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1、小学数学图形与几何教学策略初探 “图形与几何”这个内容是帮助学生生存并促进其发展的重要基础，是帮助学生形成创新意识，发展数学思维所必须的土壤。 新课标在图形与几何领域有几个核心概念。主要有 空间观念、 几何直观、 推理能力 等 。 空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。 更直观的理解如下图： 几何直观主要是指利用图形的描述和分析问题，借助几何直观可以把复杂的数学问题，变得简明形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果，探索思路预测结果。 案例：打电话 如果你是老师，有件
2、紧急的事情要通知给同学，用打电话的方式，每分钟通知 1 人，给你 3 分钟的时间，能使多少人收到通知？大胆的猜测一下。 下面是学生借助图形研究的例子。这些学生都能够利用线段、点以图形的形式，来描述打电话来通知这件事情，设计方案。 通过这个数图就把这个复杂的数量关系，很简明很直观的呈现出来，而且从这个图本身，就能发现一些规律，就是一分钟通知一个人，第二次通知的新的人数，就是第一次的两倍，否则你算是算不出来，看图就看出来了。 通过线段、点，以及图形，把通知过程很简捷的表现出来，把它们之间的关系，揭示得非常清楚，这就属于典型的几何直观，就是图形直观。 推理能力 的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推理
3、是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。图形与几何安排了四个板块的内容：图形的认识、图形的测量、图形的运动、图形的位置。 下面我将从这四个板块来进行一一说明。板块一、图形的认识抽象图形特征，发展空间观念 1、教材的编排体系：第一， 现在的教材
4、，在图形的认识当中，是先讲立体，再讲平面，再回到立体。从历史发展过程上看，实际上我们中国小学的传统教材，最初是按点、线、面、体的逻辑关系讲的。到了上个世纪 90 年代以后，义务大纲出现就发生变化了，先讲立体以后再讲平面，然后又回到立体。为什么当时要改？因为当时很多老师都反映，高年级孩子，对几何立体图形，本身的识图的能力比较低，认识起来比较困难。这部分是个难点，分阶段安排可以分散难点。 第二，实际上一个人是生活在三维空间当中，一个婴儿从出生落地，他所有接触的东西，看到的东西，实际上都是体，他的奶瓶，他玩的积木都是体，住的大大楼里，所有东西都是体，在这个过程中儿童积累了很多立体的物体，因此所有的几
5、何体，都具有直观的实物的模型的。那在这种情况之下，低年级孩子，刚开始初步的认识立体图形是有可能的。 所以一是有必要，二是有可能，再加上儿童的空间观念的形成，必然是有一个长期的反复的积累的过程，不能一次到位。所以教材安排先讲立体图形，要求直观认识，然后中间一段是平面图形，最后再讲立体图形。现在教材也一样，先讲立体，后讲平面，再回到立体，但这两次讲立体层次不同，第一次要求辨认，到第二学段要求是认识。 也就是 “ 立体平面立体 ” 的混合螺旋编排结构 。通过图形的认识教学，培养学生的空间观念的策略：第一、通过对实物的观察与操作认识图形 第一学段要求 “ 能通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等
6、几何体 ” 、 “ 通过观察、操作，初步认识长方形、正方形的特征 ” ；第二学段要求 “ 结合实例了解线段、射线和直线 ” 、 “ 结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系 ” 等，这些要求的共同特点是通过观察与操作认识图形，直观地、整体地认识立体图形和平面图形。从对实物的观察与操作过程中来认识图形的特征和性质，既符合学生认识事物的规律，也符合数学课程的目标要求。这样的过程有助于学生发展能力，初步体会数学的思想方法，发展积极的情感与态度。 人们生活在三维的空间中，常见的楼房、积木、各种包装盒、皮球 都给我们以长方体、正方体、圆柱体、球体等直观形象。基于这样的生活经验，学生可以
7、从认识立体图形开始， “ 通过实物和模型等辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体 ” 。 “ 辨认 ” 是认识的低级阶段，但与以往的经验有所不同，它要经历从实物到几何图形的抽象过程。 从不同的角度观察长方体、正方体、圆柱体、球的表面，抽象出长方形、正方形、圆等平面图形。像这样从具体到抽象，从实物到图形，从整体到局部的安排，揭示了立体图形与平面图形的关系，也符合学生的认知特点。 第二学段要求 “ 结合实例了解线段、射线和直线 ” 、 “ 结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系 ” 。射线和直线涉及到了无限的概念，与长方体、正方体、长方形、正方形等相比，在现实中没有 “ 直线 ”
8、 的实物原型，这就需要学生进行抽象与想象。认识线段要容易一些，因为现实生活中有 “ 线段 ” 的实物原型。 类似的，学生理解两条直线平行的位置关系也比较困难，可以利用两根铁轨作为实物原型来描述，两根铁轨不相交以及它们之间的距离处处相等的事实，都揭示了平行线的本质，但铁轨无法总是笔直的延伸，所以在从实物到几何图形的抽象过程中还需要想象，这有助于学生发展抽象能力和空间观念。 第二、基于图形的想象和图形之间的转换，发展空间观念 教材安排了 “ 视图和投影、展开与折叠 ” 等内容。 第一个学段的要求是根据具体事物照片或直观图，辨认从不同角度观察到的简单物体的形状，这是辨认。很多教材里面是这样，有的是拿
9、个实物，有的是拿熊猫玩具等，让孩子们从各种角度去看，看的时候，孩子们就发现，不同角度看到的熊猫不一样。 第二个学段的要求能辨认从不同方向，方向是从前面、侧面或者上面来观察，从不同方向看到物体的形状图，这个形状图实际上就是一个平面图，就是从水平方向对物体所做的一个投影，也就是拍照。 例如 拍照的结果，虽然不是真正意义上的视图，但是它的确实现了，把三维空间向二维空间的一个转化的过程。 “折叠”和“展开”，过去教材也有，长方体、正方体、圆柱体的展开图。但是这个做法现在要加强，而且在进行折叠和展开当中，操作过程，必须要通过儿童的想象，这个过程本有什么实际意义呢？这是让孩子们认识到，立体图形的结构和展开
10、图之间的这种对应关系。怎么让他来认识这个对应关系呢？ 例如，“正方体展开图”课例。 通过课例可以看到，孩子可以折一折，通过操作找到结果；也可以不折，先想一想，我们提倡先想象，再动手验证，这样有利于发展学生的空间想象力，促进空间观念的形成。 让学生操作的时候，它不是一个简单的操作，首先得想象一下，可能会是什么样子，然后再通过操作，去验证自己的想法，而这个过程，学生参与这个想象，包括动手操作，包括把这个过程表现出来，是非常重要的。 让学生的这种想象也好，操作也好，实际上进一步理解，我们讲三维和两维之间的这样一种关系，就是你讲的对应关系，是经历了下面过程。 “ 认识长方体、正方体和圆柱的展开图 ”
11、，体现了三维图形与二维图形之间相互转换的具体要求，目标是在图形转换中引导学生观察、抽象、想象，发展空间观念。教学中应注重展开与折叠的操作过程，通过想象实现图形之间的转换，让学生记忆展开图的数量或类型的做法是不可取的。 认识图形过程中大量的操作性活动，有利于学生积累数学活动经验，发展学生空间观念教学中应当予以充分的重视。 板块二、 图形的测量渗透度量意识，掌握测量方法 这个内容的安排有两个要点（一） 使学生体会建立统一度量单位的重要性 在教学长度单位的认识时，经常有老师问为什么要讲统一单位？原来的教学中学生就是直接认识长度单位，学习度量单位有什么价值？下面以人教版教材为例谈一谈：二年级学生第一次
12、学习长度单位，教材呈现的例 1 ，并没有上来就认识厘米，而是创设了一个活动的情境：让学生测量数学书封面，有的学生用两个硬币或者两个三角形，两个曲别针进行测量。这个活动使学生感受用不同的测量工具，测量出不同的物体长度。然后例 2 是开始学习厘米的认识。 标准在第一学段要求“结合生活实际，经历用不同方式测量物体长度的过程，体会建立统一度量单位的重要性。” 这种要求对面积、体积的单位也同样适用。 度量单位是度量的核心， 建立标准度量单位，有助于学生从知识本身的逻辑体系出发，对建立标准单位的意义有客观地认识。教材这样编排，不仅突出了统一单位的重要性，也体现了一种数学的文化内涵，揭示了度量单位是怎么发生
13、发展，又是怎么推动社会的前进的。 让学生体会建立统一的度量单位的重要性，不仅要在长度的测量中给予关注，在面积和体积的测量中，仍要让学生去感受。 （二）使学生理解与把握度量单位的实际意义，对测量结果有很好的感悟 单位不仅仅是一个抽象的概念，对它的体会和认识应当通过实践活动，体验它的 实际意义。 例如，生活中哪些物体的长度大约为 1 米 ， 1 厘米 的长度可以用什么熟悉的 物体来估计，哪些物体的重量大约是 1 千克 ，哪些物体的体积大约是 1 立方米等。 对单位的实际意义的理解，还体现在对测量结果、对量的大小或关系的感悟。关于对度量单位的认识，要结合实际例子体会度量单位的大小，比如，一个成人的身
14、高为 175 （ ），应当选择 cm 而不是 mm 作为单位，这是对认识长度单位地深化理解。 二、教学策略1. 以图形测量公式推导为载体，让学生在操作、实践中感悟“转化”、 “极限”、“函数”和“积分”的数学思想。 在直边图形公式的推导过程中，教师经常让学生利用学具进行操作活动，将新图形转化成学过的已知图形，从而找到新旧两个图形之间的对应关系，推导出计算公式，在这个过程中巧妙地渗透了转化的数学思想方法。 圆是第一、二学段学习的平面图形中唯一的一个曲线图形，是学生第一次了解这个无理数 , 是学生第一次正式接触并运用极限的数学思想来解决曲线的长度和圆形的面积等问题，因此对圆的周长以及面积的探索具有
15、一定的挑战性，这个过程的学习有助于学生提高分析问题、解决问题的能力，获得基本的数学活动经验，体会 ” 转化 ” 、“极限”和“函数”的思想。 案例 1 ：圆的周长公式的推导 化曲为直 - 转化思想 我们只需得到圆的周长和直径有什么关系就可以了，那么我们又该怎样研究周长与直径的关系呢？ 老师给每组同学准备了不同的实物：有圆纸片、纸杯或硬币。 拿出来，就你们小组的实验材料，谁来说说怎样得到我们所需要的数据（尤其是周长的数据）？（讨论）为什么要绕线？为什么要滚动？（化曲为直） 活动二： 在圆的周长教学中，向学生介绍 “ 割圆术 ” ，让学生经历正多边形到圆的形成过程，引导学生观察体验，随着边数越来越
16、多，正多边形越来越像圆，感受极限思想。 然后又化曲为直： 割之弥补，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。 活动三： 测量寻找周长与直径的关系 - 函数思想 在测量圆的周长和直径填写数据的过程中，感受直径变，圆的大小变，周长也随之变化，而它们的倍数关系不变，从而让学生体会到函数思想。 通过课件形象直观的演示周长和直径的关系，体会函数思想。策略2、以多媒体课件为载体形象直观的演示，培养学生的猜测与推理能力以及空间想象能力。案例 2 ：平行四边形的面积公式的推导 通过以上案例地分析，可以看出，数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是基础知识的灵魂，是数学知识和方法在更
17、高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。学生在积极参与教学活动的过程中，通过猜测-思考验证数学思想。同时组织学生进行大量的操作性活动，有利于学生积累基本的数学活动经验。 这一板块的教学以往有这样的误区，就是将主要精力放在套用公式进行计算上，以至于将这部分内容简单地处理为计算问题。实际上，对于规则图形周长、面积和体积公式的探索和应用，不仅有利于学生灵活运用多种策略和方法解决实际问题，并且对于学生认识图形的特征和图形间的相互关系，发展空间观念也是大有好处的。 板块三、图形的运动体会研究方法，增加直观能力 一、图形的运动的学习价值：运动是世间万物的基本特征，是物质存在的基本形式。所谓
18、图形的运动，在义务教育数学课程中最基本的形式有两种：一是形状和大小不变，仅仅位置发生变化（合同运动）；二是形状不变而大小变化（相似运动）。 1. 从学生角度来看 现实生活中存在着大量的图形的变换的现象，学生有丰富的生活经验，例如，电梯、地铁列车在平行移动；钟面指针、自行车轮、电风扇叶片在旋转运动；许多年画、卡通动物、建筑物的形状具有对称性。这些现象为儿童学习图形的变换提供了丰富多彩的现实背景。我们希望提供给学生一种数学的眼光，去认识和把握这些现象。通过图形的运动探索发现并确认图形的一些性质，有助于学生发展几何直观能力和空间观念，有利于学生提高研究图形性质的兴趣、体会研究图形性质可以有不同的方法
19、。 2从数学发展的角度来看 1872 年，德国大数学家克莱茵发表 “爱尔兰根纲领”的演说，这个里程碑式的论断，改变了近两千年来人们用静止的观点研究几何的传统方法。与静态地研究图形与几何的性质不同，图形的变换是从运动变化的角度去探索和认识图形与几何的性质，欣赏与设计图案。是发展学生空间观念和思维能力的重要内容。 二、 “图形的运动”内容常用的教学策略：策略一：结合生活实例，在观察与比较中认识图形的运动 新课标要求课程内容要反映社会的需要，数学学科的特征，也要符合学生的认知规律。课程内容的选择要贴近学生实际，有利于学生体验、思考与探索。因为儿童的抽象思维需要具体形象思维与生活经验给与支撑，对感知图
20、形运动这样抽象概念来说尤其重要。小学阶段关于图形的图形的运动定位在积累感性体验，形成初步认识。因此结合实例展开教学是一条相当重要的教学策略。 在生活中有很多图形或图案呈现出对称、平移或旋转的形式，通过对称、平移、旋转变换同样可以设计制作美丽的图案。因此，在教学中，多收集一些这样的素材，通过学生的观察、比较，引导学生从运动变化的角度去发现不同的图形变换。 例如，教学“图形的变换”时丰富教材中的典型素材，注意融入了像道闸，车轮，钟摆等素材并利用信息技术动态呈现，让学生进一步感知旋转现象。在教学 “ 轴对称变换时 ”，借助一组学生在生活中喜闻乐见的民族特点浓厚的素材。 这样做，一方面有利于激发学生学
21、习图形运动的兴趣，另一方面使学生进一步体会到数学与生活的密切联系，发展学生的概括能力。 策略二：借助操作活 动 ，加深对图形运动的认识， 帮 助 学 生 体 会变换 的特征 策略三：注重 从变换 的角度，引 导学 生欣 赏图 形、 设计图 案 策略四：在解决问题中注重“ 图形的运动 ”和相关知识的联系，发展空间想象力和解决问题的能力 总之，小学阶段有关图形的运动的目标的达成是一个循序渐进的过程，教师在课堂教学中应该注重多种策略的运用，并以图形的运动教学为载体，培养学生的几何直观，发展空间观念。板块四、 图形的位置发展空间观念，提高推理能力 第一、二学段“图形与位置”的内容是按两条线索展开的：一
22、是确定物体的相对位置；二是辨认方向和使用路线图。（如下图） 把“图形与位置”的教学内容分成“确定物体的相对位置”、“辨认方向与使用路线图”两部分，可以让我们看出两方面内容是有区别的。但是它们并非截然分开，而是有联系的，无论是上下、前后、左右，还是东、南、西、北，都既可以用来描述物体的相对位置，又可以用来说明方向。例如，“把数学书放在作业本的上面”、“电梯上行”，前者表示相对位置，后者表示方向。 图形与位置”常用的教学策略：1.充分利用学生的生活经验。案例一： 五年级用数对确定位置教学前测 测试问题：请你在纸上描述出你们班长的位置。 下面是学生的几种做法： 文字叙述班长的位置 班长的位置是第三排
23、第四个 班长的位置是第三列第四个 班长在从 窗户数的第三排第四个。 从门这边数第五组的第四个是班长 画图表示班长的位置 还有一个孩子谈到了，班长在我的斜后方第三个。 学生已有的知识经验很丰富，这固然可喜。但是，学生的想法各异，老师该如何处理呢？如何引导学生掌握教材介绍的“用数对确定位置”的方法呢？ 案例解读： 面对学生不同的表示方法，教师应迅速归类，选择有代表性的方法，倾听学生的心声。在所有的学生理解不同的表示方法之后，通过不同表示方法的对比，让学生体会到确定位置要统一标准。 最后引导学生掌握用数对确定位置的方法：确定学生在教室中的位置，要以教师面向学生的位置为观测点， 竖排叫做列，横排叫做行
24、。确定第几列一般是从左往右数，确定第几行一般是从前往后数。按这样的方法表示班长的位置应是：第五列第四行，可以简单表示为（ 5 ， 4 ），两个数的顺序不能调换。 学生的空间知识来自于丰富的现实原型，与现实生活关系非常紧密，这是他们理解和发展空间观念的宝贵资源。让学生在“教室里”、“校园内”、“电影院中”、“上学路上”等熟悉的情境中学习“位置与方向”的内容，不仅可以激发学习的兴趣，而且有利于更好地认识空间，发展空间观念。 让学生经历生活经验回忆、观察、操作、想象、描述、思考、交流、分析、推理、表示等活动过程。 发展空间观念的途径是多样化的，在教学中我们只有让学生经历了多样化的数学活动过程，才能逐步发展空间观念。 倡导自主探索与合作交流的教学方式。 以被动的听讲和练习为主的方式，很难形成空间观念。培养空间观念需要大量的实践活动，学生需要有充分的时间和空间去经历多样化的数学活动过程，这不仅需要自主探索、亲身体验，更需要合作交流。 最后提三点建议 1. 把握好空间观念、几何直观、推理能力、应用意识等核心概念。 2. 在数学活动中感悟数学思想，积累数学活动经验 3. 通过开展观察、操作、想象等活动使学生经历学习过程，从而发展学生的空间观念。
