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1、,微积分A,刻苦 勤奋求实 创新,理学院工科数学教学中心,第九章 重 积 分,理解二重积分、三重积分的概念，及其性质,掌握积分中值定理。,掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标).,会用重积分求一些几何量与物理量(如面积、体积、曲面面积、物体的质量、重心、转动惯量、引力等)。,了解三重积分的计算方法(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。,重点与难点,重点：二重积分的计算方法,三重积分的计算方法.,难点：三重积分计算方法,重积分在几何及物理方面的应用.,回忆定积分.,设一元函数 y=f(x)在a,b可积.,则,其中 ixi,xi+1,xi=xi+1 xi,表小区间xi,xi+1的长,f(i)xi表
2、示小矩形的面积.,多元函数积分学的内容简介,一元积分学是讨论确定形式和式的极限，并用此思想得出了一些量的计算。,这种讨论和式的极限的思想可以推广到定义在区域、曲线及曲面上的多元函数的情形。,本章将推广到定义在空间区域上多元函数积分学为重积分。包含二重积分、三重积分等。,下章将推广到定义在曲线及曲面上多元函数积分学为线积分、面积分学。,柱体体积=底面积高,特点：平顶,柱体体积=？,特点：曲顶,1.曲顶柱体的体积,一、问题的提出,曲顶柱体,曲顶柱体：,以曲面：z=f(x,y)为顶，一般z=f(x,y)在D上连续。,以平面有界区域D为底，,侧面是柱面，该柱面以D为准线，母线平行于z轴。,还有其他类型
3、的柱面。,设有一立体.其底面是 xy 面上的区域D,其侧面为母线平行于 z 轴的柱面,其顶是曲面 z=f(x,y)0,连续.,如何求曲顶柱体的体积V.,步骤如下：,用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，,先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，,具体步骤见下页:,(i)用曲线将D分成 n 个小区域 D1,D2,Dn,每个小区域Di 都对应着一个小曲顶柱体.,如图,z=f(x,y),z=f(x,y),Di,Di,(ii)由于Di很小,z=f(x,y)连续,小曲顶柱体可近似看作小平顶柱体.,(i,i)Di.,小平顶柱体的高=f(i,i).,若记 i=Di的面积.,则小平顶柱体的体积=f(i
4、,i)I 小曲顶柱体体积,(iii)因此,大曲顶柱体的体积,分割得越细,则右端的近似值越接近于精确值V,若分割得无限细,则右端近似值会无限接近于精确值V.,也就是,(iv),其中Di的直径是指Di中相距最远的两点的距离.,其中(i,i)Di,i=Di 的面积.,如图,当平面薄板的质量是均匀分布时,平面薄板的质量=面密度面积.,2.平面薄板的质量 M.,(i)用曲线将D分成 n 个小区域 D1,D2,Dn,设一平面薄板,所占区域为D,面密度(x,y)0 连续.(x,y)D.求该平面薄板的质量M.,Di,Di的面积记作 i.,Di,由于(x,y)0 连续,从而当Di很小时,(x,y)在Di上的变化
5、不大,可近似看作(x,y)在Di上是不变的.,从而可用算均匀薄板的质量的方法算出Di这一小块质量的近似值.,(ii)即,(i,i)Di,以(i,i)作为Di 这一 小片薄板的面密度.,从而,第 i 片薄板的质量 mi(i,i)i,(iii)故,平面薄板的质量,(iv),设z=f(x,y)是定义在有界闭区域DR2上的有界函数.,将D任意分割成n个无公共内点的小区域Di(I=1,2,n),其面积记为 i.,(i,i)Di,作积,f(i,i)i,二、二重积分的概念与性质,1.定义,积分区域,被积函数,面积微元,注1.定积分,二重积分,区别在将小区间的长度 xi 换成小区域的面积 i,将一元函数 f(
6、x)在数轴上点 i 处的函数值 f(i)换成二元函数 f(x,y)在平面上点(i,i)处的函数值 f(i,i).,可见,二重积分是定积分的推广.,注2.若将D用两族平行于x轴和y轴的 直线分割.(如图),则除边界上区域外,Di的面积i=xi yi,故也将二重积分写成,注3.可以证明若f(x,y)在D上连续,则f(x,y)在D 上可积,若f(x,y)在D上有界,且在D内只有有限个不连续点,或只在有限条曲线上不连续,则f(x,y)可积.,2.二重积分的性质,设D为有界闭区域,以下涉及的积分均存在.,性质1.,性质2.,性质3.,性质4.,若在D上有f(x,y)g(x,y),则,特别:(i)若在D上f(x,y)0,则,(ii),这是因为|f(x,y)|f(x,y)|f(x,y)|,积分后即得.,性质5.,若在D上 m f(x,y)M,则,设 f(x,y)C(D),则(,)D,使得,性质6.,性质7.,3.二重积分的几何意义,(i)z=f(x,y)0,(ii)z=f(x,y)0,(iii),=(D1上曲顶柱体体积)(D2上曲顶柱体体积),设 x,y 在 D上可积,则,Good,Bye,
