信号与系统第三章：傅里叶变换.ppt

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1、1,傅里叶变换,上海大学机自学院,2,上一章（线性时不变系统的时域分析）回顾,上一章其实质是在时域中进行系统分析的任务，也就是说解决在给定的时域输入信号激励作用下，系统在时域中将产生什么样响应的问题。之所以称为时域分析，是由于在系统分析的过程中，所涉及的函数变量均为时间t，故这一方法称之为“时域分析法”。该方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。主要内容，可概括为如下几个方面：1、时域分析的基本概念 系统时域响应的概念和四种主要响应形式。2、离散系统的时域分析 差分和差分方程的含义和建立；差分方程的经典解法，以及各种响应的具体求解。3、单位冲击响应与单位样值响应 单位冲击响应

2、和单位样值响应的概念和实质；通过微分方程或差分方程的求解方法。4、卷积积分 卷积积分的基本概念和意义；采用定义法和图解法进行求解的方法和步骤；卷积积分的重要性质。5、卷积和 卷积和的基本概念和意义；通过定义、性质以及图解法和不进位乘法熟练进行求解的方法和步骤。,3,第三章主要内容,3.1 信号分解为正交函数(一般了解）3.2 傅里叶级数 3.3 周期信号的频谱 3.4 非周期信号的频谱（傅里叶变换）3.5 傅里叶变换的性质 3.6 卷积定理3.7 周期信号的傅里叶变换3.8.抽样信号的傅里叶变换与取样定理,4,时域分析,时域分析的要点是，以冲激信号或单位信号为基本信号，任意输入信号可分解为一系

3、列冲激函数或单位函数；且，对于连续时间系统 对于离散时间系统 在本章的分析中，所指的信号和系统均为连续时间信号和连续时间系统。,5,变换域,变换域一般指：频域、S域和Z域；也就是通过各种数学变换，将时域的信号与系统变换到频域、S域和Z域中进行分析和观察，这样不仅能够简化信号与系统在时域分析中的复杂计算，更主要的是：可以观察到信号与系统在时域分析中所无法看到的一些奇妙的现象和特性，从而可以多角度地对信号与系统有更深刻的认识和更全面的把握。采用变换域分析的目的：主要是简化分析。这章傅里叶变换主要从信号分量的组成情况去考察信号的特性。从而便于研究信号的传输和处理问题。,6,由于这里用于系统分析的独立

4、变量是频率，故称为频域分析。,任意周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或虚指数函数之和。,本章以正弦函数或(虚指数函数)为基本信号,任意非周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或虚指数函数积分。,7,信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量的 概念相似。,矢量正交分解的概念可以推广到信号空间，在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中的任意信号均可表示成它们的线性组合。,3.1 信号分解为正交函数,8,矢量正交集,矢量正交的定义 矢量 和 内积为零，即矢量正交集：指由两两正交的矢量组成的矢量集合。如三维空间中，所组成的集合就是矢量正交集，且完备。矢量 表示为,矢量正交

5、分解的概念可以推广到信号空间，在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中的任意信号均可表示成它们的线性组合。,9,（2）正交函数集 在区间 上的n个函数（非零）,其中任意两个均满足 为常数，则称函数集 为区间 内的正交函数集。,（1）正交函数 在 区间上定义的非零实函数 和 若满足条件 则函数 与 为在区间 的正交函数。,正交函数集,10,完备正交函数集,11,由积分可知,三角函数集,12,复指数函数集,13,信号分解为正交函数,14,根据最小均方误差原则，可推出：,式中：,15,将周期信号,在区间,内展开成完,备正交信号空间中的无穷级数。如果完备的正交函数集 是三角函数集

6、或指数函数集，那么，周期信号所展开的 无穷级数就分别称为“三角形傅里叶级数”或“指数形傅 里叶级数”，统称为傅里叶级数。,3.2 傅里叶级数,16,设有一个周期信号 它的周期是，角频率 它可分解为：,一、周期信号的分解,其中 称为傅里叶系数，。,17,傅里叶系数如何求得,式中：,18,由上式可见，是 的偶函数，是 的奇函数，,19,则有,20,一般而言 称为 次谐波，是 次谐波的振幅，是其初相角。,可见，任何满足狄里赫利条件的周期信号均可分解为直 流分量，一次谐波或基波(它的角 频率与原周期信号相同)，二次谐波，以此类推，三次，四次等谐波。,21,狄里赫利条件,（1）在一周期内，间断点的数目有

7、限；,（2）在一周期内，极大、极小值的数目有限；,（3）在一周期内，,电子技术中的周期信号大都满足狄里赫利条件条件，当f(t)满足狄里赫利条件时，才存在。,22,结论：周期信号可分解为各次谐波分量之和。一般而言 称为 次谐波，是 次谐波的振幅，是其初相角。,23,解：,例3.2-1 将下图中的方波信号展开为傅里叶级数,24,25,26,它仅含有一、三、五、七.等奇次谐波分量。,如下页图所示，是用有限项傅里叶级数来逼近的情况：,27,28,（1）所取项愈多，合成波形（除间断点外）愈接近于原方波信号。,（2）所取项数愈多，在间断点附近，尖峰愈靠近间断点。,（3）即使，在间断点处尖峰仍不能与之吻合，

8、有 的偏差。但在均方的意义上合成波形同原方波的真值之间没有区别。(吉布斯现象）,29,若给定的 有某些特点，那么，有些傅里叶系数将等于零从而使计算较为简便。,（1）为偶函数,则有，波形对称于纵坐标。,二、奇偶函数的傅里叶系数,30,从而有,31,32,进而有,这时有,33,实际上，任意信号都可分解为奇函数和偶函数两部分。,其中,*一个函数是奇函数还是偶函数不仅与其波形有关，而且与原点的选择有关。,34,此时傅里叶级数展开式中将只含奇次谐波分量，而不 含有偶次谐波分量。即,（3）为奇谐函数,35,例3.2-2,例：周期矩形信号如图所示，若重复频率=5 KHz，脉宽为20微妙，幅度=10 V，求傅

9、立叶级数展开的直流分量大小，以及基波、二次谐波和三次谐波的有效值。,36,解：因为为偶函数，所以，故只有直流分量和余弦分量，并有，利用公式求解如下：直流分量：所以直流分量为n次谐波系数：,其有效值为：,37,将 代入上式，得基波有效值为：同理当 和 时，得二次和三次谐波的有效值分别为：,38,讨论 关于n的奇偶性,是n的偶函数。,是n的奇函数。,39,将上式第三项中的 用 代换，并考虑到 是 的偶函数，即；是 的奇函数,则上式可写为:,三、傅里叶级数的指数形式,40,如将上式中的 写成（），则上式可以写成:,41,令复数量，称其为复傅里叶 系数，简称傅里叶系数。其模为，相角为，则得傅里叶级数的

10、指数形式为,42,复傅里叶系数,43,44,与 互为共轭。,与 的关系。,45,三角形式傅里叶级数,46,指数形式傅里叶级数,任意周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦函 数或虚指数函数之和。,47,复傅里叶系数 与，的关系,48,3.3 周期信号的频谱,为了能既方便又明白地表示一个信号中包含有哪些频率分量，各分量所占的比重怎样，就采用了称为频谱图的表示方法。,一、频谱图的概念,已知周期信号f(t)可用傅里叶级数来表示。,或,49,如果将，的关系绘成下面的线图，便可清楚而直观地看出各频率分量的相对大小及各分量的相位，分别称为幅度谱和相位谱（单边）。,如果将，的关系绘成下面的线图，同样可清楚而直

11、观地看出各频率分量的相对大小及各分量的相位，也分别称为幅度谱和相位谱（双边）。,50,频谱图,幅度频谱,相位频谱,离散谱，谱线,51,周期信号采用指数形式展开后的频谱,因Fn一般为复数,称为复数频谱.,图3-2 周期信号的复数频谱,52,例 3.3-1,试画出f(t)的振幅谱和相位谱。,解 f(t)为周期信号，题中所给的f(t)表达式可视为f(t)的傅里叶级数展开式。据,可知，其基波频率=(rad/s)，基本周期T=2s，=2、3、6 分别为二、三、六次谐波频率。且有,53,其余,54,图 3.3-1(a)振幅谱；(b)相位谱,55,图 3.3-2 信号的双边频谱(a)振幅谱；(b)相位谱,5

12、6,二、周期矩形脉冲的频谱,设有一幅度为E，脉冲宽度为 的周期性矩形脉 冲，其周期为，求其复傅里叶系数。,图 3.3-3 周期矩形脉冲,57,58,-取样函数,1.它是偶函数。,2.当 时，。,3.当 时，函数值为0。,它是无限拖尾的衰减振荡。,59,该周期性矩形脉冲的指数形式傅里叶级数展开式为：,图3.3-4 周期矩形脉冲的频谱（T=4）,60,第一个零点时谱线的序号：,零点的位置：,相邻谱线的间隔：,第一个零点的位置：,61,由上图 可以看出，此周期信号频谱具有以下几个特点：第一为离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。第二为谐波性，此

13、频谱的每一条谱线只能出现在基波频率w1的整数倍频率上，即含有w1的各次谐波分量，而决不含有非w1的谐波分量。第三为收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随nw1的变化有起伏变化，但总的趋势是随着nw1的增大而逐渐减小。当nw1时，|Fn|0。,62,前已指出，当周期趋于无限大时，相邻谱线的间隔趋近于无穷小，从而信号的频谱密集成为连续频谱。同时，各频率分量的幅度也都趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍保持一定的比例关系。为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。,令,一、傅里叶变换,3.4非周期信号的频谱,称 为频谱密度函数。,63,当周期T1 趋近于无限大时，w1 趋近于无穷小，取其

14、 为，而 将趋近于，nw1 是变量，当 时，它是离散值，当w1 趋近于无限小时，它 就成为连续变量，取为，求和符号改为积分。,如何求频谱密度函数？,由式 可得,64,成为,（1）式称为函数 的傅里叶变换。,（2）式称为函数 的傅里叶逆变换。,称为 的频谱密度函数或频谱函数.称为 的原函数。,简记为,65,与周期信号的傅里叶级数相类似，在f(t)是实函数时，F()、()与R()、X()相互之间存在下列关系：,66,在f(t)是实函数时：(1)若f(t)为t的偶函数，即f(t)=f(-t)，则f(t)的频谱函数F(j)为的实函数，且为的偶函数。(2)若f(t)为t的奇函数，即f(-t)=-f(t)

15、，则f(t)的频谱函数F()为的虚函数，且为的奇函数。,结论,67,例3.4-1 下图所示为门函数（或称矩形脉冲），用符号 表示，其宽度为，幅度为。求其频谱函数。,二、典型信号的傅里叶变换,68,解：如图所示的门函数可表示为,其频谱函数为,69,图 3.4-1 门函数及其频谱,一般而言，信号的频谱函数需要用幅度谱 和相位 谱 两个图形才能将它完全表示出来。但如果频谱函数是实函数或虚函数，那么只用一条曲线即可。为负代表相位为，为正代表相位为0.,70,由图可见，第一个零值的角频率为（频率）。,当脉冲宽度减小时，第一个零值频率也相应增高。对于矩形脉冲，常取从零频率到第一个零值频率 之间的频段为信号

16、的频带宽度。,这样，门函数的带宽，脉冲宽度越窄，其占有的频带越宽。,(时域越窄,频域越宽),71,例3.4-2 求单边指数函数的频谱函数,72,这是一复函数,将它分为模和相角两部分：,73,幅度谱和相位谱,频谱图如下图所示：,74,例 3.4-3 求下图所示双边指数信号的频谱函数,解：上图所示的信号可表示为：,或者写为,75,将 代入到式，可得其频谱函数为：,76,其频谱图如下所示：,实偶,实偶,77,例3.4-4 求下图所示信号的频谱函数,78,79,其频谱图如下图所示：,实奇,虚奇,80,例3.4-5 求冲激函数的频谱,即单位冲激函数的频谱是常数，如下图所示。其频 谱密度在区间 处处相等，

17、常称为“均匀谱”或“白色频谱”。,81,冲激函数一阶导数的频谱函数为,按冲激函数导数的定义：,可知,82,例3.4-6 求单位直流信号的频谱,83,所以,84,图3.4-7 求 1的极限过程,85,例3.4-7 求符号函数的频谱,符号函数定义为,86,则它的频谱函数也是 的频谱函数，当 时的极限。,我们已知 的频谱函数为：,它是 的奇函数，在 处。,因此，当 趋近于零时，有：,87,它在 处的值等于零。,88,例3.4-8 求阶跃函数的频谱,对上式两边进行傅里叶变换，得:,89,90,important,91,表 常用傅里叶变换对,92,续表,93,思考题：1.为什么要对信号进行变换域分析？为

18、什么要进行傅立叶变换？2.幅频特性和相频特性代表的是什么含义？意义何在？预习内容：傅立叶变换的性质，具体内容包括：线形特性；奇偶特性；对称特性；尺度变换性；时移特性；频移特性；微分特性；积分特性；,94,（1）频域分析与频谱的基本概念；（2）任意的周期信号，可以用傅立叶级数进行展开，并具有“三角形式”和“复指数形式”的两种形式；,三角形式:,复指数形式:,（3）非周期信号，采用“傅立叶变换对”可进行傅立叶变换；傅立叶变换对,周期信号的频谱是“离散谱”；非周期信号的频谱是“连续谱”（4）常用或典型非周期信号的傅立叶变换-“频谱函数”；,上次课的回顾：,95,96,任一信号可以有两种描述方法：,时

19、域的描述 频域的描述,本节将研究在某一域中对函数进行某种运算，在另一 域中所引起的效应。,为简便，用 表示时域与频域之 间的对应关系，即,3.5 傅里叶变换的性质,97,一、线性,若,则对于任意常数 和，有,傅里叶变换的线性性质可以推广到有多个信号的情况。,98,线性性质有两个含义：,1、齐次性 它表明，若信号 乘以常数（即信号增大 倍），则其频谱函数也乘以相同的常数（则其频谱 函数也增大 倍）；,2、可加性 它表明，几个信号之和的频谱函数等于各个信 号的频谱函数之和。,99,二、奇偶性,下面研究时间函数与其频谱的奇、偶、虚、实关系。,如果 是时间 的实函数，那么根据：,100,其中频谱函数的

20、实部和虚部分别为：,频谱函数的模和相角分别为：,1、若 f(t)是时间 t 的实函数，则频谱函数 的 实部 是角频率 的偶函数，虚部 是角频率 的奇函数，是 的偶函数，是 的奇函数。,101,2、如果 是时间 的实函数，并且是偶函数，则,频谱函数 等于，它是 的实偶函数。,102,4、的傅里叶变换,考虑到 是 的偶函数，是 的奇函数，故：,若 f(t)是时间 t 的实函数,103,将以上结论归纳起来是：,如果 是 的实函数，且设,则有（1）,（2）,（3）,104,如果 是 的虚函数，则有,（1）,（2）,105,三、对称性,若 则,证明:傅里叶逆变换式,将上式中的自变量 换为，得,将上式中

21、的换为，将原有的 换为，得,上式表明，时间函数 的傅里叶变换为。,106,例如，时域冲激函数 的傅里叶变换为频域的 常数；由对称性可得，时域的常数 的傅里叶变换为，由于 是 的偶函数，故有,107,例3.5-1 求取样函数 的频谱函数。,解:我们已知，宽度为，幅度为 的门函数 的频谱函数为，即,取，即,则：,根据傅里叶变换的对称性质:,108,其波形如下所示：,109,例3.5-2 求函数 和 的频谱函数。,解（1）函数,我们已知：,由对称性并考虑到 是 的奇函数，可得：,110,由对称性并考虑到，得,根据线性性质，时域频域分别乘以 得：,（2）函数,我们已知：,111,四、尺度变换,尺度变换

22、特性为：若,上式表明，若信号 在时间坐标上压缩到原来的，那么其频谱函数在频率坐标上将展宽 倍，同时其幅度减小到原来的,称为尺度变换 特性或时域展缩特性。,则对于实常数，有,112,令，则,当 时,113,当 时:,若令，得,114,五、时移特性,上式表示，在时域中信号沿时间轴右移（即延时），其在频域中所有频率“分量”相应落后一相位，而其幅度保持不变。,115,令，则上式可以写为,同理可得：,证明：若，则延迟信号的傅里叶变换为,116,如果信号既有时移又有尺度变换则有：,和 为实常数，但.,显然，尺度变换和时移特性是上式的两种特殊情况，当 时得，当 时得,117,例 3.5-3求图(a)所示信号

23、的频谱函数。,(a)f(t)的波形；(b)相位谱,118,解:,119,六、频移特性,上式表明:将信号 乘以因子,对应于将频谱函数沿 轴右移;将信号 乘以因子,对应于将频谱函数沿 轴左移。,120,证明:,同理:,121,七、时域微分特性,设,时域微分定理,若 则,证明：,122,八、时域积分特性,证明：,这里,123,若,则,这个性质经常用来求某些复杂函数的傅里叶变换。即先将所求的函数求导，求出其导数的傅里叶变换，再利用积分特性求出所求信号的频谱。,124,例 3.5-4求门函数的积分 的频谱函数。,解：门函数的频谱为,125,由于，由式 得,126,总结：,傅立叶变换的八个性质非常重要，通

24、过灵活利用性质，不仅能够加深理解傅立叶变换的本质，同时也可以大大简化计算。需要注意的是，灵活运用性质的前提是必须牢记典型和常用信号的傅立叶变换。,127,Assignment,3-2(b)、(c);3-3(b)、(c);3-4(2);,128,预习内容：(1)卷积定理；(2)周期信号的傅立叶变换；(3)抽样信号的傅立叶变换与抽样定理；,129,上次课的回顾：着重讲解了傅立叶变换的八个性质，通过灵活利用性质，不仅能够加深理解傅立叶变换的本质，同时也可以大大简化计算。在对性质进行分析和解释的基础上，用较多的例题予以说明和印证。需要注意的是，灵活运用性质的前提是必须牢记典型和常用信号的傅立叶变换。,

25、130,3.6 卷积定理,时域卷积定理,若,则,时域卷积定理证明如下：根据卷积积分的定义,其傅里叶变换为,131,将它代入到上式得,由时移特性知,132,若：则：式中：,频域卷积定理,133,例3.6-1 求斜升函数 和函数 的频谱函数。,解:（1）的频谱函数,我们已知,根据频域卷积定理，可得 的频谱函数,即,134,（2）的频谱函数,因为,而,利用线性性质可得,135,例 3.6-2 求三角形脉冲 的频谱函数。,这类题直接用定义作非常麻烦,因此可考虑将其先求导,再利用积分性质来求。,136,图 3.6-1 f(t)及其导数,解:如图，将三角脉冲求两次导变成,上图（c）中的函数由三个冲激函数组

26、成，它可以写为：,137,由于，根据时移特性,显然有。,利用式 得：,138,139,例3.6-3 求下图(a)和(b)所示信号的傅里叶变换。,解:（1）方法一:,图（a）的函数为,140,图（b）的函数可写为,141,方法二:先求导,再积分的方法.,由图可见 和 的导数均如 图（c）所示。,142,或者,根据,得:,143,九、频域微分和积分,频域微分：,频域积分：,式中,如果有，则有,144,证明：,频域微分：,145,证明：,频域积分：,146,例3.6-4求斜升函数 的频谱函数。,解:单位阶跃信号及其频谱函数为,由式 可得,147,例3.6-5 求函数 的频谱函数。,解:,由于，显然有

27、,根据频域积分特性:,148,149,例3.6-6 求 的值。,解:我们已知，门函数,令(a0)，,150,若，则，于是得到,151,傅里叶变换的性质,152,3.7 周期信号的傅里叶变换,一、正、余弦函数的傅里叶变换,根据频移特性得,所以，正、余弦函数的傅里叶变换为,153,正、余弦信号的波形及频谱,154,二、一般周期函数的傅里叶变换,155,上式表明，周期信号的傅里叶变换（或频谱密度函 数）由无穷多个冲激函数组成，这些冲激函数位于信 号的各谐波角频率 处，其强度 为各相应幅度 的 倍。,156,例3.7-1 求周期性矩形脉冲信号 的频谱函数。,解：,此处，代表虚指数分量的幅度和相位。,1

28、57,158,例3.7-2 求周期性单位冲激函数序列 的频谱。,解:,159,周期冲激序列的傅立叶变换,可见：时域中周期为 的单位冲激序列，在频域中是 周期为1，强度为1的冲激序列。其中,160,方法二,设周期信号，从该信号中截取一个周期信号，令其为。,这是求周期信号的傅里叶变换的另一种方法。,161,例3.7-3 求周期性脉冲 的频谱函数。,解：,162,三、傅里叶系数与傅里叶变换的关系,由于：,又由于：,163,所以：,即,164,例3.7-4 将图(a)所示周期信号展开成指数形式傅里叶级数。,165,解：,得到：,166,本节小结,1、正弦、余弦函数的傅里叶变换2、周期信号的傅里叶变换3

29、、傅里叶系数与傅里叶变换的关系,167,Assignment,3-2(b)、(c);3-3(b)、(c);3-4(2);3-8(3)、(6);3-9(2)、(7);,168,3.8.抽样信号的傅里叶变换与取样定理,“抽样信号”就是从一连续信号 中，每隔一定时间间隔抽取一个样本数值，所得到的一系列样本值构成的序列。抽取样本的过程称之为“抽样”(或“取样”、“采样”)。抽样定理论述了在一定条件下，一个连续信号完全可以用离散样本值表示。这些样本值包含了该连续信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号。可以说，抽样定理在连续信号与离散信号之间架起了一座桥梁。为其互为转换提供了理论依据。本节的重点是时

30、域抽样和时域抽样定理。,169,一、信号的抽样 所谓“抽样”就是利用取样脉冲序列 从连续信号 中“抽取”一系列离散样本值的过程。这样得到的离散信号称为抽样信号。,170,171,冲激抽样 若 是周期为 的冲激函数序列，则这样对连续信号 进行抽样，称之为冲激抽样。即，,由于 是周期函数，则其傅立叶变换为：,，其中,172,又由于 在 中为，根据冲激函数性质，有：,所以：,如果连续信号 是带限信号，即 的频谱只在区间 为有限值，而在其余区间数值为0。则因为，,173,所以，,174,根据上述分析和图形，可以看出原信号 的频谱，与经 抽样后的抽样信号 的频谱 之间的关系：（1）在 中保留了，形状上维

31、持不变。（2）与 两者在幅度上只相差一个系数。,上面在画取样信号 的频谱时，设定,这时其频谱不发生混叠，因此能设法从 中取出，即从 中恢复原始信号。否则将发生“频谱混叠”现象，而无法恢复原始信号。,175,二、时域取样定理,如果抽样间隔 不够小，以至达到，则在频谱 以 为周期进行重复的 频谱图上，将会发生 重叠现象，具体如下图所示。因此，从 中取出的任一个周期都是失真了的，当然也就无法据此恢复出原信号。,176,177,本章小结与重点1、频域分析的基本概念2、周期信号的频谱与非周期信号的傅里叶变换3、卷积定理4、周期型号的傅里叶变换5、取样定理,178,作 业,3-2(b)、(c);3-3(b)、(c);3-4(2);3-8(3)、(6);3-9(2)、(7);3-13;3-14;3-16.,