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1、第二章 谓词逻辑Predicate Logic,前言,苏格拉底三段论(Socrates syllogism)：所有人都是要死的。苏格拉底是人。所以苏格拉底是要死的。（Socrates,古希腊哲学家,公元前470前399）(孔子,中国伟大哲学家,公元前551前479),前言,在命题逻辑中，如果设：P：凡人都是要死的；Q：苏格拉底是人；R：苏格拉底是要死的。前提：P,Q，结论：R。则(PQ)R表示上述推理，这个命题公式不是重言式。,前言,在谓词逻辑中，如果设：H(x)：x是人。M(x)：x是要死的。a：苏格拉底。前提：(x)(H(x)M(x)，H(a)结论：M(a)(x)(H(x)M(x)H(a)
2、M(a),前言,主语 谓语 客（个）体 谓词,客体可以独立存在，它可以是具体的，也可以是抽象的。而用来描述客体的性质或关系的即是谓词。为了刻画命题内部的逻辑结构，就需要研究谓词逻辑（Predicate Logic）。,前言,比如：P：张三是大学生Q：李四是大学生以上这些命题都具备有一个共同的特征就是：x是大学生。P(x)就可以代表这一类的命题。P(x)：x是大学生，a：张三，b：李四，P(a)：张三是大学生P(b)：李四是大学生,2-1 谓词的概念与表示,2-1.1 谓词的概念定义1：谓词（predicate）在命题中，用以刻画客体词的性质或客体词之间关系的词即是谓词，谓词相当于命题中的谓语部
3、分。例如：他是三好学生“他”是个体，“是三好学生”是表示个体性质的谓词5大于3“5”和“3”是个体，“大于”是表示个体之间关系的谓词,2-1.2 谓词的表示：,用大写英文字母 A,B,C,D,表示谓词，用小写字母表示客体。前面的例子可表示为：(1)A(x):x是三好学生，h:他，A(h):他是三好学生(2)G(x,y):x大于y，G(5,3):5大于3,2-1.3如何利用谓词表达命题：,用谓词表达命题必须包括谓词字母和客体两个部分。比如：A(x)可以表示“x是A”类型的命题，表达了客体的性质，称为一元谓词。B(x,y)可以表示“x小于y”类型的命题，表达了客体之间的关系，称为二元谓词，。L(x
4、,y,z)可以表示“点x在y与z之间”类型的命题，表达了客体之间的关系，称为三元谓词。用P(x1,x2,xn)表示n元谓词，在这里n个客体变元的顺序不能随意改动。,2-2 命题函数与量词,2-2.1 命题函数一般来说，当谓词P给定，x1,x2,xn是客体变元，P(x1,x2,xn)不是一个命题，因为他的真值无法确定，要想使它成为命题，要用n个客体常项代替n个客体变元。P(x1,x2,xn)就是命题函数。比如L(x,y)表示“x小于y”，那么L(2,3)表示了一个真命题“2小于3”。而 L(5,1)表示了一个假命题“5小于1”,2-2.1 命题函数,定义1：简单命题函数(simple propo
5、sitional function)：由一个谓词，一些客体变元组成的表达式称为简单命题函数。比如：A(x)，B(x,y)，L(x,y,z)简单命题函数不是命题，只有当变元x,y,z等取特定的客体才确定了一个命题。对于n元谓词，当n=0时，称为0元谓词，它本身就是一个命题，故命题是n元谓词的一个特殊情况。,2-2.1 命题函数,比如：L(x,y)表示“x小于y”是二元谓词，L(x,3)表示“x小于3”是一元谓词，L(2,3)表示“2小于3”是0元谓词。因此可以将命题看成n元谓词的一个特殊情况。0元谓词都是命题，命题逻辑中的简单命题都可以用0元谓词表示。,2-2.1 命题函数,定义2：复合命题函数
6、（compound propositional function）：由一个或n个简单命题函数以及逻辑联结词组合而成的表达式。命题逻辑中的联结词在谓词逻辑中含义完全相同。举例说明：P56例，例,2-2.1 命题函数,定义3：谓词填式单独一个谓词不是完整的命题，把谓词字母后填以客体所得的式子称为谓词填式。例如：P(x)表示x3，则P(1)、P(2)、P(5)分别表示1大于3，2大于3，5大于3，P(1)、P(2)、P(5)即是谓词填式。,2-2.1 命题函数,定义4：谓词表达式简单命题函数与逻辑联结词组合而成。示例分析 P59(1)a),b),c)设W(x):x是工人，z:小张，则原命题表示为：W
7、(z)设S(x):x是田径运动员，B(x):x是球类运动员，h:他，则原命题表示为：S(h)B(h)设C(x):x是聪明的，B(x):x是美丽的，a:小莉，则原命题表示为：C(a)B(a),注意：命题函数不是一个命题，只有客体变元取特定客体时，才能成为一个命题。但是客体变元在哪些范围取特定的值，对命题函数以下两方面有极大影响：(1)命题函数是否能成为一个命题；(2)命题的真值是真还是假。,2-2.1 命题函数,个体域(universe of discourse)：在命题函数中，命题变元的论述范围称为个体域。全总个体域：个体域可以是有限的，也可以是无限的，把各种个体域综合在一起，作为论述范围的域
8、，称为全总个体域。,2-2.2 量词,例题：符号化以下命题所有人都要死去。有的人的年龄超过百岁。以上给出的命题，除了有个体词和谓词以外，还有表示数量的词，称表示数量的词为量词。量词有两种：全称量词(universal quantifier)存在量词(existential quantifier),2-2.2 量词,定义1全称量词(universal quantifier)用符号“”表示，“x”表示对个体域里的所有个体。(x)P(x)表示对个体域里的所有个体都有属性P。表达“对所有的”，“每一个”，“对任一个”，“凡”，“一切”等词。The universal quantifier,an ups
9、ide-down A,is used to build compound propositions of the form(x)P(x),which we read as“for all x,P(x).”Other translations of are“for each,”“for every,”“for any.”The compound proposition(x)P(x)is assigned truth value as follows:(x)P(x)is true if P(x)is true for every x in U;otherwise(x)P(x)is false.,2
10、-2.2 量词,定义2存在量词(existential quantifier)用符号“”表示。x表示存在个体域里的个体。(x)P(x)表示存在个体域里的个体具有性质P。符号“”称为存在量词，用以表达“某个”，“存在一些”，“至少有一个”，“对于一些”等词。The existential quantifier,a backward E is used to form propositions like（x）P(x),which we read as“there exists an x such that P(x),”“there is an x such that P(x),”or“for so
11、me x,P(x).”The compound proposition（x）P(x)has these truth values:（x）P(x)is true if P(x)is true for at least one x in U;（x）P(x)is false if P(x)is false for every x in U.,2-2.2 量词,唯一存在量词（unique quantifier）：“恰好存在一个”，用符号“!”表示。,2-2.2 量词,现在对以上两个命题进行符号化，在进行符号化之前必须确定个体域。第一种情况个体域D为人类集合。设：F(x)：x是要死的。G(x)：x活百岁
12、以上。则有(x)F(x)和(x)G(x)这两个命题都是真命题,2-2.2 量词,第二种情况个体域D为全总个体域。不能符号化为(x)F(x)和(x)G(x)，因为:(x)F(x)表示宇宙间一切事物都要死的，这与原命题不符。(x)G(x)表示宇宙间一切事物中存在百岁以上，这与原命题不符。,2-2.2 量词,因此必须引入一个新的谓词，将人分离出来。在全总个体域的情况下，以上两个命题叙述如下：(1)对于所有个体而言，如果它是人，则它要死去。(2)存在着个体，它是人并且活过百岁以上。于是，再符号化时必须引入一个新的谓词 M(x)：x是人。称这个谓词为特性谓词。,2-2.2 量词,定义：特性谓词在讨论带有
13、量词的命题函数时，必须确定其个体域，为了方便，可使用全总个体域。限定客体变元变化范围的谓词，称作特性谓词。利用特性谓词，对以上两个命题进行符号化(1)(x)(M(x)F(x)(2)(x)(M(x)G(x),使用量词时应注意的问题：,在讨论有量词的命题函数时如果事先没有给出个体域，那么都应以全总个体域为个体域。对全称量词，特性谓词常做蕴含的前件。对存在量词，特性谓词常做合取项。,举例说明：,例1“有些人是要死的”.解1：采用全体人作为个体域.设:G(x):x是要死的.原命题符号化成:(x)G(x)解2：采用全总个体域.设:M(x):x是人;G(x):x是要死的.原命题符号化成:(x)(M(x)G
14、(x),例2“凡人都是要死的”.解1:采用全体人作为个体域.设:G(x):x是要死的.原命题符号化成:(x)G(x)解2:采用全总个体域.设:M(x):x是人;G(x):x是要死的.原命题符号化成:(x)(M(x)G(x),例3:“存在最小的自然数”。解1:采用全体自然数作为个体域.设:G(x,y):xy;原命题符号化成:(x)(y)G(x,y)注意量词顺序:(y)(x)G(x,y):“没有最小的自然数”.解2:设:F(x):x是自然数;G(x,y):xy;原命题符号化成:(x)(F(x)(y)(F(y)G(x,y),例4:“不存在最大的自然数”。解:设:F(x):x是自然数;G(x,y):x
15、y;原命题符号化成:(x)(F(x)(y)(F(y)G(x,y)或:(x)(F(x)(y)(F(y)G(x,y),例5:“火车比汽车快”。解:设:F(x):x是火车;G(x):x是汽车;H(x,y):x比y快原命题符号化成:(x)(F(x)(y)(G(y)H(x,y)或:(x)(y)(F(x)G(y)H(x,y),例6:“有的汽车比火车快”。解:设:F(x):x是汽车;G(x):x是火车;H(x,y):x比y快原命题符号化成:(x)(F(x)(y)(G(y)H(x,y)或:(x)(y)(F(x)G(y)H(x,y),例7:“有些病人相信所有的医生”。解:设:F(x):x是病人;G(x):x是医
16、生;H(x,y):x相信y原命题符号化成:(x)(F(x)(y)(G(y)H(x,y),例8:“存在唯一的对象满足性质P”。解:设:P(x):x满足性质P原命题符号化成:(!x)P(x)或:设:P(x):x满足性质P;E(x,y):x和y是同一个个体原命题符号化成:(x)(P(x)(y)(P(y)E(x,y),2-3 谓词公式与翻译,书上已经给出谓词，命题函数，谓词表达式。在数理逻辑中需要对能够进行谓词演算的公式进行准确的定义。这样以后我们不再说谓词，命题函数，谓词表达式等,而只研究谓词公式。,2-3.1 谓词逻辑字母表：,个体常项:a,b,c,a1,b1,c1,个体变项:x,y,z,x1,y
17、1,z1,函数符号:f,g,h,f1,g1,h1,谓词符号:F,G,H,F1,G1,H1,量词符号:,!联结词符号:,括号与逗号:(,),，,2-3.2 谓词公式,定义：谓词公式（谓词演算的合式公式）用wff表示（well form formulation)（1）A(x1,x2,xn)称为原子谓词公式，原子谓词公式是谓词公式。（2）若A是谓词公式，则(A)是一个谓词公式。（3）若A和B都是谓词公式，则(AB)，(AB)，(AB)，(AB)和都是谓词公式。（4）如果A是谓词公式，x是A中出现的任何变元，则(x)A，(x)A，和(!x)A都是谓词公式。（5）只有经过有限次的应用规则(1)，(2)，(3)，(4)所得到的公式是谓词公式。,2-3.2 谓词公式,举例说明：以下都是谓词公式x(F(x)y(G(y)H(x,y)F(f(a,a),b),2-3.3 翻译,见P61 例1,作业(2-1,2-2,2-3),P60(2)a),c),e)P62(3)b),c),
