计,应用范围：随机矢量的均值矢量、协方差矩阵和概率密度函数均未知时，可采用经验伪贝叶斯估计方法。,方法：根据观测信号，首先估计随机矢量的均值矢量和协方差矩阵，然后根据估计结果将随机矢量的概率
13、密度函数假设为某种分布，并应用贝叶斯方法进行估计。,最常用的，是假设为随机矢量服从高斯分布。,采用经验伪贝叶斯估计方法得到的估计量，其均方误差阵不差于采用最大似然估计时的结果。,线性最小均方误差估计(1),线性最小均方误差估计准则 线性最小均方误差估计量的构造线性最小均方误差估计矢量的性质,线性最小均方误差估计的应用范围：,已知观测信号和被估计随机矢量的均值矢量、协方差矩阵和互协方差矩阵。,线性最小均方误差估计(2),线性最小均方误差估计准则 首先，构造的估计矢量 是观测矢量x的线性函数，即：同时要求估计矢量 的均方误差最小，即为 最小，式中，表示矩阵的轨迹。所以，线性最小均方误差估计的估计规
14、则，就是把估计量构造成观测量的线性函数，同时要求估计量的均方误差最小。,线性最小均方误差估计(3),解得,所以,线性最小均方误差估计矢量的性质,(1)估计矢量是观测矢量的线性函数,(2)线性最小均方误差估计矢量是无偏估计,线性最小均方误差估计矢量的性质,(3)估计矢量均方误差阵的最小性,线性最小均方误差估计矢量在线性估计中具有最小的均方误差，且均方误差矩阵也具有最小性。,(4)估计的误差矢量与观测矢量的正交性,被估计矢量,与观测矢量x是正交的，即,与线性最小均方误差估计矢量 之间的误差矢量,线性最小均方误差估计矢量的性质,最小二乘估计(1),1.最小二乘估计方法,均方误差最小：被估计量与估计量
15、之差在统计平均的意义上达到最小值。,若只有观测信号模型，则无法从统计平均的角度考虑估计误差最小，但可以按照误差的平方和最小的原则进行估计。,观测信号模型为：,所以，线性最小二乘估计量，是满足下述方程的解：,最小二乘估计(2),2.线性最小二乘估计,由于,所以,最小二乘估计(3),(1)估计矢量是观测矢量的线性函数(2)若观测噪声矢量n的均值矢量为零，则线性最小 二乘估计矢量是无偏的。(3)若观测噪声矢量n的均值矢量为零，协方差矩阵为，则线性最小二乘估计矢量的均方误差阵为：,3.线性最小二乘估计量的性质,最小二乘估计(4),4.线性最小二乘加权估计,提出背景：如果各次观测噪声的强度不同，所得的各
16、次观测量的精度也是不同的。,噪声方差小时，观测量的精度较高，噪声方差大，观测量的精度较低。如何在构造估计量时，综合考虑上述因素？,可以通过加权的方式，提高估计的精确度加权线性最小二乘估计。,线性最小二乘加权估计量，是满足下述方程的解：,最小二乘估计(5),由于,所以,波形中参量估计的基本原理,令，得到,波形中参量估计的基本原理,所以，的最大似然估计是满足下述方程的解,由于,信号振幅的估计,信号可表示为,其中，s(t)是已知信号，振幅a是待估计量，其最大似然估计量是满足下述方程的解,信号振幅的估计,由于,所以,信号振幅的估计,信号振幅估计的性质,信号振幅的估计,由于,课后习题,是高斯白噪声，所以
17、N次观测是互不相关的，,5.9,(1).因为,也是统计独立的。于是,的概率密度函数为:,由最大似然方程，得：,解得：,又因为,(2).由最大后验方程，得：,解得：,因为,所以，,是有偏估计量，但是渐进无偏的。,(3).令,则,，与观测量 的关系如上图所示。从估计量的均方误差看，虽然求最大后验估计量 时，给出了被估计量 的概率密度函数，但限定了它大于等于 0，所构造的估计量 是有偏的。而 是无偏有效估计量。所以 的均方误差大于 的均方误差。但随着观测次数N的增加，二者的均方误差之差随之减小。,课后习题,解：噪声n(t)的N个独立样本,构成N维高斯随机矢量,，其N维联合概率密度函数为,解得,5.1
18、3,解：因为,所以，,这样，,等效参数化为,由最大似然方程，得：,两边取对数,即：,课后习题,5.14 先求,，再利用最大似然估计量的不变性得,解：观测信号矢量,的N维联合概率密度函数为,由最大似然方程，得：,解得：,是无偏、有效估计量，其均方误差,利用最大似然估计的不变性，并考虑到,是一对一的变换，所以，,因为,所以，是无偏估计量。,又因为,式中,所以，也是有效估计量。,均方误差取克拉美-罗界，为：,课后习题,解：线性最小二乘估计矢量的构造公式为,估计矢量的均方误差为,(1).单参量估计的情况，线性观测方程为：,观测矩阵为：,观测矢量为：,观测噪声矢量为：,线性最小二乘估计量为：,5.31,
19、(2).在单参量估计的情况下，若观测噪声 的统计特性满足：,于是，估计量的均方误差为：,(3).在单参量估计的情况下，若观测噪声的统计特性满足：,于是，估计量的均方误差为：,(4).在单参量估计的情况下，若观测噪声的统计特性满足：,在线性最小二乘估计量的均方误差式中，各项分别为：,这样，线性最小二乘估计量的均方误差为：,(5).在单参量估计的情况下，若观测噪声的统计特性满足：,在线性最小二乘估计量的均方误差式中，各项分别为：,这样，线性最小二乘估计量的均方误差为：,课后习题,n(t)是均值为0，功率谱密度为 的高斯白噪声，,解：若,则x(t)的似然函数为,式中,（1）.据题意，有,5.38,解得,由最大后验方程，得,(2).,所以，是无偏估计量。,所以，也是有效估计量。,这样，信号振幅a的最大后验估计量 是无偏、有效估计量，均方误差取克拉美-罗界，为：,(3).当信号振幅a服从瑞利分布时，由最大后验方程得：,整理得：,解得：,因为：,所以，舍取负根，得：,考察 的无偏性。,信号振幅a服从瑞利分布，所以其均值为：,信号振幅a的最大后验估计量 的均值为：,即信号振幅a的最大后验估计量 是有偏估计量。,所以：,因为：,
