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1、圆综合题 专题分类汇编一垂径与等腰例1如图，AB为O的直径，C为弧AB上一点，为弧AC的中点，于点，交于点求证：（1）；（2）2如图，已知BC为半圆O的直径，弧AB=弧AF，AC与BF交于点M（1）若FBC=，求ACB（用表示）；（2）过A作ADBC于D，交BF于E，求证：BE=EM 3如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且ODBC，OD与AC交于点E（1）若B=70，求CAD的度数；（2）若AB=4，AC=3，求DE的长4如图，O的半径为1，直线CD经过圆心O，交O于C、D两点，直径ABCD，点M是直线CD上异于点C、O、D的一个动点，AM所在的直线交O于点N，点P是直线CD上
2、另一点，且PM=PN（1）当点M在O内部，如图一，试判断PN与O的关系，并写出证明过程；（2）当点M在O外部，如图二，其它条件不变时，（1）的结论是否还成立？请说明理由；（3）当点M在O外部，如图三，AMO=15，求图中阴影部分的面积二切线与等腰例2.如图：在ABC中，ABAC，以AB为直径的O与边BC交于点D，与边AC交于点E，过D作DFAC于点F求证：DF为O的切线若DE，AB5，求AE的长2.如图ABAC，点O在AB上，O过点B，分别与BC、AB交于D、E过D作DFAC于F求证：DF是O的切线若AC与O相切于点G，O的半径为3，CF1，求AC长 三角平分线入圆例3如图，AB为O的直径，点
3、C为O上一点，若BACCAM，过点C作直线l垂直于射线AM，垂足为点D（1）试判断直线CD与O 的位置关系，并说明理由；（2）若直线l与AB的延长线相交于点E，O 的半径为3，并且CAB30，求CE的长， 2如图，在ABC中，BE是ABC的角平分线，C90，D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E，交BC于点F（1）求证：AC是O的切线；（2）已知A30，O的半径为4，求图中阴影部分的面积 3如图，AB是O的直径，C，P是弧AB上两点，AB=13，AC=5（1）如图（1），若点P是弧AB的中点，求PA的长；（2）如图（2），若点P是弧BC的中点，求PA的长； 4如图，已知为的直径，过上的点的
4、切线交的延长线于点， 于点，且交于点，连接，（1）求证：； （2）求证： 四双切线问题例4如图，在ABC中，ABC 90，D是边AC上的一点，连接BD，使A21，E是BC上的一点，以BE为直径的O 经过点D （1）求证：AC是O的切线； （2）若A60，O 的半径为2，求阴影部分的面积（结果保留根号和）2如图，AB是O 的直径，AC是弦，ODAC于点D，过A作O 的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC，BC（1）猜想线段OD与BC有何数量关系和位置关系，并证明你的结论；（2）求证：PC是O 的切线 五多切线类例5如图，ABC的内切圆与三边分别相切于D、E、F三点，AB=7，BC=12
5、，CA=11（1）求AF的长；（2）求O的半径（1）设AF=x，ABC的内切圆O与三边分别相切于D、E、F三点，AB=7，BC=12，CA=11，AE=AF=x，BF=BD=AB-AF=7-x，CE=CD=AC-AE=11-x，BD+CD=BC，7-x+11-x=12，解得：x=3，AF=32阅读材料：已知，如图1，在面积为S的ABC中，BCa，ACb，AB c，内切圆O 的半径为r连接OA、OB、OC，ABC被划分为三个小三角形SSOBC SOAC SOAB BCrACrABr （abc）rr 图1 图2 图3（1）类比推理：若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），如图2，
6、各边长分别为ABa，BCb，CDc，ADd，求四边形的内切圆半径r；（2）理解应用：如图3，在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB21，CD11，AD13，O1，与O 2分别为ABD与BCD的内切圆，设它们的半径分别为r1和r2，求的值3如图，AB是O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切O于点E，交AM与于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连接OF。（1） 求证：ODBE；（2）猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由。六内心及其应用例6已知点E是ABC的内心，AE的延长线和ABC的外接圆相交于点D，AD、BC交于点F（1）如图1，求证：DEDB；（2）如图2，若AD是ABC外接圆的直径，
7、G为AB上一点，且ADGC，若BG3，AG5，求DE 的长2如图，O是ABC的外接圆，BAC与ABC的平分线相交于点I，延长AI交O于D，连接BD、DC（1）求证：BD=DC=DI；（2）若O的半径为10cm，BAC=120，求BDC的面积 七直角坐标系与圆例7如图，已知点D的坐标为（0，1），D交y轴于点A、B，交x轴于点C、E，过点C的直线y2x8与y轴交于点P（1）试判断直线PC与D的位置关系；（2）直线PC上是否存在点F，使得SFOP4SCDO?若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由2如图所示，在平面直角坐标系中，以点M(2，3)为圆心，5为半径的圆交x轴于A，B两点，过点M作x
8、轴的垂线，垂足为D；过点B作M的切线，与直线MD交于N点(1)求点B，点N的坐标以及直线BN的解析式；(2)求过A，N，B三点(对称轴与y轴平行)的抛物线的解析式；(3)设(2)中的抛物线与y轴交于点P，以点D，B，P三点为顶点作平行四边形，请你求出第四个顶点Q的坐标，并判断点Q是否在(2)中的抛物线上八圆锥及其展开图例8已知两个圆锥的母线长相等，若它们的侧面展开图恰好可接成一个圆，且两个圆锥的表面积之比为1：6求这两个圆锥底面积半径的比2.圆锥的底面直径是80cm,母线长90cm,求它的侧面展开图的圆心角和圆锥的全面积.针对性练习：1.如图，O为ABC的外接圆，弦CD平分ACB，ACB90，
9、求证：.2.如图，O为ABC的外接圆，弦CD平分ACB，ACB120，求：.3.如图，O为ABC的外接圆，弦CP平分ABC的外角ACQ，ACB90，求证：弧PA=弧PB；求证：.4.如图，O为ABC的外接圆，弦CP平分ABC的外角BCQ，ACB120，求：的值.参考答案：例1证明：连接OD交AC于M,连接ADOA=OB，OAD=ODA。 D是弧AC的中点，ODACDEAB，AMO=DEO=90，OAM=ODE，FAD=FDA，AF=DF2.（1）BC是直径，ABAC，ABF+FBC+ACB=90弧AB=弧AF，ABF=ACB，2ACB+FBC=90，又FBC=，2ACB+=90，ACB=45-
10、o.5；（2）ABAC，ADBC，BAE=ACBABF=ACB，BAE=ABF，BE=AEAME=90-ABF，EAM=90-ACB，而ABF=ACB，AME=EAM，EM=AEBE=EM3【解析】（1）AB是半圆O的直径，ACB=90， 又ODBC，AEO=90，即OEAC，CAB=90B=9070=20，AOD=B=70OA=OD，DAO=ADO=55，CAD=DAOCAB=5520=35； （2）在直角ABC中，BC=OEAC，AE=EC，又OA=OB，OE=BC=又OD=AB=2，DE=ODOE=2例2.（1）证明：连接AD，OD；AB为O的直径，ADB=90，即ADBC；AB=AC，
11、BD=DCOA=OB，ODACDFAC，DFODODF=DFA=90，DF为O的切线（2）连接BE交OD于G；AC=AB，ADBC，ED=BD，EAD=BAD弧ED=弧BDED=BD，OE=OBOD垂直平分EBEG=BG又AO=BO，OG=0。5AE在RtDGB和RtOGB中，BD2-DG2=BO2-OG2，2.（1）证明：连接OD，AB=AC，B=C，OB=OD，B=ODB，ODB=C，ODAC，DFAC，ODDF，则DF为圆O的切线；（2）连接OG，AC与圆O相切，OGAC，OGF=GFD=ODF=90，且OG=OD，四边形ODFG为边长为3的正方形，设AB=AC=x，则有AG=x-3-1
12、=x-4，AO=x-3，在RtAOG中，利用勾股定理得：AO2=AG2+OG2，即（x-3）2=（x-4）2+32，解得：x=8，则AC=8例3（1）直线CD与O相切理由如下：连接OC OA=OC，BAC=OCA，BAC=CAM，OCA=CAM，OCAM，CDAM，OCCD，OC为半径，直线CD与O相切（2）OC=OA，BAC=ACO，CAB=30，COE=2CAB=60，在RtCOE中，OC=3，CE=OCtan60=3倍根号3.2解：（1）连接OEOB=OE，OBE=OEB。BE是ABC的角平分线，OBE=EBC，OEB=EBC，OEBC。C=90，AEO=C=90，AC是圆O的切线；（2
13、）连接OFsinA=，A=30圆O的半径为4，AO=2OE=8，AE=4，AOE=60，AB=12，BC=AB=6 AC=6，CE=ACAE=2OB=OF，ABC=60，OBF是正三角形FOB=60，CF=64=2，?EOF=60S梯形OECF=（2+4）2=6S扇形EOF=S阴影部分=S梯形OECFS扇形EOF=63解析：（1）如答图（1），连接PB， AB是O的直径且P是的中点，PAB=PBA=45，APB=90.又在等腰三角形ABC中有AB=13，（2）如答图（2），连接BC，与OP相交于M点，作PHAB于点H，P点为C的中点，OPBC，OMB=90，又AB为直径，ACB=90.ACB=
14、OMB. OPAC.CAB=POB.又ACB=OHP=90，ACB0HP.又，解得.AH=OA+OH=9.在RtOPH中，有。在RTAHP中 有.PA=4解：（1）证明：如图，连接OC，ED切O于点C，COED，ADEC，COAD，OCA=CAD，OCA=OAC，OAC=CAD，=，BC=CF；（3）证明：过C作CGAB于G，OAC=CAD，ADEC，CG=CD，在RtAGC和RtADC中， ，RtAGCRtADC（HL），AG=AD，在RtCGB和RtCDF中，RtCGBRtCDF（HL），GB=DF，AG+GB=AB，AD+DF=AB，AF+DF+DF=AB，AF+2DF=AB例4.（1）
15、证明：OD=OB，1=ODB，DOC=1+ODB=21，而A=21，DOC=A，A+C=90，DOC+C=90，ODDC，AC是O的切线；（2）解：A=60，C=30，DOC=60，在RtDOC中，OD=2，CD=OD=2，阴影部分的面积=SCODS扇形DOE=22=22.解(1)猜想：ODBC，CDBC证明：ODAC，ADDCAB是O的直径，OAOB,OD是ABC的中位线，ODBC，ODBC(2)证明：连接OC，设OP与O交于点EODAC，OD经过圆心O，即AOECOE在OAP和OCP中，OAOC，OPOP，OAPOCP，OCPOAPPA是O的切线，OAP90OCP90，即OCPC，PC是O
16、的切线例5.解析：（1）如图（2），连接OA、OB、OC、OD. （2）如图（3），过点D作DEAB于点E，则 ABDC，.又，.即. 3. 解：（1）证明：连接OE，AM、DE是O的切线，OA、OE是O的半径，ADO=EDO，DAO=DEO=90，AOD=EOD=AOE。ABE=AOE，AOD=ABE，ODBE；（2）OF=CD，理由如下：连接OC，BE、CE是O的切线，OCB=OCE，AMBN，ADO+EDO+OCB+OCE=180，由（1）得 ADO=EDO，2EDO+2OCE=180，即EDO+OCE=90，在RtDOC中，F是DC的中点，OF=CD。例6.（1）证明：如图1，AC=B
17、C，CAB=CBA，又E是内心，1=2=3=4BE=AE；（2） 如图2，连接BD，设DG与BC交于点H，BE和DE相交于点M，连接EH ADB=C，ADG=C，ADG=GDB，又BD=DE，BM=EM，BEDG，即BMG=BMH=90，E是内心，ABE=EBH在GBM和HBM中，GBM=EBHBM=BMBMG=BMH，GBMHBM，MG=MH又ME=MB，BEGH，四边形BHEG是菱形，GE=BG=3，GEBCE是内心，AB是外接圆的直径，ADBC，GEAD，在直角AGE中，AE=4设BD=x，则DE=x，AD=x+4，AD是直径，ABD=90，直角ABD中，AB2+BD2=AD2，82+x
18、2=（x+4）2，解得：x=6故BD=62.解：（1）AI平分BAC，。BI平分ABC，。又，为等腰三角形，。（2）当时，为钝角三角形，圆心O在外，连结，为正三角形。又知，。 答：的面积为cm2。例7.解：（1）PC与D的位置关系是相切理由如下：在y=-2x-4中，得C（-2，0），P（0，-4），则CD2=4+1=5，CP2=4+16=20，PD2=（1+4）2=25，则CD2+CP2=PD2，DCP=90，PC与D的位置关系是相切（2）SCDO=1，SEOC=4SCDO=4，又OC=2，点E到OC的距离是4，即点E的纵坐标是4当y=4时，则x=4；当y=-4时，则x=0即E（-4，4）或（
19、0，-4）2解：(1)点B的坐标为(2，0)，点N的坐标是(2，)，直线BN的解析式是：yx； (2)点A，B关于直线x2对称，所以x2就是抛物线的对称轴，即可以设抛物线的方程为ya(x2)2，将A(6，0)代入得，016a，a，故y(x2)2x2x4； (3)令x0，y4，所以点P的坐标(0，4)，若构成平行四边形，点Q的坐标为(4，4)，(4，4)或(0，4)其中(4，4)在(2)中的抛物线上例8解设圆锥的母线长为x，则组成的圆的周长=2x；设面积较大的圆锥的底面半径为R，它的底面周长C大=2R，较大的圆锥的侧面面积=2Rx=Rx，较大的底面面积=R2，较大的圆锥的全面积=Rx+R2；面积
20、较小的圆锥的底面半径为r，它的底面周长C小=2x-2R=2（x-R）=2r，r=x-R，较小的圆锥的侧面面积=2（x-R）x=（x-R）x，较小的底面面积=（x-R）2，较小的圆锥的全面积=（x-R）2+（x-R）x，Rx+R2：（x-R）2+（x-R）x=6：1，解得：R=x，R=3x（不合题意，舍去），r=x-R=x，r：R=1：42解：母线长为90cm，底面圆的直径为80cm，底面圆的周长为80cm，80=，n=160圆锥的侧面展开图的圆心角是160度全面积：5200。针对性练习：1证：方法一：延长CA至E，使AEBC，证AEDBCD，CDE90，.方法二：作DMAC于M，DNBC于N，证.2解：1，证法同上(很多)圆中的外角平分线问题往往与线段的差有关.3：证：连PA、PB，证.方法一：在AC上截AMBC，证PAMPBC，PMC为等腰直角. 方法二：作PEAC于E，PFBC于F，证PEAPBF，.4解：.
